Comienza con un punto $(a, f(a))$ en la grafica de una función $f.$ Si la curva es suave en ese punto -- es decir, si $f'(a)$ existe -- entonces obtenemos
$f'(a) = \frac{lim}{h→0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
Esto significa que lo más pequeño que sea $h,$ lo más cerca $(f(a+h) - f(a))/h$ se aproxima a $f'(a).$ De este modo, para valores pequeños de $h$ (cercano a cero),
$f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
Multiplicando ambos lados por $h$ y despejando a $f(a+h)$ nos da
$hf'(a) \approx f(a+h) - f(a),$
y así
$f(a+h) \approx f(a) + hf'(a).$
Ahora, ya que $h$ es pequeño, $a+h \approx a.$ Es mas útil para nuestro propósito llamar a este número $x,$ así $x = a+h.$ Esto también nos da $h = x - a.$ Sustituyendo nos da la aproximación
$f(x) \approx f(a) + (x-a)f'(a).$
La función dada por el lado derecho,
$L(x) = f(a) + (x-a)f'(a),$
es la aproximación lineal deseada (su gráfica es la recta tangente a la curva en $(a, f(a)).$
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