Ya hemos tenido un gusto de pruebas en Sección 5. En esta sección, hacemos más preciso lo que hacíamos allí, y ganamos más práctica en la elaboración de las pruebas.
En el ejemplo 5 de la sección anterior vimos el siguiente argumento.
aq |
bq |
(ab)q |
Precisamente, un argumento es una lista de proposiciones llamadas premisas seguidas de una proposición llamada la conclusión. (Permitimos la lista de premisas a estar vacía, como en el ejemplo 3 en la sección anterior.) Decimos que un argumento es válido si la conjuncción de sus premisas implica a su conclusión. En otras palabras, la validez significa que si todas las premisas son verdaderas, entonces también es verdadera la conclusión. La validez de un argumento no garantiza la verdad de sus premisas, por lo que no garantiza la verdad de su conclusión. Sólo garantiza que la conclusión será verdadera si las premisas son verdaderas.
Argumentos y Validez
Un argumento es una lísta de proposiciones llamadas premisas seguida por una proposición llamada la conclusión.
Se dice que el argumento es valido si la proposición
es una tautología. En otras palabras, validez significa que si todas las premisas son verdaderas, entonces la conclusión debe ser verdadera. |
aq |
bq |
(ab)q |
Segunda, comprobar la validez de un argumento por mecánicamente construir una tabla de verdad es casi completamente sin intuición; no da ninguna idea buena por qué un argumento es valido. Nos concentraremos en una forma alternativa para demostrar que un argumento es valído, llamado una prueba, que es mucho mas interesante y te dice mucho más de lo que está pasando en el argumento.
Por último, mientras que las tablas de verdad son suficientes para comprobar la validez de proposiciones en el cálculo proposicional, no trabajan para el cálculo de predicados que comenzaremos a discutir en la siguiente sección. Por lo tanto, no funcionan tablas de verdad en los argumentos matemáticos reales. Uno de nuestros motivos ulterior es demostrar realmente lo qué hacen los matemáticos: Crean pruebas.
Pruebas
Una prueba de un argumento es una lista de proposiciones, y cada uno de ellos se obtiene de las proposiciones anteriores utilizando una de las reglas de inferencia T1, T2, S, C, o P. La ultima proposición de la prueba debe ser la conclución del argumento. Ejemplo Como un ejemplo, tenemos las siguientes pruebas del argumento dado anterior mente, que consideramos en la sección anterior:
|
La única manera de aprender a hallar pruebas es viendo mucho ejemplos y haciendo mucha practica. En los ejemplos siguientes trataremos de darte algunos consejos a medida que avancemos.
Prueba el argumento válido:
(pq)(rs) | |
pq | |
rs |
AB | |
A | |
B |
vemos que esto es nada más que Modus Ponens. Así obtenemos la siguiente prueba en un sólo paso:
1. (pq)(rs) | Premisa |
2. pq | Premisa |
3. rs | 1,2 Modus Ponens |
Modus Ponens y Modus Tollens, tal vez, son los que más utilizan las reglas de inferencia. Debes acostumbrarte a buscar situaciones en las que puedes aplicar estas reglas.
pq |
r(~p) |
~r |
1. pq | Premisa |
2. r(~p) | Premisa |
3. p | 1, Simplificación |
4. ~r | 2, 3 Modus Tollens |
Regla C juega un papel importante en la siguiente prueba.
pa |
pb |
p |
ab |
Podemos obtener ambas a y b individualmente usando Modus Ponens. Para obtener su conjunción, todo lo que necesitamos hacer es invocar regla C.
1. pa | Premisa |
2. pb | Premisa |
3. p | Premisa |
4. a | 1, 3 Modus Ponens |
5. b | 2, 3 Modus Ponens |
6. ab | 4, 5 Regla C |
p(qr) |
p |
~r |
q |
(1) Nesecitamos q. El único lugar que q se produce es en la primera línea como parte de la consecuente. Podemos obtener qr utilizando las dos primeras líneas y Modus Ponens.
(2) Ahora sabemos que podemos obtener qr. Para obtener sólo q, necesitamos excluir r. Esto es posible con la premisa ~r, y Silogismo disyuntivo.
Así obtenemos la siguiente prueba:
1. p(qr) | Premisa |
2. p | Premisa |
3. ~r | Premisa |
4. qr | 1, 2 Modus Ponens |
5. q | 3, 4 Silogismo Disyuntivo |
(pr)(st) |
p |
t |
(1) Necesitamos t. Esto ocurre en la consecuente de la primera premisa. Podríamos hacer esto usando Modus Ponens si supiéramos que pr es verdadera.
(2) Todo lo que sabemos es que p es verdadera en la segunda premisa. Pero la regla de adición nos dará pr.
(3) Al combinar (1) y (2) obtenemos el consecuente, st. Para obtener solo t, entonces podemos usar simplificación:
1. (pr)(st) | Premisa |
2. p | Premisa |
3. pr | 2, Adición |
4. st | 1, 3 Modus Ponens |
5. t | 4, Simplificación |
a(bc) |
~b |
~a |
(2) Por lo tanto, tenemos un nueva meta: muestra ~(bc). Esto es igual a ~b~c por De Morgan.
(3) Ahora reconocemos que podemos utilizar Adición para obtener ~b~c por ~p.
Ahora podemos obtener la prueba por pasando por esta secuencia de pasos hacia atrás:
1. a(bc) | Premisa |
2. ~b | Premisa |
3. ~b~c | 2, Adición |
4. ~(bc) | 3, De Morgan |
5. ~a | 1, 4 Modus Tollens |
Otro punto a tener en cuenta es que hay muchas pruebas diferentes de un argumento válido. Aquí esta otra prueba del argumento anterior:
1. a(bc) | Premisa |
2. ~b | Premisa |
3. ~(bc)(~a) | 1, Contrapositiva |
4. ~b~c | 2, Adición |
5. ~(bc) | 4, De Morgan |
6. ~a | 3,5 Modus Ponens |
Construir una prueba es como jugar una partida de ajedrez. Necesitas escoger los movimientos correctos, de todos los que son posibles, para llegar a tu objetivo.
sr |
(pq)~r |
(~s)(~qr) |
p |
q |
(2) La proposición más simple es la última, que dice que p es verdadera.
(3) La segunda premisa dice, después de que usamos Adición para obtener pq, que ~r es verdadera.
(4) La primera premisa dice, por Modus Tollens, que ~s es verdadera.
(5) Esto encaja perfectamente en la tercera premisa, que dice (~qr) es verdadera.
(6) Pero ya sabemos de (3) que ~r es verdadera. Por lo tanto, por Modus Tollens, ~(~q) ≡ q es verdad!
Pasando por estos pasos nos da la prueba siguiente:
1. sr | Premisa |
2. (pq)~r | Premisa |
3. ~s(~qr) | Premisa |
4. p | Premisa |
5. pq | 4, Adición |
6. ~r | 4, 2 Modus Ponens |
7. ~s | 1, 6 Modus Tollens |
8. ~qr | 3, 7 Modus Ponens |
9. q | 6, 8 Modus Tollens |
Como se muestra en el ejemplo anterior, no todas las pruebas son fáciles de hallar. A veces tiene que juguetear un poco para hallar una. Si la línea del argumento no te da resultados, experimenta con algo más. Aquí están algunas cosas para poder ayudarte frecuentemente:
Consejos y sugerencias generales
Como una estrategia general, trata de trabajar hacia atrás de la conclución y hacia delante de las premisas hasta que tus caminos de razonamiento se encuentren en algún punto en el centro. Aquí están algunas técnicas especificas para manipular las proposiciones.
2. Usa la ley De Morgan para reescribir una conjuncción o una disyunción. 3. Usa la ley De Morgan para reescribir una negación de una conjunción o una disyunción. 4. Trata de usar cualquiera de las otras equivalencias tautológicas para reescribir una proposición. 5. Toma un descanso para tomar café para despejar tu cabeza. Sobre todo, ser persistente ¡(vuelva del descanso de tomar café y vuelva a trabajar)! |
El siguiente argumento básicamente afirma que si permitimos una sola contradicción en un argumento, entonces todo es posible. (Una prueba apareció al final de los ejercicios de la última sección, pero es bastante interesante para justificar más inspección).
p(~p) |
q |
Ten en cuenta que la premisa p(~p) es una contradicción. Si escribes la tabla de verdad para [p(~p)]q, puedes ver por que este es un argumento válido. Pero vamos a tratar de encontrar una prueba.
(1) La forma más fácil de empezar es utilizar simplificación para "romper" la proposición p(~p) en las dos proposiciones individuales p y ~p.
(2) Nota que q no ocurre en cualquier parte entre en las premisas. Una manera en la que lo podemos conseguir de la nada es utilizar Adición, así vamos a tratar de añadirlo a p para obtener pq.
(3) Ahora la proposición ~p que obtuvimos de (1) nos dice que p es falsa, así que esto, combinado con pq, nos da q, por Silogismo Disyuntivo.
1. p(~p) | Premisa |
2. p | 1, Simplificación |
3. ~p | 1, Simplificación |
4. pq | 2, Adición |
5. q | 3, 4 Silogismo Disyuntivo |
Támbien debemos comentar sobre el argumento. Ver la premisa: Está afirmando la contradicción que ambos p y ~p son verdaderas. Lo que dice el argumento es que, una vez que se permite una contradicción en un argumento, todo es verdad. Nota que la conclución, q no tiene nada que ver con la premisa.
Esto está relacionado con el hecho que un antecedente falso implica cualquier consecuente, verdadero o no. Aquí está un ejemplo: "Si 0 = 1, entonces soy el rey de Inglaterra" es un proposición verdadera sin importar quien lo dice. Para escribir esto como un argumento, vamos a tomar p para la proposición "0 = 1" y q para la proposición "Soy el rey de Inglaterra". Entonces nuestra proposición es equivalente al argumento.
p |
q |
&iexecl;Pero eso no es todo! Como matemáticos, sabemos que la proposición p es falsa, entonces ~p es una proposición verdadera. Por lo tanto realmente argumentamos esto:
p |
~p |
q |
Por regla C, esto realmente es igual a:
p(~p) |
q |
pq |
q |
p |
no es válido.
Las pruebas sólo se pueden utilizar para mostrar que un argumento es válido. Si tratamos de probar este argumento, no demostrarás nada. Es parecido al Modus Ponens, excepto que va hacia atrás. Es parecido al Modus Tollens, pero fallan las negaciones. Sólo se ve mal, y así es.
Para mostrar que un argumento es iválido, necesitamos encontrar un contraejemplo. Esto es un a desicnación de valores de verdad a las variables tal que las premisas son verdaderas, pero la conclusión falsa, demostrando que la conclución no sigue de las premisas.
En este caso, para que sea falsa la conclución, necesitamos que p sea F. Para que sean verdaderas las premisas necesitamos que q sea V. Todo lo que tenemos que hacer es comprobar que todas las premisas son verdaderas: La primer premisa es pq, que es verdad cuando p es F y q es V. Este es nuestro contraejemplo.
Un contraejemplo es más vivido si lo ilustramos con proposiciones concretas. Para p, que debe ser F, tomemos las proposición "0 = 1." Para q, que debe ser V, tomemos la proposición "la tierra es redonda". Nuestro argumento entonces tiene la siguiente, evidentemente ridícula, forma:
Si 0 = 1, entonces la tierra es redonda. | - Verdadera |
La tierra es redonda. | - Verdadera |
0 = 1 | - Falsa |
Si Miami está en Florida, está en los EUA. |
Pero Miami sí está en los EUA. |
Miami está en Florida. |
Auque la conclusión es verdadera, el argumento sigue siendo inválido (básicamente porque podemos utilizar el mismo argumento para deducir conclusiones falsas a partir de premisas verdaderas como vimos en el contraejemplo).
Para una discusión informativa sobre muchos tipos diferentes de argumentos inválidos, por favor visita la página lógica de David Marans. En realidad, este vínculo es necesario para aquellos que se sientan incómodos con la idea de que la conclución en un argumento lógicamente inválido puede ser verdadera (y que la conclución en un argumento lógicamente válido puede ser falsa).Para analizar cualquier argumento dado en palabras primero lo traducimos en una forma simbólica.
(a) La primera frase habla sobre dos aspectos de una reacción química, si es irreversible y si disipa el calor. Sea p: "esta reacción química es irreversible" y q: "esta reacción química disipa el calor." Entonces la primera proposición es pq. La conclución es la implicación (~p)(~q). Por lo tanto, el argumento es, en forma simbóloca, lo siguiente.
pq |
(~p)(~q) |
Este argumento puede recordarnos de la regla de la contrapositiva. Sin enbargo, la conclución es al revés, ya que la contrapositiva de pq es (~q)(~p). Esto sugiere que el argumento es inválido, y por lo tanto, vamos a tratar de encontrar un contraejemplo.
Nuestro contraejemplo debe hacer verdadera la premisa pero falsa la conclusión. La única manera de hacer una implicación falsa es para que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso, así lo que debemos obtener ~p verdadera y ~q falsa. En otras palabras, p debe ser falsa y q verdadera. Afortunadamente, esto hace que la premisa sea verdadera, por lo que hemos encontrado nuestro contraejemplo. En términos de los significados que asignamos a p y q, un contraejemplo daría una reacción química que es reversible pero disipa calor.
Si queremos expresar el contraejemplo en una manera más inmediatamente comprensible, podemos poner para p: "esta criatura es un caballo" y q: "esta criatura es un mamífero". Un contraejemplo sería dado por cualquier criatura que no es un caballo pero que es mamífero, por ejemplo un perro. Alternativamente, elegimos p = "0 = 1", y q = "la luna es redonda". Entonces se convierte en el argumento:
Si 0 = 1, entonces la luna es redonda. | - Verdadera |
Si 01, entonce la luna no es redonda. | - Falsa |
p |
pq |
q |
Aquí está la forma simbólica del argumento.
p(qr) |
~q |
~p |
El siguiente ejemplo se recuerda del tipo del pregunta que aparece frecuentemente en las pruebas de aptitud (como la LSAT).
Decida si o no el siguiente argumento válido. Si es valido, entonces da una prueba; si no es valido, entonces da un contraejemplo.
La única manera para que tenga sentado en absoluto todo esto es para poder traducirlo a símbolos. Para hacernos la vida más fácil, debemos elegir la primera letra del nombre de cada persona para simbolizar su asistencia a clases de matemáticas. Así, por ejemplo, a: "Alexis asiste a clases de matemáticas". Podemos traducir ahora el argumento de la siguiente manera:
a(gd) |
ld |
da |
lg |
Si miramos este argumento, podemos ver la siguiente cadena de implicaciones:
y así parece que l sí implica g; en otras palabras, el argumento es válido. Además, esta cadena de implicaciones nos dice que la mayor parte la prueba se basa en la regla de la Transitividad:
1. a(gd) | Premisa |
2. ld | Premisa |
3. da | Premisa |
4. la | 2,3 Transitividad |
5. l(gd) | 1,4 Transitividad |
Ahora, queremos obtener lg por sí misma, y estamos tentados a probar la regla de Simplificación, pero esto sólo funciona si tenemos gd por sí misma. El único modo de resolver esta pequeña molestia es utilizar un poco de Switcheroo:
6. ~l(gd) | 5, Switcheroo | |
7. (~lg)(~ld) | 6, Ley Distributiva | |
8. (~lg) | 7, Simplificación! | (¿No era eso inteligente?) |
9. lg | 8, Switcheroo |