| Mismos valores |
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p | q | pq | ~(pq) | ~p | ~q | (~p)(~q) |
V | V | V | F | F | F | F |
V | F | F | V | F | V | V |
F | V | F | V | V | F | V |
F | F | F | V | V | V | V |
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Desde la columna ~(pq) y (~p)(~q) de acuerdo a las columnas, concluimos que son equivalentes.
Antes de seguir...La proposición ~(pq) se puede leer como "No es el caso de que p y q son verdaderas" o "p y q no son las dos verdaderas." Sólo hemos demostrado que esto es equivalente a "p es falsa o q es falsa."
Ejemplo 7 Aplicación de la ley DeMorgan
Si p: "El Presidente es un Demócrata," y q: "El presidente es un Republicano." Por lo tanto ~(pq): "El Presidente no es un Demócrata y también Republicano." Es lo mismo que decir: "El presidente no es un Demócrata, o no es un Republicano, o el no es ninguno," que es (~p)(~q).
Antes de seguir... Esto no es lo mismo que "El Presidente es un Republicano o un Demócrata," que sería qp.
Aquí están la dos equivalencias conocidas como la ley DeMorgan:
Ley DeMorgan
Si p y q son proposiciones, entonces
Hablando mecánicamente, esto significa que, cuando distribuimos un signo de negación, invierte y , y la negación se aplica a ambas partes.
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Ejemplo 7P Práctica con la ley DeMorgan
Una proposición compuesta es una tautología si su valor de verdad es V, independientemente de los valores de verdad de sus variables. Es una contradicción si su valor de verdad siempre es F, independientemente de los valores de verdad de sus variables. Son propiedades de una única proposición, mientras que la equivalencia lógica siempre se refiere a dos proposiciones.
Ejemplo 8 Tautologías
Demuestra que las siguientes son tautologías:
(a) p(~p).
(b) (pq)[(~p)(~q)]
Solución
Antes de seguir..."Estás triste," el caballero dijo en un tono ansioso: "Dejame cantarte una canción para consolarte. . . Todos los que me escuchan cantar ya lleva unas lagrimas en sus ojos, o bien "
"O bien qué?" dijo Alicia. Porque el caballero hizo una pausa repentina.
"O bien no lo hace, usted sabe."
Cuando una proposición es una tautoligía, decimos tambien que la proposición es una tautología. En uso, común esto a veces significa que la proposición es convincente. Aquí lo utilizamos para algo mas fuerte: la proposición siempre es verdadera, bajo toda circunstancia. En contraste, una contradicción, o proposición contradictoría, nunca es verdad en ninguna circunstancia.
Ejemplo 9 Contradicción
Muestra que la proposición (pq)[(~p)(~q)] es una contradicción.
Solución
Antes de seguir...
En uso común a veces decimos que la dos proposición son contradictorias. Esto significa que su conjunción es una contradicción: no pueden ser los dos verdaderas. Por ejemplo, la proposición pq y (~p)(~q) son contradictorias, ya que acabamos de demostrado que su conjunción es una contradicción. En otras palabras, no importa que sean los valores de verdad de p y q, nunca es verdad que pq y (~p)(~q) son verdaderas al mismo tiempo. (¿Puedes ver por qué esto es así desde el significado de pq?)
Tenga en cuenta que la mayoría de las proposiciones no son tautológicas ni contradicción, como los tres ejemplos de esta sección.
A veces podemos "reconocer" una tautología o contradicción inmediatamente. En términos generales, tautologías son proposiciones "obviamente verdaderas" mientras que las contradicciones son "obviamente falsas".
Ejemplo 10 Práctica para reconocer Tautologías y Contradicciones
Responde a lo siguiente. En caso de duda, utilice una tabla de verdad. (Las tablas de verdad para estos ejemplos aparecen en los ejercicios)
Antes de pasar a los ejercicios de esta sección, damos una lista de algunas equivalencia lógica importantes, la mayoría de las cuales hemos encontrado. (La verificación de algunos de ellos aparecen como ejercicios.) Añadiremos a esta lista a medida que avanzamos.
Ejemplo 11 Simplificación de Expresiones
Simplifica las siguientes proposiciones:
(a) p~(~q)
(b) ~([p(~q)]r)
(c) p[~(~pq)]
Solución
"Simplificar" se entiende como "encontrar una proposición equivalente más simple."
(a) Podemos reconocer inmediatamente una doble negación ~(~q). Por la ley de doble negación, esto es lo mismo que q. Así, la expresión puede escribirce mas simplemente como:
pq.
(b)
Podemos analizar esta proposición desde el exterior asta lo interior. En primer lugar es una negación, pero además es la negación ~(AB), donde A es (p(~q)) y B es r. Para ver esto, busca el "conector principal," el último operador lógico que sería evaluado en la construción de una tabla de verdad. Ahora una de las leyes DeMorgan es:
Aplicando esto aquí da:
~([p(~q)]r) (~[p(~q)])(~r).
Una ves más podemos aplicar la ley DeMorgan, a la proposición ~(p(~q)). Esto nos da:
~[p(~q)] (~p)~(~q) (~p)q.
Ten en cuenta que tambien emos utilizado la ley de doble negación. Finalmente, esto nos da:
~([p(~q)]r) (~[p(~q)])(~r) ((~p)q)(~r),
o simplemente:
(~p)q(~r),
Por que la ley Asociativa nos dice que podemos olvidar cuales dos expresiones disyuntimos primeramente.
(c) La expresión ~(~pq) o la derecha es una negación de la formula ~(AB) donde A es ~p y B es q. Empesamos con esta expresión.
~(~pq) | |
~(~p)(~q) | | Ley DeMorgan |
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p(~q) | | Ley de Doble Negación |
Ahora podemos completar la simplificación de la proposición dada:
p[~(~pq)] | |
p[p(~q)] | | Desde arriba |
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[pp](~q) | | Ley Associativa |
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p(~q) | | Ley de Absorpción |
Ejemplo 11P Práctica con la Simplificación
Para cada una de las proposicines dadas, pon una proposición más simple. Para ingresarlos, usa "Y" for y "O" para . Por ejemplo, podemos poner (introducir) - (pq)(~r)
como - (p O q) Y ~r
o- (p O q) Y (~r)
Ejemplo 12 Simplificación de una Proposición
Considera lo siguiente: "Usted obtendrá una A si es inteligente y el sol brilla, o usted es inteligente y llueve." Reformula la condición mas simplemente.
Solución
Última actualización: Diciembre, 2012 Derechos de autor © 1996 StefanWaner y Steven R. Costenoble
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