Nota Para entender este tema, debes estar familiarizado con derivadas, como se explican en el capitulo 3 de Cálculo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, puedes revisar el material del resumen técnicas de diferenciación o, para estudiarlo más detalladamente, el tutorial en rectasobre derivadas de potencias, sumas y múltiplos constantes.

Comencemos con la observación de que si si se acerca en una porción de una curva suave cercano a un punto especificado, se hace indistinguible de la recta tangente en ese punto. En otras palabras:

$y= y_0 + m(x - x_0)$

$   = f(a) + f'(a)(x - a)$

$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a).$

P El argumento anterior está basado en la geometría: la observación que la recta tangente es indistinguible de la gráfica original cercano al punto de tangencia. ¿Hay una manera algebraica para ver por qué esto es verdad?
R Si. has clic aquí para ver una derivación algebraica de la aproximación lineal.

Aproximación lineal de $f(x)$ cercano a $x = a$ Si $x$ está cercano a a, entonces $f(x) \approx f(a) + (x-a)f'(a).$ El lado derecho, $L(x) = f(a) + (x-a)f'(a),$ si es una función lineal de $x,$ se llama la aproximación lineal de $f(x)$ cercano a $x = a.$

 
Ejemplo 1 Aproximación lineal de la raíz cuadrada

Solución

$f'(x) = 1/(2x^{1/2}),$
$f'(4) = 1/(2 \cdot. 4^{1/2}) = 1/4.$

$L(x) = f(4) + (x-4)f'(4)$
       $ = 2 + (x-4)/4$
       $ = 0.25x + 1.$

Ejemplo 2 Aproximación lineal del logaritmo

Solución

Ahora usa la formula de aproximación lineal:

$L(x) = f(a) + (x-a)f'(a).$

Sustituyendo y simplificando da (las respuestas numéricas deberían ser exactas a 4 posiciones decimales):

$\ln(0.843) \approx 0.843 - 1 = -0.157,$
$\ln(0.999) \approx 0.999 - 1 = -0.001.$

Estimación de error

$f(x) \approx f(a) + (x-a)f'(a),$      o
$f(x) - f(a) \approx (x-a)f'(a)$

Cambio en $f\approx$  Cambio en $x \times f'(a).$

Usando la notación delta, esto se convierte en

$Δf \approx Δx f'(x).$

$Δy \approx Δx \frac {dy}{dx}$      Observa cómo el $dx$ y $Δx$ aparecerán para cancelar

 
Ejemplo 3 Error de medida

Precisión S.A de C.V. fábrica el rodamiento con bolas de un radio de 1.2 milímetros, que varían por el ±0.1 milímetros. ¿Cúal es el volumen de las bolas, y por cuanto puede variar?

Solución

$   V = \frac{4}{3} πr^3.$
$\frac{dV}{dr} = 4πr^3$

$              V = \frac{4}{3}π(1.2)^3 \approx 7.24 mm^3$
$\left\[\frac{dV}{dr} \right\]_{r=1.2} = 4π(1.2)^3 \approx 18.10$

Por lo tanto,

$ΔV \approx Δr \left\[\frac{dV}{dr}\right\]_{r=1.2} = (0.1)(18.1) = 1.81$

Ejemplo 4 Pequeños conos

$V = \frac{1}{3}  πr^2 h.)$

Ahora puedes continuar con los ejercicios para este tema.