Logaritmos

Comenzamos por revisar las funciones básicas como en la sección 2.3 de Calcúlo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, también puede mirar el Resumen del tema sobre logaritmos.

Logaritmos base b El logaritmo de x con base b, logbx, es el Potencia a la cual hay que elevar b para obtener x. Simbólicamente, logbx = y    significa     by = x. Forma Logarítmica Forma Exponencial Notas 1. El número logbx sólo está definido si tanto b como x son positivos, y b ≠ 1. 2. El número log10x se llama el logaritmo común de x, y a veces se escribe como log x. 3. El número logex se llama el logaritmo natural de x y a veces se escribe como ln x. Ejemplos En la siguiente tabla enumeramos algunas ecuaciones exponenciales y sus formas logarítmicas equivalentes. Forma Exponencial 103 = 1,000 42 = 16 33 = 27 51 = 5 70 = 1 4-2 = 1/16 251/2 = 5 Forma Logarítmica log101,000 = 3 log416 = 2 log327 = 3 log55 = 1 log71 = 0 log4(1/16) =-2 log255 = 1/2 Aquí están algunos para que tu intentes Forma Exponencial 102 = 100 3-2 = 1/9 Forma Logarítmica log    =    log    =    Forma Exponencial ^ =   ^ =   Forma Logarítmica log31 =0 log5(1/125) = -3

 
Ejemplo 1 Cálculo manual de Logaritmos

(a)	log28	=	Potencia a la que hay que elevar 2 para obtener 8
		=	3       Porque 23 = 8
(b)	log41	=	Potencia a la que hay que elevar 4 para obtener 1
		=	0       Porque 40 = 1
(c)	log1010,000	=	Potencia a la que hay que elevar 10 para obtener 10,000
		=	4       Porque 104 = 10,000
(d)	log101/100	=	Potencia a la que hay que elevar 10 para obtener 1/100
		=	-2       Porque 10-2 = 1/100
(e)	log327	=
(f)	log93	=
(g)	log3(1/81)	=

Propiedades Algebraicas de Logaritmos Las siguientes identidades se aplican para cualquier positivo a ≠ 1 y cualquiera números positivos x e y. Identidad Ejemplo (a) loga(xy) = logax + logay log216 = log28 + log22 (b) loga x y = logax -logay log2 5 3 = log25 - log23 (c) loga(xr) = r logax log2(65) = 5 log26 (d) logaa = 1          loga1 = 0 log22 = 1 log31 = 0 (e) loga 1 x = -logax log2 1 3 = -log23 (f) logax = log x log a = ln x ln a log25 = log 5 log 2   2.3219

 
Ejemplo 2 Utilizando las propiedades de los logaritmos

Sea a = log 2, b = log 3, c = log 5. Escriba lo siguiente en términos de a, b, c.
Nota Si cualquier respuesta que ingresas no es simplificada -- por ejemplo, si dices a + a en lugar de 2a -- se marcará incorrecto.

		Respuesta
(a)	log 6	log 2 + log 3 = a + b
(b)	log 15
(c)	log 30	log 2 + log 3 + log 5 = a + b + c
(d)	log 12
(e)	log 1.5	log 3 - log 2 = b - a
(f)	log(1/9)
(g)	log 32	log 2 = 5 log 2 = 5a
(h)	log(1/81)

P ¿De dónde vienen las identidades?
R En términos generales, reformulaciones en forma logarítmica de las leyes exponenciales.

P ¿Por qué es log_axy = log_ax + log_ay ?
R Sea s = log_ax, y sea t = log_ay. En forma exponencial, estas ecuaciones dicen que

a^s = x y a^t = y.

a^sa^t = xy,
Es decir,

a^s+t = xy.

log_a(xy) = s + t = log_ax + log_ay

Aquí está una forma intuitiva de pensar sobre ello: Ya que los logaritmos son exponentes, esta identidad expresa la ley familiar que el exponente de un producto es la suma de los exponentes.

La segunda identidad logarítmica se muestra casi de la misma forma, y lo dejamos para ti para la práctica.

P ¿Porqué es log_a(x^r) = r log_ax ?
R Sea t = log_ax. Escriba esto en forma exponencial

a^t = x.

a^rt = x^r.

log_a(x^r) = rt = rlog_ax,

Comprobara la identidad (d) la dejaremos para que practiques.

P ¿Por qué es log_a(1/x) = -log_ax ?
R Esto se desprende de las identidades (b) y (d) (piensa en ello).

P ¿Por qué es

logax

=

log x log a

=

ln x ln a

?

a^s = x.

log_ba^s = log_bx,

slog_ba = log_bx,

s =	logbx logba

Ya que los logaritmos son exponentes, podemos utilizarlos para resolver ecuaciones donde la incógnita es en el exponente.

Ejemplo 3 Solucionar para el exponente

Soluciona las ecuaciones siguientes para x.

(a) 4^-x2 = 1/64.
(b) 5 (1.1^2x+3) = 200

Solución Podemos solucionar estas ecuaciones traduciendo de forma exponencial a forma logarítmica.

(a) Escriba la ecuación dada en forma logarítmica:

	4-x2 = 1/64	Forma Exponencial
	log4(1/64) = -x2	Forma Logarítmica
Por lo tanto,	-x2 = log4(1/64) = -3
dan do	x = 31/2.

(b) Antes de convertirlo a forma logarítmica, primero divida ambos lados de la ecuación por 5:

	5 (1.12x+3) = 200
	1.12x+3 = 40	Forma Exponencial
	log1.140 = 2x+3	Forma Logarítmica
Esto da	2x + 3 = ln 40/ln 1.1 38.7039,	Identidad (e)
y por lo tanto	x 17.8520.

Puedes continuar ahora y probar los ejercicios en los ejercicio para este tema.