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Matemáticas finitas resumen del tema: probabilidad

Herramientas: Calculador pop-up de factoriales, permutaciones y combinaciones

Tópicos: Espacio muestral y sucesos | Combinación de sucesos | Frecuencia relativa | Algunas propiedades de frecuencia relativa | Probabilidad modelada | Computación de probabilidad modelada para resultados equiprobables | Distribuciones de probabilidad | Principio aditivo | Propiedades adicionales de probabilidad | Probabilidad condicional | Sucesos independientes | El teorema de Bayes

Espacio muestral y sucesos

Un experimento es un acontecimiento cuyo resultado es incierto.

El conjunto de todos los resultados posibles se llama el espacio muestral del experimento.

Dado un espacio muestral S, entonces un suceso E es un subconjunto de S. Los resultados en E se llaman los resultados favorables.

Decimos que ocurre E en un experimento particular si el resultado de aquel experimento es uno de los elementos de E, es decir, si es favorable el resultado del experimento.

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Ejemplo

1. Experimento: Tire un dado al aire y observe el número orientado hacia arriba.
    Resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6
    Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    Un suceso: E: el resultado es par; E = {2, 4, 6}

2. Más abajo está un experimento que simula el lanzar de tres monedas justas y distinguibles. Para ver los resultados, pulse "Lanza monedas." El espacio muestral es el conjunto de ocho resultados posibles (a = Águila, s = Sol):

    S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que salen águilas al menos dos veces.

    E = {aaa, aas, asa, saa}

Moneda 1:
Moneda 2:
Moneda 3:
¿Resultado favorable? (en E)


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Combinación de sucesos

Si E y F son sucesos en un experimento, entonces:

E' es el suceso que E no ocurra.

E F es el suceso que ocurra E o F (o todos dos).

E F es el suceso que ocurran E y F todos dos.

E y F se llaman disjuntos o mutuamente exclusivos si (E F) es vacío.

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Ejemplo

Sea S el espacio muestral del experimento de lanzar monedas describido en la caja más arriba:

   S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que salen águilas al menos dos veces;

   E = {aaa, aas, asa, saa},

y sea F el suceso que salen soles al menos una vez;

   F = {aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}.

Entonces:

   E' = {ass, sas, ssa, sss}
   E F = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
                = S
   E F = {aas, asa, saa}

No son mutuamente exclusivos E y F, pues E F

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Frecuencia relativa

Si está realizado N veces un experimento, y el suceso E ocurre fr(E) veces, entonces la razón

    P(E)=
    fr(E)

    N
se llama la frecuencia relativa o probabilidad estimada de E.

El número fr(E) se llama la frecuencia de E. N, el número de veces que está realizado el experimento, se llama el número de pruebas o el tamaño de muestra.

Si E consiste en un solo resultado, s, entonces llamamos a P(E) la frecuencia relativa del resultado s, y lo escribimos como P(s).

Tutorial en-línea sobre frecuencia relativa

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Ejemplo

En el experimento más arriba (lance tres monedas) sea E el sucedo que salen águilas al menos dos veces. Para computar la frecuencia relativa de E, deje nos realizar el experimento simulado más abajo.

Cada vez pulsa usted "Lanza monedas" la página web calculará fr(E) y también P(E).

Moneda 1:
Moneda 2:
Moneda 3:
¿Resulatado favorable? (en E)
N:
fr(E):
P(E):


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Algunas propiedades de frecuencia relativa

Sea S = {s1, s2, ... , sn} un espacio muestral y sea P(si) la probabilidad estimado del suceso {si}. Entonces

(a) 0 ≤ P(si) ≤ 1
(b) P(s1) + P(s2) + ... + P(sn) = 1
(c) Si E = {e1, e2, ..., er}, entonces P(E) = P(e1) + P(e2) + ... + P(er).

En palabras:

(a) La frecuencia relativa de cada resultado es un número entre 0 y 1.
(b) La frecuencia relativa de todos los resultados suman 1.
(c) La frecuencia relativa de un suceso E es la suma de las probabilidades estimadas de los resultados individuales en E.

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Probabilidad modelada

La probabilidad modelada se refiere a un modelo matemático que prueba predecir la frecuencia relativa de los resultados de un experimento, determinado por la naturaleza del experimento en vez de experimentación.

Idealmente, la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad modelada a medida que el número N de pruebas sea más y más grande.

Notas

1. Usamos la misma anotación P(E) para la frecuencia relativa y la probabilidad modelada. La a cual referimos debería estar claro del contexto.
2. Probabilidad modelada satisface las mismas propiedades (muestran más arriba) que frecuencia relativa.

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Ejemplo

En el experimento más arriba hay ocho resultados en S, y la mitad son en E. Entonces, esperamos que E ocurra la mitad de las veces. En otras palabras, la probabilidad modelada de E es 0.5.

Si "lanza las monedas" en el experimento simulado más arriba un gran número de veces, la frecuencia relativa debe acercarse a 0.5. En la siguiente simulación, se puede lanzar las monedas 50 veces con cada clic del botón.

N:
fr(E):
P(E):

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Computación de probabilidad modelada para resultados equiprobables

En un experimento en lo que todos los resultados son equiprobables (es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrir), la probabilidad de un suceso E se expresa por

    P(E)=
    número de resultados favoribles

    número total de resultados
    =
    n(E)

    n(S)
en la que n(E) es el número de elementos en E, y n(S) es el número de elementos en S.

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Ejemplo

En el experimento más arriba (lance tres monedas) hay ocho resultados equiprobables en S, y la mitad están en E (el sucedo que salen águilas al menos dos veces). Entonces,

    P(E)=
    n(E)

    n(S)
    P(E)=
    4

    8
    =
    1

    2
    .

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Distribuciones de probabilidad

Pues comparten propiedades similares las distintas formas de probabilidad, referimos colectivamente a frecuencia relativa y probabilidad modelada simplemente como probabilidad. Lo que tienen en común es ;a idea de una distribución de probabilidad:

Un espacio muestral finito es simplemente un conjunto finito S. Una distribución de probabilidad es una asignación de un número P(si) a cada resultado si en un espacio muestral S ={s1, s2, ... , sn} de modo que

  (a) 0 ≤ P(si) ≤ 1
  (b) P(s1) + P(s2) + ... + P(sn) = 1.

P(si) se llama la probabilidad de si. Dado una distribución de probabilidad, obtenemos la probabilidad de un suceso E por sumar las probabilidades de los resultados en E.

Si P(E) = 0, llamamos a E un suceso imposible. El suceso es siempre imposible, pues tiene que suceder algo.

Notas

1. Todas las propiedades más arriba aplican a frecuencia relativa y también probabilidad modelada. Entonces, cuando hablamos solo de "probabilidad," podemos significar cualquiera de los dos, dependiendo del contexto.

Tutorial en-línea sobre distribuciones de probabilidad

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Ejemplo

1. Todos los ejemplos más arriba de frecuencia relativa y probabilidad modelada dan ejemplos de distribuciones de probabilidad.

2. Sea S = {a, s} y deje nos hacer las asignaciones P(a) = 0.2, P(s) = 0.8. Pues estos números están entre 0 y 1 y suman 1, especifican una distribución de probabilidad.

3. Sea otra vez S = {a, s}, podríamos hacer P(a) = 1, P(s) = 0, entonces "sol" estaría un resultado imposible.

4. La siguiente tabla da una distribución de probabilidad para el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Resultado 123456
Probabilidad0.30.300.10.20.1

Por lo tanto se puede decir que

P({1, 6}) = 0.3 + 0.1 = 0.4
P({2, 3}) = 0.3 + 0 = 0.3
P(3) = 0         Un resultado imposible

5. Si lanzamos tres monedas como en varios ejemplos más arriba, pero esta vez tomamos en cuenta solo el número de águilas que sale, de modo que S = {0, 1, 2, 3}. La distribución de probabilidad (modelada) se calcula por contando los números de combinaciones que producen 0, 1, 2, y 3 águilas:

Resultado0123
Probabilidad0.1250.3750.3750.125

La siguiente simulación calcula la distribución de frecuencia relativa del experimento más arriba. Encontrará que, después de muchos lanzados de las monedas, estas probabilidades convergen a las probabilidades modeladas mostradas más arriba.

N
Distribución de frecuencia
0123
Distribución de frecuencia relativa
0123

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Principio aditivo

Sucesos mutuamente exclusivos
Si E y F son sucesos mutuamente exclusivos, entonces

P(E F) = P(E) + P(F).
Una formula similar aplica a la situación de más que dos sucesos: Si E1, E2, . . . , En son sucesos mutuamente exclusivos (es decir, la intersección de cada par es vacía) y E es la unión de E1, E2, . . . , En, entonces
P(E) = P(E1) + P(E2) + . . . + P(En).

Principio aditivo general
Si E y F son cualquier dos sucesos, entonces

P(E F) = P(E) + P(F) - P(E F).

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Ejemplo

Sea S el espacio muestral del experimento de lanzar monedas más arriba;

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que sale águilas exactamente una vez;

E = {ass, sas, ssa}
y sea F el suceso que sale águilas exactamente dos veces;
F = {aas, asa, saa}.

Entonces E y F son mutuamente exclusivos, y

P(E F) = P(E) + P(F) = 3/8 + 3/8 = 6/8.

Ahora sea E como más arriba, y sea F el suceso que sale águilas no más que una vez:

F = {ass, sas, ssa, sss}
Entonces E y F no son mutuamente exclusivos, y EF es el suceso que sale águila exactamente una vez (= E). Entonces,
P(E F) = P(E) + P(F) - P(E F)
      = 3/8 + 4/8 3/8 = 4/8.

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Propiedades adicionales de probabilidad

Tenemos las siguientes propiedades para cualquier espacio muestral S y cualquier suceso E.

P(S) = 1La probabilidad de sucede algo es 1.
P() = 0La probabilidad de sucede nada es 0.
P(E') = 1-P(E)     La probabilidad de no sucede E es 1 menos la probabilidad de E.

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Ejemplo

Siguiendo con

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que sale águilas exactamente una vez;

E = {ass, sas, ssa}.
Entonces E' es el suceso que no sale águilas exactamente una vez, y
P(E') = 1- P(E) = 1- 3/8 = 5/8.

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Probabilidad condicional

Si E y F son dos sucesos, la probabilidad condicional, P(E | F), es la probabilidad que E ocurra, dado que (ya) ocurrió F, y se define por

    P(E | F)=
    P(E F)

    P(F)
    .

Podemos reescribir esta formula en una forma conocida como el principio multiplicativo:

    P(E F) = P(F)P(E | F).

Probabilidad condicional estimada
Si E y F son sucesos y P es frecuencia relativa, entonces

    P(E | F)=
    fr(E F)

    fr(F)
    .

Probabilidad condicional para resultados equiprobables
Si todos los resultados en S son equiprobables, entonces

    P(E | F)=
    n(E F)

    n(F)
    .

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Ejemplo

Sea S el original espacio muestral para el experimento más arriba;

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que salen águilas exactamente una vez;

E = {ass, sas, ssa}
y sea F el suceso que la primera moneda sale águilas;
F = {aaa, aas, asa, ass}.

Entonces la probabilidad que salen águilas exactamente una vez, dado que la primera moneda ya salió águilas es

    P(E | F)=
    P(E F)

    P(F)
    =
    P{ass}

    P(F)
    =
    1/8

    1/2
    =
    1

    4
    .

Pues son equiprobables los resultados en este experimento, podemos también usar la formula

Sucesos independientes

Los sucesos E y F son independientes si

P(E | F) = P(E)
o, equivalentemente, (suponiendo que P(F) no es igual a 0), tenemos la:

Prueba de independencia

Los sucesos E y F son independientes siempre y cuando

P(E F) = P(E)P(F).

Los sucesos E y F se llaman dependientes cuando no son independientes. Dado cualquier número de sucesos mutuamente independientes (es decir, cada uno de ellos es independiente de la intersección de cualquier combinación de los demás), la probabilidad de su intersección es el producto de las probabilidades de los sucesos individuales.

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Ejemplo

Como de costumbre, sea S

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que salen águilas exactamente una vez;

E = {ass, sas, ssa}
y sea F el suceso que la primera moneda sale águilas;
F = {aaa, aas, asa, ass}.

Para probar estos dos sucesos para independencia, comprobamos la formula

P(E F) = P(E)P(F).
En este caso,
    P(E) = 3/8, P(F) = 1/2, y
    E F = {ass}, entonces P(E F) = 1/8.
Pues
    (3/8)(1/2) 1/8,
los sucesos E y F no son independientes.

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El teorema de Bayes

La forma corta del teorema de Bayes afirma que, si E y F son sucesos, entonces

    P(F | E)=
    P(E | F)P(F)

    P(E | F)P(F) + P(E | F')P(F')
    .

Podemos frecuentemente calcular P(F | E) en cambio por construir un árbol de probabilidad. (Para ver como hacerlo, vaya al tutorial siguiendo el enlace más abajo.)

Una forma ampliada del teorema de Bayes afirma que, si E es un suceso, y si F1, F2, y F3 forman una partición del espacio muestral S, entonces

P(F1 | E)=
P(E | F1)P(F1)

P(E | F1)P(F1) + P(E | F2)P(F2) + P(E | F3)P(F3)
.

Una formula similar es válida para una partición de S en cuatro o más sucesos.

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Ejemplo

Si P(E | F) = 0.95     P(E | F') = 0.15     P(F) = 0.1     P(F') = 0.9,   entonces

P(F | E)=
P(E | F)P(F)

P(E | F)P(F) + P(E | F')P(F')
=
(0.95)(0.1)

(0.95)(0.1) + (0.15)(0.9)
0.4130.

Este ejemplo es basado en un escenario discutido en el tutorial (enlace en la caja a la izquierda).

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Ultima actualización: abril 2010
Derechos de autor © Stefan Waner

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