Funciones Trigonométricas
por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

Sección: 1. Modelos con la función seno

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1. Modelos con la función seno

Ve la siguiente gráfica, que muestra las temperaturas diarias promedio en el Parque Central de Nueva York. #

#Fuente: National Weather Service/The New York Times, 7 de enero de 1996, p. 36.

Cada año, el patrón se repite una y otra vez, resultando en la siguiente gráfica.

Aquí, la coordenada $x$ representa el tiempo en años donde $x = 0$ representa el 1 de agosto, mientras que la coordenada y representa la temperatura en $ ^{o}F.$ Este es un ejemplo de comportamiento cíclico o periódico.

El comportamiento cíclico es común en el mundo de los negocios; Así como hay fluctuaciones estaciónales de temperatura en el Parque Central, las hay en la demanda de equipo para surfear, nadar, palas para nieve, y muchos otros artículos. La siguiente gráfica parece indicar que hay comportamientos cíclicos en el número de empleos de las afianzadoras en Estados Unidos.*

* Fuente: Securities Industry Association/The New York Times, 1 de Septiembre de 1996, p. F9.

Desde un punto de vista matemático los Modelos de comportamiento cíclico son las funciones seno y coseno. Una forma fácil de describir esas funciones es la siguiente: Imaginamos una rueda de bicicleta cuyo radio es la unidad, con un marcador fijo en el neumático de la rueda trasera, como se muestra en la siguiente figura.

Al girar la rueda, la altura $h(t)$ de la marca sobre el centro de la rueda varía entre $-1$ y $+1.$ Cuanto más rápido gira la rueda, más rápida es su oscilación. Como la rueda tiene una unida de radio, su circunferencia (la distancia a su alrededor) es $2\pi,$ donde $\pi = 3.14159265....$ Cuando el borde exterior de la rueda ha recorrido esta distancia, ha pasado exactamente por una revolución, y por lo tanto regresa a donde empezó. De este modo, si, en tiempo $t = 0$ el marcador comenzó en posición $h(0) = 0,$ entonces regresa a cero después de una revolución. Si el ciclista se desplaza a la velocidad de una unidad por segundo, la rueda de la bicicleta se tardara $2\pi$ segundos en dar una revolución completa, y por lo tanto, la rueda se encuentra en el mismo punto en el que comenzó.

Presiona el botón para que aparezca una animación que muestra $h(t)$ variando con el tiempo $t.$

La función $h(t)$ se le llama función seno, y se representa por $\sen(t),$ como se muestra en la siguiente grafica.

La función seno

Definición "rueda de bicicleta"

Si una rueda cuyo radio es una unidad gira y avanza con velocidad de una unidad por segundo, entonces $\sen(t)$ es la altura después de $t$ segundos que alcanza la marca en el neumático de la rueda comenzando en la posición indicada en la figura del ciclista en tiempo $t = 0,$ entonces su altura después de $t$ segundos se da por

    $h(t) = \sen(t).$

Definición geométrica

El seno de un número real $t$ se da por la coordenada y (altura) del punto $P$ en el siguiente diagrama, donde $t$ es la longitud del arco que se indica.

    $\sen(t) =$ coordenada $y$ de el punto $P.$

Ejemplo 1

Con graficadora o computadora, trace los siguientes pares de gráficas en el mismo conjunto de ejes:

Solución

(a) El formato habitual de la calculadora gráfica es:

Usemos para las coordenadas de ventana aquellas que sugiere la gráfica de $\sen(t)$ como se muestra arriba, pero con coordenadas y más grandes (¿por qué?):

La ventana podría verse así::

$Y_{1} = \sen(X)$ se ve en rojo, y $Y_{2} = 2*\sen(X)$ en amarillo.

Observa que al multiplicarlo por 2 se duplicá la amplitud, o la distancia que oscila hacia arriba y hacia abajo. Mientras que la curva senoide original oscila entre -1 y 1, la nueva curva oscila entre -2 y 2. En general:

(b) En este caso, el formato de la calculadora gráfica es:

Usando coordenadas de ventana

Obtenemos lo siguiente figura:

$Y_{1} = \sen(X)$ se ve en rojo, y $Y_{2} = \sen(X+\pi/4)$ en amarillo.

Nos damos cuenta de que la adición de $\pi/4$ al argumento desplazando la gráfica $\pi/4$ unidades hacia la izquierda. En general:

¿Cómo se podría desplazar esa gráfica $\pi/4$ unidades hacia la derecha?

(c) En este caso, el formato de la calculadora gráfica es:

Usando las mismas coordenadas de ventana y color de gráfica que el la parte (b), obtenemos la siguiente gráfica.

Observa que la gráfica de $\sen(3*x)$ oscila tres veces más rápidamente que la gráfica de $\sen(x).$ De este modo, cada $2\pi$ unidades, la gráfica de $\sen(3*x)$ oscila tres veces. En general:

(d)

Las gráficas se muestran en la ventana

Observa varias cosas:


La formula siguiente muestra el resultado de la combinación de algunas de las operaciones en los ejemplos anteriores.

La función seno en general

    A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base)
    C es el desplazamiento vertical (la altura de la línea base)
    P es el periodo o longitud de onda (la longitud de cada ciclo)
    ω es la frecuencia angular, definida por $ω = 2\pi/P$
    α es el desplazamiento de fase (el desplazamiento horizontal del punto base; cuando la curva cruza la línea de base a medida que asciende)

Ejemplo 2 Corriente electrica

El voltage normal $V$ suministra un contacto eléctrico en muchos países es una función senoidal que oscila entre $- 165$ volts y $+165$ volts, con una frecuencia de $60$ ciclos por segundo. Determina una ecuación del voltaje en función del tiempo $t.$

Solución

Lo que buscamos es una función de la forma

Refiriéndose a la figura anterior, definiremos las constantes una por una.

Amplitud A y desplazamiento vertical C: Como el voltaje oscila entre $- 165$ volts y $+165$ volts, se ve que $A = 165,$ y $C = 0.$

Periodo P: Como la corriente eléctrica oscila $60$ veces en un segundo, el tiempo que tarda una oscilación es $1/60$ de segundo. De este modo, el periodo es $P = 1/60.$

Frecuencia angular ω: Se determina con la fórmula

Desplazamiento de fase α: El desplazamiento de fase $α$ es el valor de $t$ en lo que cruza la curva por primera vez al eje $t$ conforme asciende. Ya que no tenemos en cuenta esta información, podemos elegir $α$ para ser un número arbitrario, así simplemente tomamos $α = 0.$

en donde $t$ es el tiempo en segundos.

Vea también p. 558 de Cálculo Aplicado al Mundo Real o p. 1056 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real


Ejemplo 3 Pautas cíclicas de empleo

Tu agencia de empleo consulta a un economista. Éste te indica que la demanda de empleo temporal, (expresada en miles de solicitudes de trabajo por semana) en tu municipio, se puede aproximar con la función

en la que $t$ es el tiempo, en años, a partir de enero de 1995. Calcula la amplitud, el desplazamiento vertical, el desplazamiento de fase, la frecuencia angular y el periodo, e interpreta los resultados.

Solución

Para calcular esas constantes escribimos

y se ve de inmediato que $A = 4.3$ (la amplitud), $C = 7.3$ (el desplazamiento vertical) y $ω = 0.82$ (la frecuencia angular). También se tiene que

por lo que

(redondeando a dos cifras significativas; observa que todos los términos se expresan con dos dígitos). Por último, el periodo se calcula con la fórmula

por lo que

Estos números se pueden interpretar de la siguiente manera:

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Stefan Waner (matszw@hofstra.edu) Steven R. Costenoble (matsrc@hofstra.edu)

última actualización: Mayo, 2013
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