La aproximaciones numéricas al integral más simples son las sumas de Rieman por la izquierda y derecha. Aproximaciones más eficientes (abajo de) son las aproximaciones trapezoidal y Simpson.

$Δx = (b-a)/n,$
$x_0 = a,$
$x_1 = a + Δx,$
$x_2 = a + 2Δx,$
$. . .$
$x_n = a + nΔx = b$

En Cálculo Aplicado al Mundo Real, definimos la suma de Riemann por la izquierda de la siguiete manera:

Suma de Riemann por la izquierda	$= \sum_{n = 0}^{n-1} f(x_k)Δx$
	$= f(x_0)Δx + f(x_1)Δx + . . . + f(x_{n-1})Δx$
	$= [f(x_0) + f(x_1) + . . . + f(x_{n-1})]Δx$

La suma de Riemann por la izquierda da el área que se muestra a continuación.

Observa que el lado izquierdo de cada rectángulo coincide con la altura de la gráfica -- de ahí el nombre "suma izquierda". La suma de Riemann por la derecha se define de manera similar:

Suma Riemann por la derecha

La suma de Riemann por la derecha da el áreal que se muestra a continuación.

 
Ejemplo 1 Calcular la suma de Riemann por la izquierda y derecha

Solución

La suma de Riemann por la izquierda para la función que se muestra acontinuación:

Para calcularlo, utiliza la siguiente configuración:

$Δx = (b-a)/n =$

Ahora calcula la partición de valores en la tabla siguiente.

$x_0 = a$	$x_1 = a+Δx$	$x_2 = a+2Δx$	$x_3 = a+3Δx$	$x_4 = a+4Δx$	$x_5 = a+5Δx$	$x_6 = a+6Δx$	$x_7 = a+7Δx$	$x_8 = b =$

 
 

$x$	$x_0$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$x_8$
Valor
$\color{blue}{f(x) = 1-x^2}$

 

Ahora podemos calcular la suma de Riemann a la izquierda y derecha de la siguiete manera:

Suma Riemann por la izquierda	$=$	$[f(x_0) + f(x_1) + ... + f(x_7)]Δx$
	$=$	Suma de los $8$ priméros términos en la fila de arriba de la tabla $\times Δx$
	$=$	$5.8125 \times 0.125 = 0.7265625.$
Suma Riemann por la derecha	$=$	$[f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_8)]Δx$
	$=$	Suma de los $8$ últimos términos en la fila de abajo de la tabla $\times Δx$
	$=$	$4.8125 \times 0.125 = 0.6015625.$

Sumas trapezoidales

Un trapezoide es una región de cuatro lados con dos lados opuestos paralelos. En la figura siguiente, los dos lados verticales son paralelos.

El área de un trapezoide es la longitud promedio de los lados paralelos, por la distacia entre ellos.

Las áreas de los trapeoides individuales (de izquierda a derecha) son las siguientes.

Trapezoide más a la izquierda:	$\frac{1}{2} (f(x_0) + f(x_1))Δx$	Altura promedio $\times$ anchura
Trapezoide siguiente:	$\frac{1}{2} (f(x_1) + f(x_2))Δx$
. . .
Último trapezoide:	$\ \ \frac{1}{2} (f(x_{n-1}) + f(x_n))Δx$

Agregando obtenemos la suma trapezoide:

Suma trapezoide

$= \frac{1}{2} (f(x_0) + f(x_1))Δx + \frac{1}{2} (f(x_1) + f(x_2))Δx + . . . + \frac{1}{2} (f(x_{nµ1}) + f(x_n))Δx$

Simplificado da

 
Si analizas detenidamente la fórmula anterior, verás que la suma del trapezoide es nada más que el promedio de las sumas Riemann izquierda y derecha.

 
Ejemplo 2 Calcular una suma trapezoide

Solución

Teniedo en cuenta el comentario anterior, ya lo hemos calculado, en efecto:

Suma trapezoide	$=$ Promedio de las sumas de Riemann por la izquierda y derecha
	$=\frac{0.7265625 + 0.6015625}{2} = 0.6640625$

P ¿Cómo se calcula la suma trapezoide sin calcular primero las sumas de Riemann de izquierda y derecha?
R Aquí esta un ejemplo.

 
Ejemplo 3 Calcular la suma trapezoide

Solución

Ahora continua de la siguiente manera usando la siguiente tabla:

$\color{blue}{x}$	$x_0 = a$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$
Escriba la fórmula aquí: $f(x) =$
		$\times 2$	$\times 2$	$\times 2$
						Total:

 

Ahora podemos calular la suma trapezoide de la siguiente manera:

Suma trapezoide	$=$	$\frac{1}{2}$$[f(x_0) + 2f(x_1) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]Δx$
	$=$	$\frac{1}{2}\times $  Total en la última fila de arriba $\times 0.25$	Si tu total no es $1.10975...,$ comprueba los valores de $x$ que utilizaste.
	$\approx$	$0.5 \times 1.109758 \times 0.25 = 0.13871975$

Antes de seguir...

Regla de Simpson

Área debajo de la parábola $= \frac{b - a}{3n}\ [f(x_{k-1}) + 4f(x_k) + f(x_{k+1})].$

 
Ejemplo 4 Regla de Simpson

Solución

$\int_{0}^{1}\ f(x)\ dx \approx \frac{b - a}{3n} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)]$

$= \frac{1}{12} [0 + 4(0.0625) + 2(0.25) + 4(0.5625) + 1] = \frac{1}{3}.$

Antes de seguir...

Esta es la respuesta exacta. ¿Qué es lo que está sucediendo? Recuerda que la regla de Simpson se basa en aproximar la gráfica por funciones cuadráticas. Si la función ya es cuadrática, como aquí, la aproximación es exacta.

 
Ejemplo 5 Regla de Simpson

Solución

La siguiente tabla resume la parte principal de la computación. (Las cifras se redondearon a 6 pocisiones decimales).

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f(x) = e^{-x^2}$	$1$	$0.367879$	$0.018316$	$0.000123$	$0$	$0$	$0$
		$\times 4$	$\times 2$	$\times 4$	$\times 2$	$\times 4$
	$1$	$1.471518$	$0.036631$	$0.000494$	$0$	$0$	$0$

De este modo, la aproximación Simpson $= (6-0)/18 \times $ Suma de la fila inferior $\approx 0.83621$

Exactitud de las aproximaciones trapezoide y Simpson

Si miras los diagramas anteriores, verás que las aproximaciones que hemos estado utilizando se hacen más exactas a medida que el número de subdivisiones n se hace más grande. Esto sugiere una pregunta interesante e importante: ¿Qué tan grande debe ser n para obtener una respuesta lo "suficientemente cerca" a la integral exacta? Para contestar esta pregunta, necesitamos saber algo sobre el error en estas dos reglas, esto es, que tan lejos estan de la integral exacta.

Error = |Aproximación - Integral exacta|

 
P ¿Pero no resulta un dilema sin salida? Con el fin de conocer el error, necesitamos saber la integral exacta. Pero si supieramos la integral exacta, entonces, ¡es muy poco problable que tendriamos que calcular una aproximación númerica en primer lugar!
R Solucionaremos este dilema de la siguiente manera: ya que no siempre se puede calcular con exactitud cuál es el error, en su lugar buscamos una cota para los error. Por ejemplo, en lugar de intentar decir "el error es exactamente $0.001$", decimos, "el error no es mayor que $0.001$".

Las siguientes fórmulas dan cotas para los errores de las reglas que hemos utilizado.

 
Ejemplo 6 Estimación del error en la suma trapezoide

¿Qué tan exacto es el cálculo en el Ejemplo 3?

Solución

Calculando,

$f'(x) = -2xe^{-x^2},$ y
$f"(x) = 2(2x^2-1)e^{-x^2}.$

$f^{(3)}(x) = 4x(3-2x^2) e^{-x^2}.$

$\frac{(2 - 1)^3}{12\times 4^2} \approx 0.0047$

 
Ejemplo 7 Estimación del error en la suma Simpson

Solución

Nuestra fórmula para el error en la regla de Simpson dice que

$\|Error\| ≤ \frac{(b - a)^5}{180n^4} \|f^{(4)}(M)\|$

$f^{(4)}(x) = e^{-x},$

$\|f^{(4)}(M)\| = e \approx 3$

Al igual que antes, hemos sobrestimado en lugar de subestimar la cantidad e (¡nunca subestimes un error!). Esto da

$\|Error\| ≤ \frac{(b - a)^5}{180n^4} \|f^{(4)}(M)|$

$< \frac{3^5}{180n^4}3 = \frac{81}{20n^4}.$