A veces podremos utilizar el método de integración por partes para calcular antiderivadas de productos de funciones. Si f y g son dos funciones, dejenos abreviar

d dx f(x) por D(f),     y

g(x) dx por I(g),

si existen. Entonces integración npor partes nos dice que

f.g dx

=

f.I(g)

-

D(f).I(g) dx,

suponiendo que existen todas las derivadas y integrales.

A veces sucede que el producto D(f)^.I(g) sea más fácil a integrar que el producto original f^.g, y está en casos así donde se encuentra muy útil el método de integración por partes.

1.	x ex dx	=	xI(ex ) - D(x).I(ex ) dx
		=	xex - 1.ex dx
		=	xex - ex + C
2.	x2 sin x dx	=	x2I(sin x) - D(x2).I(sin x) dx
		=	-x2cos x + 2x cos x dx
	Debemos hacer otra vez integración por partes para evaluar la integral a la derecha.
		=	-x2cos x + 2x. sin x - 2sin x dx
		=	-x2cos x + 2xsin x + 2cos x + C

3.		9x e3x+2	dx	=
4.		4x(x+4)5	dx	=

El método tabular hace que las integraciones por partes sean bastante sencillas, en especial en casos en los que se tienen que aplicar varias veces (como en el segundo ejemplo más arriba). Esta versión particular del método tabular fue desarrollada por Dan Rosen en la Universidad Hofstra.

Q ¿Cómo funcione?
A Para calcular f^.g dx, construimos la siguiente tabla, in la que obtenemos las funciones en la columna "D" por diferenciar repetidamente la función f, y las en la columna "I" por integrar repetidamente la función g. (Las operaciones a la izquierda son alternandos signos de más y signos de menos).

D I + f g - D(f) I(g) + D2(f) I2 (g)   . . .     . . .   ± Dn (f) In (g)

Se continúa este proceso hasta que:

• La función a la izquierda se convierte a cero (en el caso que sea f un polinomio)
      o
• El producto de los funciones en el último renglón se puede integrar
      o
• El producto de los funciones en el último renglón sea un múltiple constante del producto de los funciones en el primero renglón.

Para leer la tabla, multíplice las funciones conectadas por las flechas y sume o sustraiga por uso de los signos a la izquierda:

f.g dx =

f.I(g) - D(f) .I2(g) + D2(f) .I3(g) - . . . ±

Dn (f) .In(g) dx

Nota Si está cero el termino al fondo a la izquierda (como cuando sea un polinomio la función f) entonces la integral a la derecha desaparece (pues está cero), y podemos sencillamente escribir la respuesta, como en el primero ejemplo a la derecha.

1. Para calcular 3x²e^x/2 dx, metimos la 3x² en la columna "D" (porque está un polinomio y entonces desaparecerá después de diferenciación repetida) y entonces deberemos meter la e^x/2 en la columna "I":

D I + 3x2 ex/2 - 6x 2ex/2 + 6 4ex/2 - 0 8ex/2

Podemos ahora leer la respeusta en la tabla:

	3x2ex/2 dx	=	3x2.2ex/2 - 6x .4ex/2 + 6 .8 ex/2 + C
		=	(6x2 - 24x + 48)ex/2 + C

2. Para calcular ln x dx, se escribe primero ln x como el producto (1)(ln x) y se mete ln x en la columna "D" (no podemos aún integrarlo) y 1 en la columna "I". Pues nunca llegamos a cero por diferenciar repetidamente ln x, nos detenemos en cuando podemos integrar el producto en el último renglón, que ocurre después de uno paso:

D I + ln x 1 - 1/x x

Entonces,

	ln x dx	=	(ln x)(x) - (1/x)(x) dx
		=	x ln x - 1 dx
		=	x ln x - x + C

3.		(x2+1)e-x dx	=
4.		x ln x dx	=

Si f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b], entonces la área de la región encerrado por las gráficas de f y g, y las lineas verticales x = a y x = b (mostrado coloreado en la figura más abajo) se determina por

A =

b     a

[f(x) - g(x)] dx.

Si deseamos calcular la área entre las gráficas de f(x) y g(x), en el caso que se cruzan las gráficas, seguimos el procedimiento siguiente:

(a) Halle a todos los puntos de intersección por medio de despejar a x la ecuación f(x) = g(x). Las soluciones determinan el intervalo sobre lo que integraremos, o, en caso que sea varias soluciones, los intervalos entre los puntos de intersección.

(b) Calcule la área de cada región entre puntos de intersección por integrar la diferencia de la función más grande y la función más pequeña. (Si, por causalidad, tomamos la más pequeño menos la más grande, será la respuesta negativa, entonces sencillamente podriámos tomar el valor absoluta de la respuesta.)

(c) Tome la suma de todas las área calculado en (b) para llegar al área total.

Área turquesa =		c     a	[f(x) - g(x)] dx
Área azul =		d     c	[g(x) - f(x)] dx
Área café =		b     d	[f(x) - g(x)] dx

1. Para calcular la área mostrado en la siguiente figura,

calculamos

A =	1     0 [(2x2-x4) - (x-1)] dx.
=	2x3 3 - x5 5 - x2 2 + x 1     0
=	29 30 .

2. En la figura más abajo, las gráficas cruzan a x = 1/2. Para calcular la área, debemos calcular A y B por seperado, y después sumarlas.

A =	1/2     0 [(1-x2) - 3x2] dx	=	1 3
B =	1     1/2 [3x2 - (1-x2)] dx	=	2 3

Entonces, la área total es 1.

Promedio de un conjunto de números

El promedio, o la media, de un conjuncto de n números, {y₁, y₂, ... y_n }, se está definido como su suma divido entre n:

y1 + y2 + ... + yn n

.

El promedio, o la media, de una función f(x) definido en un intervalo [a, b] se está definido como

f

=

1 b-a

b     a

f(x) dx

Promedio de un conjunto de números

Aquí está un conjunto de 5 números y sus promedio. Cambie las números o añada números adicionales para ver como se cambia la media. (Pulse la tecla "tab" o "enter", o mueva a una otra celda para hacer que su navegador registra un cambio.)

x

=

Promedio de una función

Sea f(x) = 3x². Entonces el valor promedio de f sobre el intervalo [0, 1] es

f	=	1 b-a		b     a	f(x) dx
	=	1 1-0		1     0	3x2 dx
	=	1

La siguiente pequeña utilidad calculará (hasta cinco posiciones decimal) el promedio de la función que ingresa usted, sobre cualquier intervalo [a, b]. ¡Úsela para comprobar sus deberes! (Puede utilizar cualquier formula valida, y también "pi" para π y "e" para la base de los logaritmos naturales.)

Promedio móvil de una secuencia de números

El promedio móvil de n unidades de una secuencia de números es el promedio de cada número junto con los precedente n-1 números de la secuencia.

Podemos calcular promedio móvil de n unidades comenzando con el n^o número. (Vea el ejemplo a la derecha).

Promedio móvil de una función

El promedio móvil de n unidades de la función f se define como

f

=

1 n

x     x-n

f(t) dt

Promedio móvil de una secuencia de números

La siguiente tabla muestra el promedio móvil de 3 unidades de una secuencia de precios de cierra de un acción. Cada número en la secuencia es el promedio del precio de cierra de aquel día junto con los de los dos precedentes. Llene la tabla más abajo por completar los espacios.

Día	1	2	3	4	5	6	7
Precio	23	21	22	23	27	25	25
Promedio móvil			22	22	24

   

Promedio móvil de una función El promedio móvil de 2 unidades de f(x) = x² está

f

=

1 2

x     x-2

t2 dt  =  x2 2x + 4/3.

Aquí son las gráficas de f y su promedio móvil de 2 unidades.

Si la demanda por un artículo se presenta por p = D(q), y si el precio de venta es p* con correspondiente demanda q* (de modo que D(q*) = p*), entonces el excedente del consumador es la deferencia entre lo que están dispuestos los consumadores a pagar y su gasto real. Representa entonces la total ahorrado por consumadores quienes pagaron p* por unidad (pero eran dispuestos a pagar más según la curva demanda).

CS =	q*     0 (D(q) -p*) dq

Gráficamente, es la área entre las gráficas de p = D(q) y p = p*, como se muestre en la gráfica siguiente.

Excedente del productor

El excedente del productor es la cantidad adicional ganada por los productores al cobrar p* por unidad (pero quienes estaban dispuestos a cobrar menos) y se expresa por

PS =	q*     0 (p* - S(q)) dq

donde S(q*) = p*. Gráficamente, es la área entre las gráficas de p = p* y p = S(q) para 0 ≤ q ≤ q* como en la gráfica siguiente.

Valor total de un flujo continuo de ingresos

Si la tasa de recepción del ingreso es R(t) dólares, entonces el ingreso total recibido desde que t = a hasta que t = b es

Valor total = TV =

b     a

R(t) dt.

Valor futuro de un flujo continuo de ingresos

Si la tasa de recepción del ingreso desde que t = a hasta que t = b es R(t) dólares por unidad de tiempo y el ingreso se deposita a medida que se recibe en una cuenta que paga interés a una tasa r por unidad de tiempo, compuesta en forma continua, entonces el valor de la cuenta a tiempo t = b es

Valor futuro = FV =

b     a

R(t)er(b-t) dt.

Valor presente de un flujo continuo de ingresos

Si la tasa de recepción del ingreso desde que t = a hasta que t = b es R(t) dólares por unidad de tiempo y el ingreso se deposita a medida que se recibe en una cuenta que paga interés a una tasa r por unidad de tiempo, compuesta en forma continua, entonces el valor de la cuenta a tiempo t = a es

Valor presente = PV =

b     a

R(t)er(a-t) dt.

Una integral impropia es una integral en la que (A) uno o ambos de los limites de integración son infinitos, o (B) el integrando se vuelve infinito en algunos puntos del rango de integración.

(A) Integrales impropias con un limite infinito de integración

Estas son integrales en la forma

+∞     a

f(x) dx,

b     -∞

f(x) dx,   o

+∞     -∞

f(x) dx.

Primero, compruebe que el integrando no se vuelve infinito por algún valor de x en el rango de integración. En éste caso, vea mas abajo. De lo contrario, se use las siguiente formulas

+∞     a

f(x) dx   =

lim M→+∞

M     a

f(x) dx,

con la condición de que existe el limite. Cuando existe el limite, decimos que ∫_a^+∞f(x) dx converge. En caso contrario, decimos que ∫_a^+∞f(x) dx diverge.

En forma parecida, definimos a

b     -∞

f(x) dx   =

lim M→-∞

b     M

f(x) dx,

con la condición de que existe el limite. Por último, definimos a

+∞     -∞

f(x) dx   =

a     -∞

f(x) dx   +

+∞     a

f(x) dx

por algún a conveniente, con la condición que convergen ambas integrales por la derecha.

(B) Integrales impropias en la que se vuelve infinito el integrando

Algunas integrales impropias parecen bastante inocentes pues son de la forma ∫_a^bf(x) dx, donde a y b son finitas. Sin embargo, puede ser que f(x) no se está definido para uno o más valores de x en el intervalo [a, b]. Entonces, compruebe si el integrando se vuelve infinito a cualquier valor de x con a ≤ x ≤ b. Si nunca vuelve f(x) infinita por tales valores de x, entonces la integral no se está impropia y puede ser evaluada por el teorema fundamental de cálculo. Si no, tenemos los siguientes casos:

1. Si f(x) está definida para toda x con a < x ≤ b peró se acerca a ±∞ cuando x tiende a a, definimos a

b     a

f(x) dx   =

lim r→a+

b     r

f(x) dx,

2. En forma parecida, si f(x) está definida para toda x con a ≤ x < b peró se acerca a ±∞ cuando x tiende a b, definimos a

b     a

f(x) dx   =

lim r→b-

r     a

f(x) dx,

3. Si f(x) se define para toda x con a ≤ x ≤ b salvo un solo número c, y se acerca a ±∞ cuando x tiende a c, definimos a

b     a

f(x) dx   =

c     a

f(x) dx   +

b     c

f(x) dx,

4. Si f(x) se está infinito a más que un punto, descomponemos la integral en dos o más piezas para que cada pieza caida en Caso (1) o Caso (2).

En todos estes casos, la convergencia de una integral necesita que existan (yu sean finitas) todas las integrales relacionadas.

(C) Integrales impropias en más que una manera

Puede sucedir que uno (o ambos) de los puntos extremos sea infinito, y donde f(x) también sea infinita a algún punto en el rango de integración.

En este caso descomponemos la integral en dos o más piezas para que cada pieza caida baja (A) o (B) más arriba.

En todos los casos: Si ina integral impropia I se esta descompuesto como una suma de dos o más integrales impropias,

I = J + K + . . . ,

(1) si diverge una (o más que una) de las integrales J, K, . . . , entonces también diverge I, y

(2) si converge cada integral J, K, . . ., entonces también converge I. Además, I converge a la suma de las integrales individuales.

(A) Integral impropia con un limite infinito de integración

1.

+∞     1

dx x2

=

lim M→+∞

M     1

dx x2

=

lim M→+∞

(1 - 1/M) = 1

Entonces, la integral converge a 1.

 

2.

+∞     1

dx x

=

lim M→+∞

M     1

dx x

=

lim M→+∞

(ln M - ln 1) = +∞

Esta integral diverge a +∞.

(B) Integral impropia en la que se vuelve infinito el integrando

1.

1     0

dx x1/2

=

lim r→0+

1     r

dx x1/2

=

lim r→0+

(2 - 2r1/2) = 2

Entonces, la integral converge a 2.

 

2.

1     0

dx x2

=

lim r→0+

1     r

dx x2

=

lim r→0+

(1/r - 1) = +∞

Esta integral diverge a +∞.

(C) Integral impropia en más que una manera

+∞     0

dx x2

=

1     0

dx x2

+

+∞     1

dx x2

Mirando el lado derecho, observemos que diverge la primera integral y converge la segunda. Como hay una suma que diverge, entonces la integral entera diverge también.

Una ecuación diferencial es una ecuación que interviene la derivada de una función desconocida f(x). Resolver una ecuación diferencial significa determinar aquella función desconocida. El paso clave en solucionar una ecuación diferencial es integración, que se resulta una constante arbitraria. La solución para f(x) que incluye la constante arbitraria se llama la solución general. Obtenemos una solución particular por escoger un valor para la constante, o por calcular su valor usando información adicional sobre f(x). Dos tipos de ecuaciones diferenciales que se resuelve fácilmente son las siguientes:

(a) Elemental Ecuaciones diferenciales elementales tienen la forma

dy dx

=

f(x).

y = f(x) dx.

dy dx

=

f(x)g(y).

dy g(y)

=

f(x)dx