Vemos las gráficas de algunas funciones "bien conocidas".

f(x) = x	f(x) = x2	f(x) = x3
f(x) = 1 x	f(x) = x1/2	f(x) = |x|

(Para revisar estas gráficas, consulta la sección sobre funciones y sus gráficas en el capitulo 1 de Calculo Aplicado )

¿Qué pasa con las funciones más complicadas? Por ejemplo, ¿Qué pasa con f(x) = (x-3)²? Observa que hemos tomado f(x) = x² (una de las funciones ya trazadas arriba) y Reemplazar x por (x-3) para obtener una nueva función. Bien, aquí están algunas reglas de "desplazamiento" que dicen el efecto de operaciones como esta.

Reglas de desplazamiento

Regla	Ejemplo
Desplazamiento horizontal Sea c un número positivo fijo. Reemplazar x por la cantidad (xc) desplaza la gráfica a la derecha c unidades. Reemplaza x por la cantidad (x+c) desplaza la gráfica a la izquierda c unidades.	Aquí hay una imagen de la gráfica de g(x) = |x4|. Se obtiene de la gráfica de f(x) = |x| desplázandolo hacia la derecha 4 unidades.
Desplazamiento vertical Sea c un número positivo fijo. Reemplazar f(x) por f(x) + c desplaza la gráfica hacia arriba c unidades. Reemplaza f(x) por f(x) c desplaza la gráfica hacia abajo c unidades.	Aquí hay una imagen de la gráfica de g(x) = x2 1. Se obtiene de la gráfica de f(x) = x2 desplázandolo hacia abajo 1 unidad.

Aquí hay uno para que lo hagas tú.

Ejemplo 1 Dibujar una función desplazada

Si   f(x)

=

1 x + 1

.

Selecciona las opciones Correctoas y presione "Comprobar".

La gráfica de f(x) se obtiene de la gráfica de   1 x desplázandola arriba abajo izquierda derecha 0 1 2 3 4 unidad(s).

Haz clic en la gráfica correcta de la función f.

Aquí hay uno que se obtiene por dos desplazamientos sucesivos.

Ejemplo 2 Desplazamientos múltiples

Sea g(x) = (x2)^1/2 + 1. Selecciona las opciones correctas y presiona "Comprobar".

Haz clic en la gráfica correcta de la función f.

Pregunta: ¿Por qué funciona la regla de desplazamiento horizontal?
Respuesta

Pregunta: ¿Por qué funciona la regla de desplazamiento vertical?
Respuesta

Además de las reglas de desplazamiento, también tenemos la

Reglas de escalamiento

Regla	Ejemplo
Escalamiento horizontal Sea g(x) = f(cx) donde c es positivo, entonces: Si c > 1, la gráfica de g es la gráfica de f, comprimida en la dirección x por un factor de c. Si 0 < c < 1, entonces la grafica se extiende en la dirección x por un factor de 1/c.	Aquí hay una imagen de la gráfica de g(x) = (0.5x)3. Ya que c = 0.5 < 1, la gráfica se obtiene a partir de la f(x) = x3 por extenderse en la dirección x por un factor de 1/c = 2.
Escalamiento vertical Sea g(x) = cf(x) donde c positivo, entonces: Si c > 1, la gráfica de g es la gráfica de f, extendida en la dirección y por un factor de c. Si 0 < c < 1, entonces la gráfica comprimida en la dirección y por un factor de 1/c.	Aquí hay una imagen de la gráfica de g(x) = 3(x)1/2. Ya que c = 3 > 1, la gráfica se obtiene a partir de la f(x) = x1/2 por extenderse en la dirección y por un factor de c = 3.

Ahora uno para ti.

Ejemplo 3 Dibujar una función escalada

Sea   g(x) =

1 3

x + 1 x . Seleccione las opciones Correctas y presiona "Comprobar".

La gráfica g(x) se obtiene de la gráfica x + 1 x    por   comprimirse extenderse por un factor de 0 1 2 3 4 en la x- y- dirección.

Luego traza la función en tu calculodora graficadora

f(x)

=

x + 1 x

en tu calculadora gráfica (o aquí) y haz clic en el gráfico Correcta de la función g.

Aquí hay una que se obtiene por varias operaciones sucesivas.

Sea   g(x)   =

(x - 2)2 3 + 4.

Seleccione las opciones correctas y presione "Comprobar".

Aquí hay las gráficas correspondientes a estos pasos.

Función original y = x2	Paso 1 y = (x2)2	Paso 2 y = (x - 2)2 3	Paso 3 y = (x - 2)2 3 + 4

Finalmente, consideramosa reflexiones en los ejes.

Reflexiones

Regla	Ejemplo
Reflexión horizontal Reemplazando x por la cantidad (x) refleja la gráfica en el eje y. (En otras palabras, este "gira alrededor del eje y").	Aquí hay una imagen de la gráfica de g(x) =(0.5x)3+1. Esta se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 0.5x3+1 por reflejarse en el eje y.
Reflexión vertical Remplazando f(x) por f(x) refleja la gráfica en eje x. (En otras palabras, este "gira alrededor del eje x").	Aquí hay una imagen de la gráfica de g(x) = (x2 1). Esta se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 1 por reflejarse en el eje x.