Usando y Derivando
Propiedades Algebraicas de Logaritmos
varios temas en línea para
Calcúlo Aplicado al Mundo Real

              Página principal
Ejercicios para este tema
Índice de temas en línea
Todo para Calcúlo Aplicado
Todo para Matemáticas Finitas
Todo para Matemáticas Finitas & Calcúlo Aplicado
Utilidad: Evaluador & Graficador de Funciones
English

Logaritmos

Comenzamos por revisar las funciones básicas como en la sección 2.3 de Calcúlo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, también puede mirar el Resumen del tema sobre logaritmos.

Logaritmos base $b$
El logaritmo de $x$ con base $b,$ $\log_b x,$ es la Potencia a la cual hay que elevar $b$ para obtener $x.$ Simbólicamente,
    $\log_b x = y$    significa     $b^y = x.$
    Forma LogarítmicaForma Exponencial
Notas
1. El número $\log_b x$ sólo está definido si tanto $b$ como $x$ son positivos, y $b \neq 1.$
2. El número $\log_{10} x$ se llama el logaritmo común de $x,$ y a veces se escribe como $\log x.$
3. El número $\log_e x$ se llama el logaritmo natural de $x$ y a veces se escribe como $\ln x.$

Ejemplos
En la siguiente tabla enumeramos algunas ecuaciones exponenciales y sus formas logarítmicas equivalentes.

Forma Exponencial$10^3 = 1\,000$$4^2 = 16$$3^3 = 27$$5^1 = 5$$7^0 = 1$$4^{-2} = 1/16$$25^{1/2} = 5$
Forma Logarítmica$\log_{10} 1\,000 = 3$$\log_4 16 = 2$$\log_3 27 = 3$$\log_5 5 = 1$$\log_7 1 = 0$$\log_4 (1/16) = -2$$\log_{25} 5 = 1/2$

Aquí están algunos para que tu intentes

Forma Exponencial$10^2 = 100$$3^{-2} = 1/9$
Forma Logarítmica
$\log$  
 $=$ 

 
$\log$  
 $=$ 

 

Forma Exponencial ^ $=$
 
^ $=$
 
Forma Logarítmica $\log_3 1 =0$ $\log_5 (1/125) = -3$

 
Ejemplo 1 Cálculo manual de Logaritmos


Propiedades Algebraicas de Logaritmos

Las siguientes identidades se aplican para cualquier positivo $a \neq 1$ y cualquiera números positivos $x$ e $y.$

Identidad
Ejemplo
(a) $\log_a(xy) = \log_ax + \log_ay$ $\log_216 = \log_28 + \log_22$
(b) $\log_a\left( \frac{x}{y} \right) = \log_ax - \log_a y$ $\log_2 \left( \frac{5}{3} \right) = \log_25 - \log_23$
(c) $\log_a(x^r) = r \log_ax$ $\log_2(6^5) = 5 \log_26$
(d) $\log_aa=1$
       $\log_a1=0$
$\log_22 = 1$
$\log_31 = 0$
(e) $\log_a\left( \frac{1}{x} \right) = -\log_ax $ $\log_2\left( \frac{1}{3} \right) = -\log_23$
(f) $\log_ax = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a}$ $\log_25 = \frac{\log 5}{\log 2}\approx 2.3219$

 
Ejemplo 2 Utilizando las propiedades de los logaritmos

Sea $a = \log 2,$ $b = \log 3,$ $c = \log 5.$ Escriba lo siguiente en términos de $a, b, c.$
Nota Si cualquier respuesta que ingresas no es simplificada -- por ejemplo, si dices $a + a$ en lugar de $2a$ -- se marcará incorrecto.


P ¿De dónde vienen las identidades?
R En términos generales, reformulaciones en forma logarítmica de las leyes exponenciales.

P ¿Por qué es $\log_axy = \log_ax + \log_ay$ ?
R Sea $s = \log_ax,$ y sea $t = \log_ay.$ En forma exponencial, estas ecuaciones dicen que
$a^s = x$  y  $a^t = y.$
Multiplicando estas dos ecuaciones juntas nos da
$a^sa^t = xy,$
Es decir,
$a^{s+t} = xy.$
Volvamos a escribir esto en forma logarítmica
$\log_a(xy) = s + t = \log_ax + \log_ay$
como comprobación.

Aquí está una forma intuitiva de pensar sobre ello: Ya que los logaritmos son exponentes, esta identidad expresa la ley familiar que el exponente de un producto es la suma de los exponentes.

La segunda identidad logarítmica se muestra casi de la misma forma, y lo dejamos para ti para la práctica.

P ¿Porqué es $\log_a(x^r) = r \log_ax$ ?
R Sea $t = \log_ax.$ Escriba esto en forma exponencial
$a^t = x.$
Elevar esta ecuación a la potencia $rª$ da
$a^{rt} = x^r.$
Reescribiéndolo en forma logarítmica da
$\log_a(x^r) = rt = r \log_ax$,
que tuvimos que comprobar.

Comprobara la identidad $(d)$ la dejaremos para que practiques.

P ¿Por qué es $\log_a(1/x) = -\log_ax$ ?
R Esto se desprende de las identidades $(b)$ y $(d)$ (piensa en ello).

P ¿Por qué es
$\log_ax = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a}$?
R Sea $s = \log_ax.$ En forma exponencial, esto dice que
$a^s = x.$
Tomando el logaritmo con base $b$ de ambos lados, obtenemos
$\log_ba^s = \log_bx,$
y luego usa la identidad $(c):$
$s\log_ba = \log_bx,$
y por lo tanto
$s = \frac{\log_bx}{\log_ba}$

Ya que los logaritmos son exponentes, podemos utilizarlos para resolver ecuaciones donde la incógnita es en el exponente.

Ejemplo 3 Solucionar para el exponente

Soluciona las ecuaciones siguientes para $x.$

Solución Podemos solucionar estas ecuaciones traduciendo de forma exponencial a forma logarítmica.

(a) Escriba la ecuación dada en forma logarítmica:

        $4^{-x^2} = 1/64$     Forma Exponencial
$\log_4(1/64) = -x^2$     Forma Logarítmica
Por lo tanto,       $-x^2 = \log_4(1/64) = -3$
dan do $x = ±3^{1/2}.$

(b) Antes de convertirlo a forma logarítmica, primero divida ambos lados de la ecuación por 5:
        $5 (1.1^{2x+3}) = 200$
$1.1^{2x+3} = 40$     Forma Exponencial
$\log_{1.1}40 = 2x+3$     Forma Logarítmica
Esto da       $2x + 3 = \ln 40/\ln 1.1 \approx 38.7039,$     Identidad (e)
y por lo tanto $x \approx 17.8520.$


Puedes continuar ahora y probar los ejercicios para este tema.
 

Página principal
Ejercicios para este tema
Índice de temas en línea
Todo para Calcúlo Aplicado
Todo para Matemáticas Finitas
Todo para Matemáticas Finitas & Calcúlo Aplicado
Utilidad: Evaluador & Graficador de Funciones

Última actualización: Abril, 2013
Derechos de autor © 1999 Stefan Waner y Steven R. Costenoble