Introdución a la Lógica

por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

2. Lógica Equivalente, Tautologia, y Contradición

Hemos sugerido en la sección previa que ciertas proposiciones son equivalentes. Por ejemplo, decimos que (pq)r y p(qr) son equivalentes — un hecho al que llamamos la ley asociativo de la conjugación. En esta sección, usamos tablas de verdad para decir precisamente lo que significa la equivalencia lógica, y también estudiamos ciertas proposiciones que son "evidentemente verdaderas" ("tautológicas"), o "evidentemente falsas" ("contradictorias").

Podemos comenzar con algunos ejemplos de tablas de verdad de proposiciones compuestas.

Ejemplo 1 Construcción de una tabla de verdad

Solución


Ejemplo 2 Construcción de un tabla de verdad

Solución

Antes de seguir...


Examplo 2P Práctica la construcción de una tabla de verdad

Solución


Examplo 3 Tres Variables

Solución


Ahora decimos que dos proposiciones lógicamente equivalentes si, para todos los valores de verdad posibles de las variables involucradas, afirmamos que son ambas verdaderas o ambas son falsas. Si s y t son equivalentes, escribimos s t. Esta no es otra proposición lógica; es simplemente la afirmación de que las dos proposiciones s y t son equivalentes. Aquí hay unos ejemplos para explicar lo anteriormente mencionado.


Ejemplo 4 Doble Negación

Solución

Mismos valores
p
~p
~(~p)
V
F
V
F
V
F

    La columna p da los dos valores de verdad posible para p, mientras que la columna ~p da valores correspondientes para su negación. Obtenemos valores para la columna ~(~p) desde la columna ~p invirtiendo los valores de verdad: Si ~p es falsa, entonces su negación, ~(~p), debe ser verdadera y viceversa. Ya que las columna p y ~(~p) ahora tienen los mismos valores de verdad en todas las filas, son lógicamente equivalentes.

    (b) Si p: "Estoy feliz," para que la proposición dada sea ~(~p). Por parte (a), es equivalente a p, en otras palabras, a la proposicción, "Estoy feliz."

Antes de suguir...

    En español, a veces usamos oraciones con doble negación que no se convierten en oraciones positivas, por ejemplo "no está en ningún lado" no es lo mismo que "sí, está en algún lado," y por lo tanto no sigue la ley de doble negación.

Ejemplo 5 Práctica con doble negación

    (a) p: "No es verad que no hay vida en Marte." es lo mismo que:     
    (b) p: "No es verdad que no son altos los jugadores de lacrosse." es lo mismo que:     
    (c) p: "No es verdad que mi computadora tiene software nuevo." es lo mismo que:     

Ejemplo 6 Una de la leyes DeMorgan

    Muestra que ~(pq) (~p)(~q). Esto es la ley DeMorgan.

Solución

    Nuevamente construimos una tabla de verdad para ~(pq) y (~p)(~q).

Mismos valores
p
q
pq
~(pq)
~p
~q
(~p)(~q)
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V

    Desde la columna ~(pq) y (~p)(~q) de acuerdo a las columnas, concluimos que son equivalentes.

Antes de seguir...

    La proposición ~(pq) se puede leer como "No es el caso de que p y q son verdaderas" o "p y q no son las dos verdaderas." Sólo hemos demostrado que esto es equivalente a "p es falsa o q es falsa."

Ejemplo 7 Aplicación de la ley DeMorgan

    Si p: "El Presidente es un Demócrata," y q: "El presidente es un Republicano." Por lo tanto ~(pq): "El Presidente no es un Demócrata y también Republicano." Es lo mismo que decir: "El presidente no es un Demócrata, o no es un Republicano, o el no es ninguno," que es (~p)(~q).

Antes de seguir...

    Esto no es lo mismo que "El Presidente es un Republicano o un Demócrata," que sería qp.

Aquí están la dos equivalencias conocidas como la ley DeMorgan:

Ley DeMorgan

Si p y q son proposiciones, entonces

    ~(pq) (~p)(~q)

    ~(pq) (~p)(~q)

Hablando mecánicamente, esto significa que, cuando distribuimos un signo de negación, invierte y , y la negación se aplica a ambas partes.

Ejemplo 7P Práctica con la ley DeMorgan

    (a) p: "Hay vida en Marte."
    q: "Hay vida en Júpiter."
    ~(pq):
    (b) p: "No hay jugadores de lacrosse bajos."
    q: "No hay jugadores de fútbol altos"
    ~(pq):
    (c) p: "Todo está perdido."
    q: "No hay esperanza."
    ~(p~q)

Una proposición compuesta es una tautología si su valor de verdad es V, independientemente de los valores de verdad de sus variables. Es una contradicción si su valor de verdad siempre es F, independientemente de los valores de verdad de sus variables. Son propiedades de una única proposición, mientras que la equivalencia lógica siempre se refiere a dos proposiciones.

Ejemplo 8 Tautologías

    Demuestra que las siguientes son tautologías:
      (a) p(~p).
      (b) (pq)[(~p)(~q)]

Solución

    (a) Veamos la tabla de verdad para comprobarlo:

    p
    ~p
    p(~p)
    V
    F
    V
    F
    V
    V

    todas V

    Ya que hay sólo V's en la columna p(~p), concluimos que p(~p) es una tautología. Podemos pensar en esto como diciendo que el valor de la verdad de la proposición de p(~p) es independiente del valor de la variable p.

    (b) La proposición anterior tiene la siguiente tabla de verdad.

    p
    q
    ~p
    ~q
    pq
    ~(p)(~q)
    (pq) [ (~p)(~q) ]
    V
    V
    F
    F
    V
    F
    V
    V
    F
    F
    V
    V
    F
    V
    F
    V
    V
    F
    V
    F
    V
    F
    F
    V
    V
    F
    V
    V
       
    Todas V    

Antes de seguir...

    "Estás triste," el caballero dijo en un tono ansioso: "Dejame cantarte una canción para consolarte. . . Todos los que me escuchan cantar — ya lleva unas lagrimas en sus ojos, o bien —"
    "O bien qué?" dijo Alicia. Porque el caballero hizo una pausa repentina.
    "O bien no lo hace, usted sabe."  

Cuando una proposición es una tautoligía, decimos tambien que la proposición es una tautología. En uso, común esto a veces significa que la proposición es convincente. Aquí lo utilizamos para algo mas fuerte: la proposición siempre es verdadera, bajo toda circunstancia. En contraste, una contradicción, o proposición contradictoría, nunca es verdad en ninguna circunstancia.

Ejemplo 9 Contradicción

    Muestra que la proposición (pq)[(~p)(~q)] es una contradicción.

Solución

    Su tabla de verdad es la siguiente:

    p
    q
    ~p
    ~q
    pq
    ~(p)(~q)
    (pq) [ (~p)(~q) ]
    V
    V
    F
    F
    V
    F
    F
    V
    F
    F
    V
    V
    F
    F
    F
    V
    V
    F
    V
    F
    F
    F
    F
    V
    V
    F
    V
    F

    Ya que en la última columna todas son F's, concluimos que (pq)[(~p)(~q)] es una contradicción.

Antes de seguir...

    En uso común a veces decimos que la dos proposición son contradictorias. Esto significa que su conjunción es una contradicción: no pueden ser los dos verdaderas. Por ejemplo, la proposición pq y (~p)(~q) son contradictorias, ya que acabamos de demostrado que su conjunción es una contradicción. En otras palabras, no importa que sean los valores de verdad de p y q, nunca es verdad que pq y (~p)(~q) son verdaderas al mismo tiempo. (¿Puedes ver por qué esto es así desde el significado de pq?)

Tenga en cuenta que la mayoría de las proposiciones no son tautológicas ni contradicción, como los tres ejemplos de esta sección.

A veces podemos "reconocer" una tautología o contradicción inmediatamente. En términos generales, tautologías son proposiciones "obviamente verdaderas" mientras que las contradicciones son "obviamente falsas".

Ejemplo 10 Práctica para reconocer Tautologías y Contradicciones

    Responde a lo siguiente. En caso de duda, utilice una tabla de verdad. (Las tablas de verdad para estos ejemplos aparecen en los ejercicios)
      p(~p)   es una tautoloía
      una contradicción
      Ninguna de las dos
      .
       
      p(~q)   es una tautología
      una contradicción
      Ninguna de las dos
      .
       
      p(~q)   es una tautología
      una contradicción
      Ninguna de las dos
      .
       
      [p(~p)] [q(~q)]   es una tautología
      una contradicción
      Ninguna de las dos
      .
       

Antes de pasar a los ejercicios de esta sección, damos una lista de algunas equivalencia lógica importantes, la mayoría de las cuales hemos encontrado. (La verificación de algunos de ellos aparecen como ejercicios.) Añadiremos a esta lista a medida que avanzamos.

Equivalencias lógicas importantes: Primera lista

Las siguientes equivalencias lógicas se aplican a cualquier proposiciones; las p's, q's y r' s pueden ser proposiciones atómicas o proposiciones compuestas.

~(~p) p Ley de Doble Negación
pq qp Ley Conmutativa de la Conjunción
pq qp Ley Conmutativa de la Disyunción
(pq)r p(qr) Ley Asociativa de la Conjunción
(pq)r p(qr) Ley Asociativa de la Disyunción
~(pq) (~p)(~q) Ley DeMorgan
~(pq) (~p)(~q)
p(qr) (pq)(pr)         Ley de Distribución
p(qr) (pq)(pr)
pp p Ley de Absorpción
pp p

Ejemplo 11 Simplificación de Expresiones

    Simplifica las siguientes proposiciones:
      (a) p~(~q)
      (b) ~([p(~q)]r)
      (c) p[~(~pq)]

Solución

    "Simplificar" se entiende como "encontrar una proposición equivalente más simple."

    (a) Podemos reconocer inmediatamente una doble negación ~(~q). Por la ley de doble negación, esto es lo mismo que q. Así, la expresión puede escribirce mas simplemente como:

      pq.

    (b) Podemos analizar esta proposición desde el exterior asta lo interior. En primer lugar es una negación, pero además es la negación ~(AB), donde A es (p(~q)) y B es r. Para ver esto, busca el "conector principal," el último operador lógico que sería evaluado en la construción de una tabla de verdad. Ahora una de las leyes DeMorgan es:

      ~(AB) (~A)(~B).
    Aplicando esto aquí da:
      ~([p(~q)]r) (~[p(~q)])(~r).
    Una ves más podemos aplicar la ley DeMorgan, a la proposición ~(p(~q)). Esto nos da:
      ~[p(~q)] (~p)~(~q) (~p)q.
    Ten en cuenta que tambien emos utilizado la ley de doble negación. Finalmente, esto nos da:
      ~([p(~q)]r) (~[p(~q)])(~r) ((~p)q)(~r),
    o simplemente:
      (~p)q(~r),
    Por que la ley Asociativa nos dice que podemos olvidar cuales dos expresiones disyuntimos primeramente.

    (c) La expresión ~(~pq) o la derecha es una negación de la formula ~(AB) donde A es ~p y B es q. Empesamos con esta expresión.

      ~(~pq) ~(~p)(~q)Ley DeMorgan
      p(~q)Ley de Doble Negación
    Ahora podemos completar la simplificación de la proposición dada:
      p[~(~pq)] p[p(~q)]Desde arriba
      [pp](~q)Ley Associativa
      p(~q)Ley de Absorpción

Ejemplo 11P Práctica con la Simplificación

    Para cada una de las proposicines dadas, pon una proposición más simple. Para ingresarlos, usa "Y" for y "O" para . Por ejemplo, podemos poner (introducir)
    (pq)(~r)
    como
    (p O q) Y ~r
    o
    (p O q) Y (~r)
      (a) ~(~(~p))      
      (b) p(~qp)      
      (c) p(qp)      

Ejemplo 12 Simplificación de una Proposición

    Considera lo siguiente: "Usted obtendrá una A si es inteligente y el sol brilla, o usted es inteligente y llueve." Reformula la condición mas simplemente.

Solución

    La condición es "Usted es inteligente y brilla el sol, o usted es inteligente y llueve." Vamos a analizar esto simbólicamente: Si p: "Usted es inteligente," q: "El sol brilla," y r: "Llueve." La condición es en tonses (pq)(pr). Podemos "sacar el factor" p usando una de las leyes de distribución en sentido inverso:

      (pq)(pr) p(qr).
    Observamo que cada equivalencía lógica enumerada en la lista de arriba se puede leer de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. Poniendo p(qr) en español podemos reescribir la oración dada "Usted obtendra una A si es enteligente, brilla el sol y llueve."

Última actualización: Diciembre, 2012
Derechos de autor © 1996 StefanWaner y Steven R. Costenoble

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