Un experimento en un acontecimiento cuyo resultado es incierto.

El conjunto de todos resultados posibles se llama el espacio muestral del experimento.

Dado un espacio muestral S, entonces un suceso E es un subconjunto de S. Los resultados en E se llaman los resultados favorables.

Decimos que ocurre E en un experimento particular si el resultado de aquel experimento es uno de los elementos de E, es decir, si es favorable el resultado del experimento.

Tutorial en-línea comenzando con este tópico

1. Experimento: Tire un dado al aire y observe el número orientado hacia arriba.
    Resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6
    Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    Un suceso: E: el resultado es par; E = {2, 4, 6}

2. Más abajo está un experimento que simula el lanzar de tres monedas justas y distinguibles. Para ver los resultados, pulse "Lanza monedas." El espacio muestral es el conjunto de ocho resultados posibles (C = Cara, Χ = Cruz):

S = {CCC, CCΧ, CΧC, CΧΧ, ΧCC, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}

Sea E el suceso que salen caras al menos dos veces.

E = {CCC, CCΧ, CΧC, ΧCC}

Si E y F son sucesos en un experimento, entonces:

E' es el suceso que E no ocurra.

E F es el suceso que ocurra E o F (o todos dos).

E F es el suceso que ocurran E y F todos dos.

E y F se llaman disjuntos o mutuamente exclusivos si (E F) es vacío.

Sea S el espacio muestral del experimento de lanzar monedas describido en la caja más arriba:

   S = {CCC, CCΧ, CΧC, CΧΧ, ΧCC, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}

Sea E el suceso que salen caras al menos dos veces;

   E = {CCC, CCΧ, CΧC, ΧCC},

   F = {CCΧ, CΧC, CΧΧ, ΧCC, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}.

Entonces:

   E' = {CΧΧ, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}
   E F = {CCC, CCΧ, CΧC, CΧΧ, ΧCC, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}
                = S
   E F = {CCΧ, CΧC, ΧCC}

No son mutuamente exclusivos E y F, pues E F ≠

Si está realizado N veces un experimento, y el suceso E ocurre fr(E) veces, entonces la razón

P(E)

=

fr(E) N

El número fr(E) se llama la frecuencia de E. N, el número de veces que está realizado el experimento, se llama el número de pruebas o el tamaño de muestra.

Si E consiste en un solo resultado, s, entonces llamamos a P(E) la probabilidad estimada del resultado s, y lo escribimos como P(s).

Tutorial en-línea sobre probabilidad estimada

En el experimento más arriba (lance tres monedas) sea E el sucedo que salen caras al menos dos veces. Para computar la probabilidad estimada de E, deje nos realizar el experimento simulado más abajo.

Cada vez pulsa usted "Lanza monedas" la página web calculará fr(E) y también P(E).

Sea S = {s₁, s₂, ... , s_n} un espacio muestral y sea P(s_i) la probabilidad estimado del suceso {s_i}. Entonces

(a) 0 ≤ P(s_i) ≤ 1
(b) P(s₁) + P(s₂) + ... + P(s_n) = 1
(c) Si E = {e₁, e₂, ..., e_r}, entonces P(E) = P(e₁) + P(e₂) + ... + P(e_r).

En palabras:

(a) La probabilidad estimada de cada resultado es un número entre 0 y 1.
(b) La probabilidad estimada de todos los resultados suman 1.
(c) La probabilidad estimada de un suceso E es la suma de las probabilidades estimadas de los resultados individuales en E.

La probabilidad teórica, P(E), de un suceso E es su probabilidad determinado por la naturaleza del experimento en vez de experimentación.

La probabilidad estimada se acerca a la probabilidad teórica a medida que el número N de pruebas sea más y más grande.

Notas

1. Usamos la misma anotación P(E) para probabilidad estimada y teórica. Cual a la estamos refiriendo debería estar claro del contexto.
2. Probabilidad teórico satisface las mismas propiedades (muestran más arriba) que probabilidad estimada.

En el experimento más arriba hay ocho resultados en S, y la mitad son en E. Entonces, esperamos que E ocurra la mitad de las veces. En otras palabras, la probabilidad teórica de E es 0.5.

Si "lanza las monedas" en el experimento simulado más arriba un gran número de veces, la probabilidad estimada debe acercarse a 0.5. En la siguiente simulación, se puede lanzar las monedas 50 veces con cada clic del botón.

En un experimento en lo que todos los resultados son equiprobables (es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrir), la probabilidad de un suceso E se expresa por

P(E)	=	número de resultados favoribles número total de resultados
	=	n(E) n(S)

En el experimento más arriba (lance tres monedas) hay ocho resultados equiprobables en S, y la mitad están en E (el sucedo que salen caras al menos dos veces). Entonces,

P(E)	=	n(E) n(S)
P(E)	=	4 8 = 1 2 .

Pues comparten propiedades similares las distintas formas de probabilidad, referimos colectivamente a probabilidad estimada y probabilidad teórica simplemente como probabilidad. Lo que tienen en común es ;a idea de una distribución de probabilidad:

Un espacio muestral finito es simplemente un conjunto finito S. Una distribución de probabilidad es una asignación de un número P(s_i) a cada resultado s_i en un espacio muestral S ={s₁, s₂, ... , s_n} de modo que

  (a) 0 ≤ P(s_i) ≤ 1
  (b) P(s₁) + P(s₂) + ... + P(s_n) = 1.

P(s_i) se llama la probabilidad de s_i. Dado una distribución de probabilidad, obtenemos la probabilidad de un suceso E por sumar las probabilidades de los resultados en E.

Si P(E) = 0, llamamos a E un suceso imposible. El suceso es siempre imposible, pues tiene que suceder algo.

Notas

1. Todas las propiedades más arriba aplican a probabilidad estimada y también probabilidad teórica. Entonces, cuando hablamos solo de "probabilidad," podemos significar cualquiera de los dos, dependiendo del contexto.

Tutorial en-línea sobre distribuciones de probabilidad

1. Todos los ejemplos más arriba de probabilidad estimada y probabilidad teórica dan ejemplos de distribuciones de probabilidad.

2. Sea S = {C, Χ} y deje nos hacer las asignaciones P(C) = 0.2, P(Χ) = 0.8. Pues estos números están entre 0 y 1 y suman 1, especifican una distribución de probabilidad.

3. Sea otra vez S = (C, Χ}, podríamos hacer P(C) = 1, P(Χ) = 0, entonces "Cruz" estaría un resultado imposible.

4. La siguiente tabla da una distribución de probabilidad para el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Por lo tanto se puede decir que

P({1, 6}) = 0.3 + 0.1 = 0.4

P({2, 3}) = 0.3 + 0 = 0.3

P(3) = 0         Un resultado imposible

5. Si lanzamos tres monedas como en varios ejemplos más arriba, pero esta vez tomamos en cuenta solo el número de caras que sale, de modo que S = {0, 1, 2, 3}. La (teórica) distribución de probabilidad se calcula por contando los números de combinaciones que producen 0, 1, 2, y 3 caras:

La siguiente simulación calcula la distribución de probabilidad estimada del experimento más arriba. Encontrará que, después de muchos lanzados de las monedas, estas probabilidades convergen a las probabilidades teóricas mostrado más arriba.

Sucesos mutuamente exclusivos
Si E y F son sucesos mutuamente exclusivos, entonces

P(E F) = P(E) + P(F).

P(E) = P(E₁) + P(E₂) + . . . + P(E_n).

Principio aditivo general
Si E y F son cualquier dos sucesos, entonces

P(E F) = P(E) + P(F) - P(E F).

Sea S el espacio muestral del experimento de lanzar monedas más arriba;

S = {CCC, CCΧ, CΧC, CΧΧ, ΧCC, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}

Sea E el suceso que sale caras exactamente una vez;

E = {CΧΧ, ΧCΧ, ΧΧC}

F = {CCΧ, CΧC, ΧCC}.

Entonces E y F son mutuamente exclusivos, y

P(E F) = P(E) + P(F) = 3/8 + 3/8 = 6/8.

Ahora sea E como más arriba, y sea F el suceso que sale caras no más que una vez:

F = {CΧΧ, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}

P(E F) = P(E) + P(F) - P(E F)
      = 3/8 + 4/8 3/8 = 4/8.

Tenemos las siguientes propiedades para cualquier espacio muestral S y cualquier suceso E.

P(S) = 1	La probabilidad de sucede algo es 1.
P() = 0	La probabilidad de sucede nada es 0.
P(E') = 1-P(E)	La probabilidad de no sucede E es 1 menos la probabilidad de E.

Siguiendo con

S = {CCC, CCΧ, CΧC, CΧΧ, ΧCC, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}

Sea E el suceso que sale caras exactamente una vez;

E = {CΧΧ, ΧCΧ, ΧΧC}.

P(E') = 1- P(E) = 1- 3/8 = 5/8.

Si E y F son dos sucesos, la probabilidad condicional, P(E | F), es la probabilidad que E ocurra, dado que (ya) ocurrió F, y se define por

P(E | F)

=

P(E F) P(F)

.

Podemos reescribir esta formula en una forma conocida como el principio multiplicativo:

P(E F) = P(F)P(E | F).

Probabilidad condicional estimada
Si E y F son sucesos y P es probabilidad estimada, entonces

P(E | F)

=

fr(E F) fr(F)

.

Probabilidad condicional para resultados equiprobables
Si todos los resultados en S son equiprobables, entonces

P(E | F)

=

n(E F) n(F)

.

Tutorial en-línea comenzando con este tópico

Sea S el original espacio muestral para el experimento más arriba;

S = {CCC, CCΧ, CΧC, CΧΧ, ΧCC, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}

Sea E el suceso que sale caras exactamente una vez;

E = {CΧΧ, ΧCΧ, ΧΧC}

F = {CCC, CCΧ, CΧC, CΧΧ}.

Entonces la probabilidad que sala caras exactamente una vez, dado que la primera moneda ya salió caras es

P(E | F)	=	P(E F) P(F)
	=	P{CΧΧ} P(F)
	=	1/8 1/2 = 1 4 .

Pues son equiprobables los resultados en este experimento, podemos también usar la formula

P(E | F)	=	n(E F) n(F)
	=	1 4 .

Cabeza de la página

Los sucesos E y F son independientes si

P(E | F) = P(E)

Los sucesos E y F se llaman dependientes cuando no son independientes. Dado cualquier número de sucesos mutuamente independientes (es decir, cada uno de ellos es independiente de la intersección de cualquier combinación de los demás), la probabilidad de su intersección es el producto de las probabilidades de los sucesos individuales.

Como de costumbre, sea S

S = {CCC, CCΧ, CΧC, CΧΧ, ΧCC, ΧCΧ, ΧΧC, ΧΧΧ}

Sea E el suceso que sale caras exactamente una vez;

E = {CΧΧ, ΧCΧ, ΧΧC}

F = {CCC, CCΧ, CΧC, CΧΧ}.

Para probar estos dos sucesos para independencia, comprobamos la formula

P(E F) = P(E)P(F).

P(E) = 3/8, P(F) = 1/2, y
E F = {CΧΧ}, entonces P(E F) = 1/8.

(3/8)(1/2) 1/8,

La forma corta teorema de Bayes afirma que, si E y F son sucesos, entonces

P(F | E)

=

P(E | F)P(F) P(E | F)P(F) + P(E | F')P(F')

.

Podemos frecuentemente calcular P(F | E) en cambio por construir un árbol de probabilidad. (Para ver como hacerlo, vaya al tutorial siguiendo el enlace más abajo.)

Una forma ampliada de la teorema de Bayes afirma que, si E es un suceso, y si F₁, F₂, y F₃ forman una partición del espacio muestral S, entonces

P(F1 | E)

=

P(E | F1)P(F1) P(E | F1)P(F1) + P(E | F2)P(F2) + P(E | F3)P(F3)

.

Una formula similar es válida para una partición de S en cuatro o más sucesos.

Tutorial en-línea comenzando con este tópico

Si P(E | F) = 0.95     P(E | F') = 0.15     P(F) = 0.1     P(F') = 0.9,   entonces

P(F | E)	=	P(E | F)P(F) P(E | F)P(F) + P(E | F')P(F')
	=	(0.95)(0.1) (0.95)(0.1) + (0.15)(0.9)
		0.4130.

Este ejemplo es basado en un escenario discutido en el tutorial (enlace en la caja a la izquierda).