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El Teorema Fundamental de Cálculo nos da una fórmula exacta para la computación de ∫ab$f(x) dx,$ siempre que podamos encontrar una antiderivada para $f.$ Este método de evaluar integrales definidas se llama el método analítico. Sin embargo, hay veces cuando esto es difícil o imposible. En estos casos, es por lo general suficiente encontrar un solución aproximada, o numérica, y hay algunas formas directas de hacer eso.

La aproximaciones numéricas al integral más simples son las sumas de Rieman por la izquierda y derecha. Aproximaciones más eficientes (abajo de) son las aproximaciones trapezoidal y Simpson.

Suma de Riemann por la izquierda y derecha
Todas las aproximaciones numéricas de la integral ∫ab$f(x) dx$ que consideramos empiezan con una partición del intervalo $[a . b]$ en n partes iguales:

En Cálculo Aplicado al Mundo Real, definimos la suma de Riemann por la izquierda de la siguiete manera:

Suma de Riemann por la izquierda $=$
$n-1$

$n = 0$
$f(x_k)Δx$
$=$ $f(x_0)Δx + f(x_1)Δx + . . . + f(x_{n-1})Δx$
$=$ $[f(x_0) + f(x_1) + . . . + f(x_{n-1})]Δx$

La suma de Riemann por la izquierda da el área que se muestra a continuación.

Observa que el lado izquierdo de cada rectángulo coincide con la altura de la gráfica -- de ahí el nombre "suma izquierda". La suma de Riemann por la derecha se define de manera similar:

Suma Riemann por la derecha $=$
$n$

$n = 1$
$f(x_k)Δx$
$=$ $f(x_1)Δx + f(x_2)Δx + ... + f(x_n)Δx $
$=$ $[f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n)]Δx$

La suma de Riemann por la derecha da el áreal que se muestra a continuación.

 
Ejemplo 1 Calcular la suma de Riemann por la izquierda y derecha

Sea $f(x) = 1 - x^2.$ Calcular la suma de Riemann por la izquierda y derecha para aproximar ∫01$f(x) dx$ con $n = 8.$

Solución

La suma de Riemann por la izquierda para la función que se muestra acontinuación:

Para calcularlo, utiliza la siguiente configuración:

Ahora calcula la partición de valores en la tabla siguiente.

$x_0 = a$
$x_1 = a+Δx$
$x_2 = a+2Δx$
$x_3 = a+3Δx$
$x_4 = a+4Δx$
$x_5 = a+5Δx$
$x_6 = a+6Δx$
$x_7 = a+7Δx$
$x_8 = b =$
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

$x$
$x_0$
$x_1$
$x_2$
$x_3$
$x_4$
$x_5$
$x_6$
$x_7$
$x_8$
Valor
$\color{blue}{f(x) = 1-x^2}$


 

Ahora podemos calcular la suma de Riemann a la izquierda y derecha de la siguiete manera:


Sumas trapezoidales

Un trapezoide es una región de cuatro lados con dos lados opuestos paralelos. En la figura siguiente, los dos lados verticales son paralelos.

El área de un trapezoide es la longitud promedio de los lados paralelos, por la distacia entre ellos.

Dado una partición de $[a,  b]$ como arriba, podemos definir de la suma trapezoide asociada para correspoder al área que se muestra a continuación.

Las áreas de los trapeoides individuales (de izquierda a derecha) son las siguientes.

Agregando obtenemos la suma trapezoide:

Suma trapezoide $=$$\frac{1}{2}$$(f(x_0) + f(x_1))Δx +$$\frac{1}{2}$$(f(x_1) + f(x_2))Δx + . . . +$$\frac{1}{2}$$(f(x_{nÁ1}) + f(x_n))Δx$

Simplificado da

Suma trapezoide

La aproximación trapezoidal de ∫ab$f(x) dx$ asociada con la partición $a = x^0  <  x^1  <  ...  <  x^n = b$ se da por

    Suma trapezoide$=$$\frac{1}{2}$$[f(x_0) + 2f(x_1) + ... + 2f(x^{n-1}) + f(x_n)]Δx$

 
Si analizas detenidamente la fórmula anterior, verás que la suma del trapezoide es nada más que el promedio de las sumas Riemann izquierda y derecha.

 
Ejemplo 2 Calcular una suma trapezoide

Calcula la suma trapezoide para aproximar ∫01$(1-x_2) dx$ con $n = 8.$

Solución

Teniedo en cuenta el comentario anterior, ya lo hemos calculado, en efecto:



 

P ¿Cómo se calcula la suma trapezoide sin calcular primero las sumas de Riemann de izquierda y derecha?
R Aquí esta un ejemplo.

 
Ejemplo 3 Calcular la suma trapezoide

Calcula la suma trapezoide para aproximar ∫12$e^{-x^2} dx$ con $n = 4.$

Solución

Ya que $n = 4,$ la anchura de los subintervalos es $(b - a)/4 = (2 - 1)/4 = 0.25.$

Ahora continua de la siguiente manera usando la siguiente tabla:

1. Introduce los valores de la partición correta $(x_1,  s_1, ... ).$
2. Introduce la fórmula correcta para $f(x)$ (formato de calculadora gráfica). (Esto seria similar si usaramos una calculadora gráfica o hoja de cálculo. Aquí hay algunos ejemplos de expresiones correctamente formateadas).
3. Presiona "Calcular" para obtener los valores de $f(x_i)$ y completa la tabla.

$\color{blue}{x}$
$x_0 = a$
$x_1$
$x_2$
$x_3$
$x_4$
   
 
 
 
 
Escriba la fórmula aquí:
$f(x) =$

×2 ×2 ×2
Total:

 

Ahora podemos calular la suma trapezoide de la siguiente manera:

Antes de seguir...

Para automatizar todo el cálculo, o usar valores más grandes de n, prueba nuestra Utilidad de integración numérica.


Regla de Simpson

La regla de Simpson nos da una o otra aproximación de la integral. De nuevo, empezamos dividiendo $[a,  b]$ en intervalos de la misma anchura, pero esta vez tenemos que utilizar un número par n de intervalos.

Regla de Simpson

Si $n$ es par, $y,$ como antes, $x_k = a + kΔx = a + k (b-a)/n,$ entonces

    b
     
     
    a
    $f(x) dx ≈ \frac{b - a}{3n} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + ... + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$

 

P ¿Por qué?
R Como con la regla trapezoide, queremos aproximar las áreas en cada tira por algo más complicado que un rectángulo. Esta vez tomamos las tiras en pares (por esta razón necesitamos un número par de ellos) y dibujar una parábola a través de los tres puntos $(x_{k-1}, f(x_{k-1})),  (x_k, f(x_k)),$  y  $(x_{k+1}, f(x_{k+1})),$ como se muestra en la figura.

Entonces no es demasiado difícil encontrar la ecuación de esta parábola (que tiene la fórmula $y = Ax_2 + Bx + C),$ y de esto calcular el área por debajo a travez de integración. La respuesta muy simple es entonces

Cuando se suma el área debajo de la parábola sobre las dos primeras tiras a el área debajo de la parabola sobre la $3ra$ y $4ta$ tira, y así sucesivamente, obtenemos la regla de Simpson.

 
Ejemplo 4 Regla de Simpson

Usa 4 intervalos en la regla de Simpson para aproximar ∫01 $x_2 dx.$

Solución

Ya que $n = 4,$ tenemos $(b-a)/n = 1/4,$ y la regla de Simpson nos da

Antes de seguir...

Esta es la respuesta exacta. ¿Qué es lo que está sucediendo? Recuerda que la regla de Simpson se basa en aproximar la gráfica por funciones cuadráticas. Si la función ya es cuadrática, como aquí, la aproximación es exacta.


 
Ejemplo 5 Regla de Simpson

Usa 6 intervalos en la regla de Simpson para aproximar ∫06$e^{-x^2} dx.$ (Ya aproximamos una integral similar usando la regla trapezondal aquí.)

Solución

La siguiente tabla resume la parte principal de la computación. (Las cifras se redondearon a 6 pocisiones decimales).

$x$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$
$f(x) = e^{-x^2}$$1$$0.367879$$0.018316$$0.000123$$0$$0$$0$
×4×2×4×2×4
$1$$1.471518$$0.036631$$0.000494$$0$$0$$0$


Exactitud de las aproximaciones trapezoide y Simpson

Si miras los diagramas anteriores, verás que las aproximaciones que hemos estado utilizando se hacen más exactas a medida que el número de subdivisiones n se hace más grande. Esto sugiere una pregunta interesante e importante: ¿Qué tan grande debe ser n para obtener una respuesta lo "suficientemente cerca" a la integral exacta? Para contestar esta pregunta, necesitamos saber algo sobre el error en estas dos reglas, esto es, que tan lejos estan de la integral exacta.

 
P ¿Pero no resulta un dilema sin salida? Con el fin de conocer el error, necesitamos saber la integral exacta. Pero si supieramos la integral exacta, entonces, ¡es muy poco problable que tendriamos que calcular una aproximación númerica en primer lugar!
R Solucionaremos este dilema de la siguiente manera: ya que no siempre se puede calcular con exactitud cuál es el error, en su lugar buscamos una cota para los error. Por ejemplo, en lugar de intentar decir "el error es exactamente $0.001$", decimos, "el error no es mayor que $0.001$".

Las siguientes fórmulas dan cotas para los errores de las reglas que hemos utilizado.

Los errores de la regla trapezoide y la regla de Simpson

Si $f"(x)$ es continua en $[a,  b],$ entonces el error en la regla trapezoide no es mayor que

    $\frac{(b - a)^3}{12n^2}  \|f"(M)\|,$

donde $\|f"(M)\|$ es el valor máximo de $\|f"(x)\|$ en $[a,  b].$


Si $f^{(4)}(x)$ es continua en $[a,  b],$ entonces el error en la regla de Simpson no es máximo que

    $\frac{(b - a)^5}{180n^4}  \|f^{(4)}(M)\|,$

donde $\|f^{(4)}(M)\|$ es el valor máximo de $\|f^{(4)}(x)\|$ en $[a,  b].$

 
Ejemplo 6 Estimación del error en la suma trapezoide

¿Qué tan exacto es el cálculo en el Ejemplo 3?

Solución

En ese ejemplo usamos 4 intervalos en la regla trapezoide para estimar ∫12$e^{-x^2} dx.$

Para estimar el error, tenemos que encontrar el valor máximo de $\|f"(x)\|$ en el intervalo $[1,  2].$ Para $f(x) = e^{-x^2}.$

Calculando,

Ya que queremos encontrar los valores extremos de $f",$ calculamos su derivada,

Ahora $f^{(3)}(x) = 0$ sólo caundo $x = 0$ o $3-2x^2 = 0,$ por lo que $x = 0$ o $▒ (3/2)^{1/2} ≈ ▒1.225.$ Verificando los valores en el intervalo $[1,  2],$ obtenemos lo siguiente (donde hemos redondeado hacia arriba los valores de $f"(x)$ en lugar de simplemente redondear a dos decimales (¿por qué?).

$\color{blue}{x}$ $1$$1.225$$2$
$\color{blue}{f"(x)}$$0.74$$0.90$$0.26$

El valor máximo de $\|f"(x)\|$ por lo tanto es $0.90.$ Esto nos dice que el error no es mayor que


 
Ejemplo 7 Estimación del error en la suma Simpson

¿Qué tan grande tendría que ser n para obtener una aproximación de ∫-12$(x^3 + e^{-x})dx$ por la regla de Simpson con una precición de cinco pocisiones decimales?

Solución

"Precisión de $5$ pocisiones decimales" significa un error de menos que $0.000 005.$ En este problema, no sabemos el valor de $n,$ pero sabemos una cota superior para el error.

Nuestra fórmula para el error en la regla de Simpson dice que

Un cálculo rapido muestra que la 4ta derivada de $f$ es

por lo que es positivo, y su valor máximo en el intervalo $[-1,  2]$ ocurre cuando $x = -1:$

Al igual que antes, hemos sobrestimado en lugar de subestimar la cantidad e (¡nunca subestimes un error!). Esto da

Queremos esta cantidad a ser como máximo $0.000 005$ para un $n$ apropiado. Para allar $n,$ podemos igualar $81/20n^4$ a $0.000 005$ y resolver $n,$ y finalmente redondear hacia arriba al número entero más cercano. Obtenemos:


 

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Última actualización: Junio, 2013
Derechos de autor © 1999 Stefan Waner & Steven R. Costenoble