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Cálculo aplicado capitulo en-línea: cálculo aplicado a probabilidad y estadística
Section 3. Las distribuciones exponencial, normal, y beta

Función de densidad exponencial

Usted trabaja como un analista de inversiones, y tiene información que los prestamistas hipotecarios son fallando continuamente a un razón anual de 5%. ¿Qué es la probabilidad de que un prestamista hipotecario fallará en algún momento del los siguientes x años?

Para contestar la pregunta, suponga se que se comience con 100 prestamistas hipotecarios. Pues están fallando continuamente a un razón anual de 5%, el número que sobrevive después de x años se expresa por la ecuación de desintegración

por tanto

Por lo tanto, el porcentaje que habrá fallado por aquel tiempo—y de ahí la probabilidad que buscamos—se expresa por

Ahora sea X el número de años que tardará un prestamista hipotecario para fallar. Acabamos de calcular la probabilidad de que X este entre 0 y x. En otras palabras,

Pero también sabemos que

por uso de una función apropriada de densidad de probabilidad. Por lo tanto,

El teorema fundamental de cálculo nos informa que la derivada del lado izquierdo es f(x). Por lo tanto,

que es la función de densidad de probabilidad que estuvimos buscando.

Pregunta ¿Es cierto que esta función satisface las condiciones matemáticas de una función de densidad de probabilidad?

Respuesta Primero, el dominio de f es [0, +\infty), pues x se refiere al número de años desde ahora. Comprobando los requisitos (a) y (b) para una función de densidad de probabilidad,

No hay nada especial con en número 0.05. Cualquier función de la forma

en la que a es un constante positivo es también una función de densidad de probabilidad. Una función de densidad de tal forma se refiere como una función de densidad exponencial.

Función de densidad exponencial

Una función de densidad exponencial es una función de la forma

    f(x) = ae^{-ax} \qquad (a \text{ un constante positivo})

con dominio [0 +\infty). Su gráfica se muestra en la siguiente figura.

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Ejemplo 1 Prestamistas hipotecario fallandos

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Ejemplo 2 Desintegración exponencial

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Función de densidad normal

Tal vez la clase más interetante de funciones de densidad probabilidad es la de las funciones de densidad normal, definidas como sigue:

Función de densidad normal

Una función de densidad normal es una función de la forma

    f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\Large{{-\ \frac{(x\ -\ \mu)^2}{2\sigma^2}}}},

con dominio (-\infty, +\infty). La cantidad \mu se llama la media y puede ser cualquier número real, mientras \sigma se llama la desviación estándar y puede ser cualquier número real positivo. La siguiente figura muestra la gráfica de una función de densidad normal:

Propiedades de la curva de densidad normal

Puede comprobar las siguientes propiedades por úso de cálculo y un poco de álgebra:

    (1) La curva normal es en forma de campana, con el máximo a x = \mu (el punto central indicado en la gráfica).

    (2) Es simétrica respecto la recta vertical x = \mu.

    (3) Es cóncava hacía abajo en el rango \mu-\sigma \leq x \leq \mu + \sigma, y cóncava hacía arriba fuera de aquel rango.

    (4) Hay puntos de inflexión a x = \mu-\sigma y x = \mu-\sigma como muestra en la gráfica.

    (5) (Menos obvio) La integral de la función de densidad normal se expresa en términos de la función error de Gauss:

      \int f(x)\ dx = \frac{1}{2}\text{erf}\Bigl(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\Bigr) + C

La función de densidad normal se aplique a muchas situaciones que envuelven medida y prueba. Por ejemplo, medidas repetidas imprecisas de un largo de un objeto, medidas hechas sobre muchos artículos en una cadena de montaje, y colecciones de notas de un examen suelen ser distribuidas normalmente. Es por esta razón que es tan importante la curva de densidad normal en control de calidad, y en valorar los resultados de pruebas estandarizadas.

Para usar la función de densidad normal para calcular probabilidades, necesitamos calcular integrales de la forma \int_a^b f(x)\ dx. Sin embargo, hemos visto más arriba que la antiderivada de la función de densidad normal no puede ser expresa por cualquier función común. Tradicionalmente, estadísticos y otros han usado tablas y técnicas de transformación para calcular tales integrales. Este enfoque está quedando obsoleto a medida que computadoras de mano y calculadoras programables nos están entregando a los manos (literalmente) la capacidad de calcular estas probabilidades. Siguiendo esta tendencia, mostraremos en el siguiente ejemplo el uso de varias tecnologías para hacer estas calculaciones.

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Ejemplo 3 Quality Control    

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Beta Density Function

There are many random variables whose values are percentages or fractions. These variables have density functions defined on [0,1]. A large class of random variables, such as the percentage of new businesses that turn a profit in their first year, the percentage of banks that default in a given year, and the percentage of time a plant's machinery is inactive, can be modeled by a beta density function.

Beta Density Function

A beta density function is a function of the form

    f(x) = (\beta +1)( \beta +2)x^\beta(1 - x)

with domain [0, 1]. The number \beta can be any nonnegative constant. Below are the graphs of f(x) for several values of \beta. You can adjust the value of \beta in the last one (change the value and press "Return" or "Enter").

\beta = 0
f(x) = 2(1-x)
\beta = 0.5
f(x) = 3.75x^{0.5}(1-x)
\beta = 1
f(x) = 6x(1-x)
\beta = 3
f(x) = 20x^3(1-x)
\beta =  
f(x) = (\beta +1)( \beta +2)x^\beta(1 - x)

Ejemplo 4 Downsizing in the Utilities Industry

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Last Updated: April, 2008
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