Introducción a la Lógica

por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

7. Calculo Predicado

Los límites del cálculo proposicional

Uno de los argumentos más famosos en la lógica va así.
Todos los hombres son mortales.
Sócrates es un hombre.
Por lo tanto, Sócrates es mortal.
No hay realmente ninguna manera buena de expresar este argumento usando el cálculo proposicional.

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Cuantificador universal

Tenemos que ir más allá del cálculo proposicional al cálculo predicado, que nos permite manipular proposiciones sobre todas o algunas cosas, sugeridas por el anterior intento de formular el argumento sobre Sócrates.

Comenzamos por reformular de la proposición "Todos los hombres son mortales" un poco más hábilmente de lo que hicimos anteriormente:

"Para todo x, si x es un hombre entonces x es mortal."
La oración "x es un hombre" no es una proposición en el cálculo proposicional, ya que involucra una cosa desconocida x y no podemos asignar un valor de verdad sin saber de cual x estamos hablando. Esta oración se puede dividir en su sujeto, x, y su predicado, "es un hombre". Decimos que la oración es la forma proposicional, ya que se convierte en una proposición una vez que llenamos x. Aquí está como la escribimos simbólicamente: El sujeto ya a sido representado por el símbolo x, aquí llamado un término , y utilizamos el símbolo P para el predicado "es un hombre". Entonces escribimos Px para la forma proposicional. (Es tradicional escribir el predicado antes del término esto se relaciona con la convención en otras partes de las matemáticas de escribir el nombre de una función antes de las variables). De forma similar, si utilizamos Q para representar el predicado "es mortal" entonces Qx significa "x es mortal". Podemos escribir la proposición como "Si x es un hombre entonces x es mortal" como Px→Qx. Para escribir la proposición entera "Para todo x, si x es un hombre entonces x es mortal" simbólicamente, necesitamos símbolos para "Para todo x". Utilizamos el símbolo "∀" para las palabras "para todo" o "para cada". Así, podemos escribir nuestra proposición completa como
∀x[Px→Qx].
El símbolo "∀" es llamado un cuantificador porque describe el número de las cosas acerca de que estamos hablando: todos ellos.   Específicamente, es el cuantificador universal porque hace una reclamación que algo ocurre universalmente.

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Ejemplo 0P Practica con el cuantificador universal


Armados con algunos de los términos de cálculo predicado, ahora estamos listos para nuestro primer argumento válido en el cálculo predicado:


Ejemplo 1 Un silogismo

Expresa el argumento sobre Sócrates,

Todos los hombres son mortales.
Sócrates es un hombre.
Por lo tato, Sócrates es mortal.
en forma simbólica.

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Nota sobre negación

Volvamos por un momento a la proposición "Todos los hombres son mortales": ∀x[Px → Qx].

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Matemáticas y Cálculo Predicado

Matemáticas se expresa en el lenguaje del cálculo predicado.   Aquí hay un ejemplo de una declaración matemática expresada simbólicamente.


Ejemplo 2 Una proposición matemática

Escribe la siguiente proposición en forma simbólica: "Si un número es mayor que 1 entonces es mayor que 0".

Solución

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Ejemplo 2P Práctica con proposiciones matemáticas


Ejemplo 3 Otra proposición matemática

Ahora escriba la siguiente proposición simbólicamente: "dado cualquier par números, el cuadrado de su suma nunca es negativo".

Solución


Cuantificador Existencial

Hay tiempos cuando, en lugar de afirmar que algo es verdadero sobre todas las cosas, sólo queremos afirmar que es verdadero sobre al menos una cosa. Por ejemplo, podemos hacer la reclamación como "algunos políticos son honestos" pero probablemente no querríamos reclamar esto universalmente. Una manera en la que lo dicen los matemáticos es " Existe un político que es honesto". La abreviatura para "existe" es "∃", que se le llama el cuantificador existencial porque reclama la existencia de algo. Si utilizamos P para el predicado "es u político" y H para el predicado "es honesto", podemos escribir "algunos políticos son honestos" como
∃x[PxHx].

Ejemplo 4 Mezcla de cuantificadores

Solución


Ejemplo 4P Practica con Mezcla de cuantificadores


Muchas definiciones matemáticas se hacen en términos de cuantificadores. Un ejemplo interesante es la noción de "divisible por". Decir que un número x es divisible por 2, por ejemplo, significa que x es 2 veces un número entero, o que existe un número entero n tal que x = 2n. Generalizando un poco y escribiéndolo simbólicamente, podemos hacer la siguiente definición.

Divisible por

Si x e y son números enteros, decimos que x es divisible por y si

∃n[In(x=yn)].

I es el predicado "es un número entero".

Nota
Si estamos de acuerdo restringir nuestra variable al universo de números enteros, no tenemos que utilizar el predicado I y obtenemos la siguiente versión más simple:

∃n[x = yn].

Ejemplo 5 Divisibilidad

Solución

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En este último ejemplo hemos comenzado a ver cómo las matemáticas pueden traducirse en forma simbólica. Era la esperanza de matemáticos a finales del siglo XIX que todas las matemáticas podrían realizarse puramente formalmente y de manera simbólica. El intento mas serio de hacerlo fue en Principia Mathematica por Whitehead y Russell's (1910), que tradudío a una gran parte de las matemáticas al lenguaje simbólico. Entonces la esperanza era que allí podría desarróllese un procedimiento puramente formal para comprobar la verdad de las proposiciones matemáticas y producir pruebas. Este proyecto se interrumpió por el teorema de incompletitud de Gödel's (1931), que efectivamente demostro la imposibilidad de cualquier procedimiento semejante. Sin embargo, los matemáticos todavía creen que todo lo hacen debe ser expresable en lógica simbólica, y el lenguaje que realmente uso por escribir su trabajo es una versión algo menos formal del cálculo del predicado.

Última actialización: Febrero, 2013
Derechos de autor © 1996 StefanWaner y Steven R. Costenoble

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