Continuidad & Diferenciabilidad
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Parte B: Diferenciabilidad Ejercicios para este tema Índice de texto en línea Todo para Cálculo Aplicado Todo para Matemáticas Finitas Todo para Matemáticas Finitas & Cálculo Aplicado Utilidad: Evaluador & Graficador de Funciones English |
Parte A: Continuidad
Nota Para entender este tema, debes estar familiarizado con los límites, como se explica en el capítulo sobre derivadas en Cálculo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, puede revisar el material en el resumen del tema de derivadas y límites o, para estudiarlo más detalladamente, el tutorial en línea sobre límites.
Para comenzar, recordemos la definición (consultando la sección 6 del capítulo de derivadas en Cálculo Aplicado al Mundo Real) de lo que significa para que sea continúa una función en un punto o en un subconjunto de su dominio.
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Continua en un Punto
La función f es continua en el punto a de su dominio si:
Nota
Continua en un subconjunto del dominio
Ejemplos
2. La función f(x) = 1/x, también de forma cerrada, es continua en cada punto de su dominio. (Nota que 0 no es un punto del dominio de f, por tanto no hablamos de lo que podría significar ser continua o discontinua ahí). 3. La función
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Ejemplo 1 Reconociendo puntos de discontinuidad en una gráfica
Sea f la gráfica que se muestra a continuación.
¿En qué puntos del dominio de f es discontinua la función f?
Solución
De acuerdo con la definición, f puede fallar en ser continua en un punto de su dominio si:
| 1. | lim x→a | f(x) no existe, o |
| 2. | lim x→a | f(x) existe, pero ≠ f(a) |
Mirando la figura, vemos que los puntos posibles en los que puede salir mal las cosas están en x = -1, 0, 1, y 2. Vehamos estos puntos uno a la vez.
x = -1: Observa que x = -1 es un punto en el dominio de f, y lim x→-1f(x) no existe, porque los límites izquierda y derecha no están de acuerdo. Por lo tanto, f tiene una discontinuidad en x = -1.
x = 0: A partir de la gráfica, vemos que f(0) no se define. Por lo tanto, 0 no está en el dominio de f, así que no podemos decir que f tiene a discontinuidad en x = 0. (Algunos autores dirían que f es discontinua en x = 0, pero no consideramos tales puntos...)
x = 1: En el punto donde x = 1, el límite sí existe,
| lim x→1 | f(x) = 1, pero |
| f(1) | = 2 |
x = 2: Aunque hay una cúspide en la gráfica en x = 2, verá que el límite en x = 2 existe, y coincide con f(2). Por lo tanto, f es continua en x = 2.
Así, los únicos puntos de discontinuidad en el dominio de f ocurran en x = -1 y x =1.
Aquí está un ejemplo más interactivo.
Ejemplo 2 Reconociendo puntos de discontinuidad en una gráfica
Sea f la gráfica que se muestra a continuación.
Los siguientes ejemplos presentan las funciones especificadas algebraicamente en lugar de geométricamente.
Ejemplo 3 Identificación de puntos de discontinuidad en una función de forma no cerrada.
Sea f especificada como
| f(x) = |  | x2+4 x + 1 x2 + 1 | si x ≤ 0 si 0 < x ≤ 1 si x > 1 |
. |
Mirando cerca de x = 0, obtenemos
| lim x→0- | f(x) = 4 | Sustituye x = 0 en la primera (forma cerrada) formula |
| lim x→0+ | f(x) = 1 | Sustituye x = 0 en la segunda (forma cerrada) formula |
Puesto que estos límites no están de acuerdo, limx→0f(x) no existe, y por tanto la función es discontinua en x = 0.
Si ahora calculas los límites a la izquierda y derecha en x = 1, por otra parte, tu encontraras que están de acuerdo e igual a 2, que es también el valor de f(1). Por lo tanto, f es continua en x = 1, y el único punto de discontinuidad es x = 0.
Ejemplo 4 Ajustando una función
Sea f una función dada por
| f(x) = | | x2 - x + 1 kx2 + 1 | si x ≤ 1 si x > 1 |
. |
Solución
Dado que el único lugar en el que algo puede ir mal es en x = 1, miramos los límites izquierdo y derecho, y también como el valor de la función.
| lim x→1- | f(x) = 1 |
| lim x→1+ | f(x) = k+1 |
| f(1) = 1 | |
Ahora puedes seguir y tratar los ejercicios que tienen que ver con la continuidad de los ejercicios para este tema, o primero seguir a Parte B: Diferenciabilidad.
