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Cálculo aplicado capitulo en-línea: cálculo aplicado a probabilidad y estadística |
Section 3. Las distribuciones exponencial, normal, y beta |
Usted trabaja como un analista de inversiones, y tiene información que los prestamistas hipotecarios son fallando continuamente a un razón anual de 5%. ¿Qué es la probabilidad de que un prestamista hipotecario fallará en algún momento del los siguientes x años?
Para contestar la pregunta, suponga se que se comience con 100 prestamistas hipotecarios. Pues están fallando continuamente a un razón anual de 5%, el número que sobrevive después de x años se expresa por la ecuación de desintegración
Por lo tanto, el porcentaje que habrá fallado por aquel tiempo—y de ahí la probabilidad que buscamos—se expresa por
Ahora sea X el número de años que tardará un prestamista hipotecario para fallar. Acabamos de calcular la probabilidad de que X este entre 0 y x. En otras palabras,
Pero también sabemos que
por uso de una función apropriada de densidad de probabilidad. Por lo tanto,
El teorema fundamental de cálculo nos informa que la derivada del lado izquierdo es f(x). Por lo tanto,
que es la función de densidad de probabilidad que estuvimos buscando.
Pregunta ¿Es cierto que esta función satisface las condiciones matemáticas de una función de densidad de probabilidad?
Respuesta Primero, el dominio de f es [0, +\infty), pues x se refiere al número de años desde ahora. Comprobando los requisitos (a) y (b) para una función de densidad de probabilidad,
No hay nada especial con en número 0.05. Cualquier función de la forma
Función de densidad exponencial
Una función de densidad exponencial es una función de la forma
f(x) = ae^{-ax} \qquad (a \text{ un constante positivo})
con dominio [0 +\infty). Su gráfica se muestra en la siguiente figura. |
Solución Recuerde que nuestra función de densidad de probabilidad para prestamista hipotecarios se expresa por
Las probabilidades que buscamos son dadas por integrales:
Por lo tanto, hay una probabilidad de 8.6% de que un prestamista hipotecario especifico fallare entre 2 y 4 años desde ahora, y una probabilidad de 77.9% de que durare al menos 5 años.
Antes de seguir ... Podríamos calcular también P(X \geq 5) como 1 - P(0\leq X \leq 5) y así evitar haber calcular una integral impropia.
Plutonio 239 desintegra continuamente a un razón de 0.00284% por año. Sea X el instante cuando desintegrará un átomo de plutonio, elegido al azar, entonces escriba la función asociada de densidad de probabilidad, y úsela para calcular la probabilidad de que un átomo de plutonio desintegrará entre 100 y 500 años a partir de ahora.
Solución Por uso de la discusión de prestamistas hipotecarios fallandos como guía, observamos que a = 0.0000284, de modo que la función de densidad de probabilidad es
Para contestar la segunda parte de la pregunta,
Por lo tanto, hay una probabilidad del 1.1% de desintegrar un átomo de plutonio durante el periodo dado de 400 años.
Tal vez la clase más interetante de funciones de densidad probabilidad es la de las funciones de densidad normal, definidas como sigue:
Función de densidad normal
Una función de densidad normal es una función de la forma
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\Large{{-\ \frac{(x\ -\ \mu)^2}{2\sigma^2}}}},
con dominio (-\infty, +\infty). La cantidad \mu se llama la media y puede ser cualquier número real, mientras \sigma se llama la desviación estándar y puede ser cualquier número real positivo. La siguiente figura muestra la gráfica de una función de densidad normal: Puede comprobar las siguientes propiedades por úso de cálculo y un poco de álgebra: (1) La curva normal es en forma de campana, con el máximo a x = \mu (el punto central indicado en la gráfica). (2) Es simétrica respecto la recta vertical x = \mu. (3) Es cóncava hacía abajo en el rango \mu-\sigma \leq x \leq \mu + \sigma, y cóncava hacía arriba fuera de aquel rango. (4) Hay puntos de inflexión a x = \mu-\sigma y x = \mu-\sigma como muestra en la gráfica. (5) (Menos obvio) La integral de la función de densidad normal se expresa en términos de la función error de Gauss: \int f(x)\ dx = \frac{1}{2}\text{erf}\Bigl(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\Bigr) + C
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La función de densidad normal se aplique a muchas situaciones que envuelven medida y prueba. Por ejemplo, medidas repetidas imprecisas de un largo de un objeto, medidas hechas sobre muchos artículos en una cadena de montaje, y colecciones de notas de un examen suelen ser distribuidas normalmente. Es por esta razón que es tan importante la curva de densidad normal en control de calidad, y en valorar los resultados de pruebas estandarizadas.
Para usar la función de densidad normal para calcular probabilidades, necesitamos calcular integrales de la forma \int_a^b f(x)\ dx. Sin embargo, hemos visto más arriba que la antiderivada de la función de densidad normal no puede ser expresa por cualquier función común. Tradicionalmente, estadísticos y otros han usado tablas y técnicas de transformación para calcular tales integrales. Este enfoque está quedando obsoleto a medida que computadoras de mano y calculadoras programables nos están entregando a los manos (literalmente) la capacidad de calcular estas probabilidades. Siguiendo esta tendencia, mostraremos en el siguiente ejemplo el uso de varias tecnologías para hacer estas calculaciones.
Pressure gauges manufactured by Precision Corp. must be checked for accuracy before being placed on the market. To test a pressure gauge, a worker uses it to measure the pressure of a sample of compressed air known to be at a pressure of exactly 50 pounds per square inch. If the gauge reading is off by more than 1% (0.5 pounds), the guage is rejected. Assuming that the reading of a pressure gauge under these circumstances is a normal random variable with mean 50 and standard deviation 0.5, find the percentage of gauges rejected.
Solution For a gauge to be accepted, its reading X must be 50 to within 1%, in other words, 49.5 \leq X \leq 50.5. Thus, the probability that a gauge will be accepted is P(49.5 \leq X \leq 50.5). X is a normal random variable with \mu = 50 and \sigma = 0.5. The formula tells us that
where
Method 1: Calculating the intergal numerically Using a TI-83/4, for example, you would enter the above formula as
and then enter
in the home screen. Alternatively, the built-in normalcdf function in the TI-83/4 permits one compute P(a \leq X \leq b) directly as well. The format for this is
In Excel, P(a \leq X \leq b) is computed with the formula
Alternatively, you could use the Numerical integration utility on this Website: Enter the formula
for "f(x)," adjust the accuracy as desired, and press "Adaptive Quadrature."
The numerical calculation yields an answer of approximately 0.6827. In other words, 68.27% of the gauges will be accepted. Thus, the remaining 31.73% of the gauges will be rejected.
Before We Go On ... Here is a utility that calculates the area under the normal curve with high accuracy (to around 16 decimal places). The algorithm used to compute the probabilities is from a collection of powerful statistical algorithms due to Ian Smith:
Notes: |
1. You must fill in values for the mean and standard deviation.
2. To compute, say, P(X \geq 1.2) enter P(1.2 \leq X \leq \qquad\,) 3. To compute, say, P(X \leq 1.2) enter P(\qquad \leq X \leq 1.2 ) |
As we mentioned above, the traditional and still common way of calculating normal probabilities is to use tables. The tables most commonly published are for the standard normal distribution, the one with mean 0 and standard deviation 1. If X is a normal variable with mean \mu and standard deviation \sigma, the variable Z = (X-\mu)/\sigma is a standard normal variable (see the exercises). Thus, to use a table we first write
and then use the table to calculate the latter probability (Z always stands for the standard normal variable).
The following calculations, true for any normal random variable, are very useful to remember:
Question Why can we assume that the reading of a pressure gauge is given by a normal distribution? Why is the normal distribution so common in this kind of situation?
Answer The reason for this is rather deep. There is a theorem in probability theory called the Central Limit Theorem that says that a large class of probability density functions may be approximated by normal density functions. Repeated measurement of the same quantity gives rise to such a function.
There are many random variables whose values are percentages or fractions. These variables have density functions defined on [0,1]. A large class of random variables, such as the percentage of new businesses that turn a profit in their first year, the percentage of banks that default in a given year, and the percentage of time a plant's machinery is inactive, can be modeled by a beta density function.
Beta Density Function
A beta density function is a function of the form
f(x) = (\beta +1)( \beta +2)x^\beta(1 - x)
with domain [0, 1]. The number \beta can be any nonnegative constant. Below are the graphs of f(x) for several values of \beta. You can adjust the value of \beta in the last one (change the value and press "Return" or "Enter").
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A utilities industry consultant predicts a cutback in the Canadian utilities industry during 2010-2015 by a percentage specified by a beta distribution with \beta = 0.25. Calculate the probability that Ontario Hydro will downsize by between 10% and 30% during the given five-year period.
Solution The beta density function with \beta = 0.25 is
Thus,
So there is approximately a 30% chance that Ontario Hydro will downsize by between 10% and 30%.
Before We Go On ... Go to the definition box above and put \beta = 0.25 to see the graph of the associated density function. You will notice that its shape is "in between" those for \beta = 0 and \beta = 0.5 shown on the left.