Usando y Derivando
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Logaritmos
Comenzamos por revisar las funciones básicas como en la sección 2.3 de Calcúlo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, también puede mirar el Resumen del tema sobre logaritmos.
Logaritmos base $b$
El logaritmo de $x$ con base $b,$ $\log_b x,$ es la Potencia a la cual hay que elevar $b$ para obtener $x.$ Simbólicamente,
1. El número $\log_b x$ sólo está definido si tanto $b$ como $x$ son positivos, y $b \neq 1.$ 2. El número $\log_{10} x$ se llama el logaritmo común de $x,$ y a veces se escribe como $\log x.$ 3. El número $\log_e x$ se llama el logaritmo natural de $x$ y a veces se escribe como $\ln x.$ Ejemplos
Aquí están algunos para que tu intentes |
Ejemplo 1 Cálculo manual de Logaritmos
Propiedades Algebraicas de Logaritmos
Las siguientes identidades se aplican para cualquier positivo $a \neq 1$ y cualquiera números positivos $x$ e $y.$
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Ejemplo 2 Utilizando las propiedades de los logaritmos
P ¿De dónde vienen las identidades?
R En términos generales, reformulaciones en forma logarítmica de las leyes exponenciales.
Aquí está una forma intuitiva de pensar sobre ello: Ya que los logaritmos son exponentes, esta identidad expresa la ley familiar que el exponente de un producto es la suma de los exponentes.
La segunda identidad logarítmica se muestra casi de la misma forma, y lo dejamos para ti para la práctica.
P ¿Porqué es $\log_a(x^r) = r \log_ax$ ?Ya que los logaritmos son exponentes, podemos utilizarlos para resolver ecuaciones donde la incógnita es en el exponente.
Ejemplo 3 Solucionar para el exponente
Soluciona las ecuaciones siguientes para $x.$Solución Podemos solucionar estas ecuaciones traduciendo de forma exponencial a forma logarítmica.
(a) Escriba la ecuación dada en forma logarítmica:
$4^{-x^2} = 1/64$ | Forma Exponencial | |
$\log_4(1/64) = -x^2$ | Forma Logarítmica | |
Por lo tanto, | $-x^2 = \log_4(1/64) = -3$ | |
dan do | $x = ±3^{1/2}.$ |
(b) Antes de convertirlo a forma logarítmica, primero divida ambos lados de la ecuación por 5:
$5 (1.1^{2x+3}) = 200$ | ||
$1.1^{2x+3} = 40$ | Forma Exponencial | |
$\log_{1.1}40 = 2x+3$ | Forma Logarítmica | |
Esto da | $2x + 3 = \ln 40/\ln 1.1 \approx 38.7039,$ | Identidad (e) |
y por lo tanto | $x \approx 17.8520.$ |
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