Prueba de la Regla de Potencias
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La regla de potencias

Si $a$ es un numero real, y $f(x) = x^a,$ entonces

    $f^{'}(x) = ax^{a - 1}.$

 
La prueba se divide en varios pasos. Sin embargo, puedes omitir el ultimo paso para una prueba rápida que utiliza la formula para la derivada de funciones exponenciales.


Paso 1: Prueba de la regla de potencias para exponentes enteros no-negativos

En este paso, supongamos que $f(x) = x^n,$ donde $n$ es un número entero positivo: 0, 1, 2, 3, ....

Primero, si da la casualidad de que $n$ es cero, $f(x) = x^0 = 1,$ una constante, y así su derivada es cero, por el resultado demostrado en el texto.

Así, supongamos que $n$ es un entero positivo. Para seguir con la prueba de este paso, debes reconocer un hecho poco agradable algebraico. Primero da un vistazo a estas identidades.

(Utiliza la ley distributiva para desarrollar el lado derecho en cada caso.)

Estos ejemplos se generalizan para darnos la siguiente fórmula:

Diferencia de dos $nª$ en enésima potencias

Si $a$ y $b$ son número reales, y $n$ es un número entero positivo, entonces

    $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2} b + a^{n-3} b^2 + . . . + ab^{n-2} + b^{n-1}).$

Ahora volvamos de nuevo a la prueba a mano. Escribe $f(x) = x^n.$ Entonces

Ahora volvamos a escribir el numerador utilizando la identidad anterior con $a$ remplazado por la cantidad $(x+h)$ y $b$ por $x,$ obteniendo

Ahora que hemos cancelado la $h$ del denominador, obtenemos una función de $h$ de forma cerrada con $h=0$ en su dominio, para que podemos evaluar el límite sustituyendo $h = 0.$ Cada término en la suma se convierte en $x^{n-1}$ si hacemos esto, y obtenemos

Son $n$ términos, y por lo tanto $f^{'}(x) = nx^{n-1},$ completando la prueba de este paso.


Paso 2: Prueba de la regla de potencias para exponentes enteros negativos.

Aquí, vemos que $f(x) = x^{-n},$ donde $n = 0, 1, 2, 3, ... .$ Pues estamos obligados a justificar la regla de potencias para enteros negativos, ¡no podemos simplemente seguir adelante y utilizarlo! "Oficialmente," todo lo que podemos utilizar es la regla de potencias para enteros positivos (Paso 1), la regla del producto y la regla del cociente. (La regla del producto se prueba en el texto, y la regla del cociente se prueba aquí.)

Lo que podemos hacer es lo siguiente: escribe $x^{-n}$ como $\frac{1}{x^n}$ y utiliza la regla del cociente. Aplicando la regla del cociente para $\frac{1}{x^n}$ da

y hemos terminado con este paso.


Paso 3: Prueba de la regla de potencias para exponentes racionales

Para este paso, supongamos que $f(x) = x^{p/q},$ donde $p$ y $q$ son números enteros (positivo o negativo), y debemos demostrar que

Para demostrar esto, sea $y = x^{p/q}.$ Así, el problema es calcular $\frac{dy}{dx}$ sin presuponer la regla de potencias para cualquier exponente excepto los exponentes enteros. Primero, elevamos ambos lados a la potencia de $q$ para obtener exponentes enteros en todas partes.

Ahora tomamos la ecuación $y^q = x^p$ y tomamos la derivada de ambos lados con respecto a $x.$ Por la regla de la cadena,

mientras que

Igualando estas derivadas nos da

Recuerda que buscamos $\frac{dy}{dx}$ por sí mismo. Podemos despejar a $\frac{dy}{dx}$ dividiendo ambos lados por la cantidad $qy^{q-1}:$

Pero $y = x^{\frac{p}{q}},$ y así

¡Hecho!


Paso 4: Prueba de la regla de potencias para exponentes reales arbitrarios (El caso general)

En realidad, este paso no requiere ninguno de los pasos anteriores, aunque se basa en el uso de las funciones exponenciales y sus derivadas.

Primero, necesitamos la igualdad $x^n = e^{nlnx}.$ (Puedes comprobar esto tomando el logaritmo natural de ambos lados.)

Esto confirma la regla de potencias de todas las potencias reales.