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Cálculo aplicado resumen del tema: aplicaciones de la derivada |
Extremos relativos
f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida. Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo. La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos. Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten. |
Ejemplo
Aquí es su gráfica. Mirando la gráfica, se observa que f tiene:
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Extremos absolutos
Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición: f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f. f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f. La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos. Nota Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención. |
Ejemplo
Mirando a sus extremos relativos, observamos que:
Nota Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?). |
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Ubicando candidatos al extremos relativos
Si f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos:
La próxima figura demuestra instancias de todos tres tipos. ¿Todavía incómodo con esta materia? Pruebe la tutorial en línea sobre máximos y mínimos. |
Ejemplos
1. Vamos a mirar de nuevo la gráfica de f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
Puntos singulares: Sea f(x) = 3(x- 1)1/3. Puntos Extremos: Sea f(x) = 1/x, con dominio (- ∞, 0) [1, +∞).
Nota Si cambiaríamos el dominio a [0, +∞), no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?). |
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Aplicaciones de máximos y mínimos: Problemas de optimización
Solucionamos problemas de optimización con la forma siguiente: Determine los valores de las incógnitas x, y, . . . para minimizar (o maximizar) el valor de la función objectivo f, sujeta a algunas restricciones. Las restricciones son ecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y, . . . . Para solucionar problemas como estos, usamos las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. A continuación, sustituimos esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Por último, determinamos los valores extremos de la función objectivo como más arriba. (Usamos las desigualdades de restricción para determinar el dominio de la función objectivo.) Especiíicamente:
1. Identifique la o los incógnitas.
2. Identifique la función objectivo.
3. Identifique la o los restricciones.
4. Enuncie el problema de optimización.
5. Elimine variables adicionales.
6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objectivo.
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Ejemplo
Aquí es un problema de maximización:
Seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: Como ya tenemos el problema enunciado como un problema de optimización, podremos comenzar a Paso 5.
(100- 2y) ≥ 0, o y ≤ 50. 6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objectivo.
Vemos en la tabla que el valor más grande de A es 1,250, que se ocurre cuando y = 25. El valor correspondiente de x es x = 100 - 2y, entonces x = 50 cuando y = 25. |
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Aceleración, concavidad, y la derivada segunda
Aceleración
Concavidad
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Ejemplos
Aceleración
Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora. Concavidad
f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La gráfica de f es cóncava hacia abajo cuando x < 0 y cóncava hacia arriba cuando x > 0. f tiene un punto de inflexión a x = 0, donde la segunda derivada es 0. |
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Análisis de las gráficas
Podemos utilizar a tecnología para trazar una gráfica, pero necesitamos a cálculo para comprender lo que estamos viendo. Las características más interesante de una gráfica son las siguientes: Características de una gráfica
2. Extremos relativos Se usa las técnicas descritas más arriba para ubicar candidatos al extremos relativos. 3. Puntos de inflexión Se mete f"(x) = 0 y despeja a x para ubicar candidatos al puntos de inflexión. 4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función Si f(x) no está definida a x = a, se considera limx → a- f(x) y limx → a+ f(x) para ver como se acerca este punto la gráfica de f. 5. Comportamiento al infinito Se considera limx → -∞ f(x) y limx → +∞ f(x) si apropiado, para ver como comporta la gráfica de f cuando x se aleja hacia la izquierda y la derecha. Si tiene usted Excel, pruebe la Graficador Excel de Primera y Segunda Derivada para ver gráficas de cualquier función y sus primeras dos derivadas. |
Ejemplo
Aquí está la gráfica de
Para analisarla, seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: 1. Las intersecciones en x y y Igualando y = 0 y despejando a x da x = 0. Ésta es la única intercesión de x. Igualando x = 0 y despejando a y da y = 0: la intercesión de y. 2. Extremos relativos Los únicos extremos son los puntos estacionarios ubicando igualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x = - 4. Los puntos correspondientes en la gráfica son el máximo relativo a (0, 0) y el mínimo relativo a (- 4, 8/9). 3. Puntos de inflexión Solucionar f"(x) = 0 analíticamente es difícil, entonces podremos solucionarla numéricamente (haciendo la gráfica de la derivada segunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexión está a x ;≈ -6.1072. 4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función La función no está definida a x = - 1 y x = 2. Los limites cuando x se acerca a estos valores a la derecha y a la izquierda se podremos deducir de la gráfica:
5. Comportamiento al infinito Mirando la gráfica (o la función), observamos que
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Tasas relacionadas
Si Q es una cantidad que cambia en el tiempo, entonces la razón a la que cambia Q es dado por la derivada temporal, dQ/dt. Un típico problema de tasas relacionadas pide la razón de cambio de una cantidad Q, dado los razones de cambio de varias otras cantidades. Procedimiento para solucionar un problema te tasas relacionadas A. La problema
B. La relación
C. La solución
Mire también la tutorial en línea de tasas relacionadas. |
Ejemplo
El tráfico al sitio web de MundoReal es dado por
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Elasticidad de demanda
La elasticidad de demanda, E, es la tasa porcentual de disminución de la demanda por aumento porcentual en el precio. Lo calculamos con la formula:
donde la ecuación de demando expresa demando, q, como una función del precio unitario, p. Decimos que la demanda es elástica si E > 1, la demanda es inelástica si E < 1, y que la demanda tiene elasticidad unitaria si E = 1. Para calcular el precio unitario que maximiza el ingreso, escribimos E como un función de p, conjunctamos E = 1, y despejemos a p. |
Ejemplo
Supone que la ecuación de demanda es q = 20,000 - 2p. Entonces
Si p = 2,000, entonces E = 1/4, y la demanda es inelástica a este precio. Si p = 8,000, entonces E = 4, y la demanda es elástica a este precio. Si p = 5,000, entonces E = 1, y la demanda tiene elasticidad unitaria a este precio. |