Funciones Trigonométricas
por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

Sección: 4. Integrales de Funciones Trigonométricas

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4. Integrales de Funciones Trigonométricas

Recuerda que en la definición de una antiderivada que, si

entonces

Es decir, cada vez cuando tenemos una fórmula de diferenciación, obtenemos una fórmula de integración automaticamente. Aquí esta una lísta de algunos de ellos.

Ten en cuenta que, por casualidad, hemos encontrado fórmulas para las antiderivadas de $sen  x$ y $cos  x.$

Pregunta
¿Y qué de los otros cuatro?

Respuesta
Vamos a obtener algunos de ellos a continuación, y dejaremos los otros para el conjunto de ejercicios. (Algunos de ellos ya aparecieron como derivadas en el conjunto de ejercicios 3...).


Ejemplo 1

Calcula las siguientes.

Solución

(a) Consultando la tabla de arriba,

(b) El cálculo de $ _∫ cos(2x − 6) dx$ require una sustitución:

Ahora tenemos

(c) Éste también se puede hacer usando una sustitución. El truco es sustituir para el término $cos  x$ de la siguiente manera:

Ahora tenemos

(d) Escribe $ _∫tan  x  dx$ como $ _∫(sen  x / cos  x)  dx,$ y usa la sustitución como en la parte (c):

Antes de seguir...

El método en la parte (b) nos da las siguientes fórmulas más generales:


Para no mantenerte en suspenso, aquí están las antiderivadas de las seis funciones trigonométricas. (Los obtendrás en los ejercicios).


Ejemplo 2 Ventas totales

Las ventas mensuales de Ocean King tablas de surf se dan por $s(t) = 1,500sen(π(t−7)/6) + 2000,$ donde $t$ es tiempo en meses, y $t = 0$ representa el 1 de enero. Estima las ventas totales durante el período de cuatro meses a partir del 1 de marzo.

Solución

Ya que las ventas totales se dan por la integral definida de las ventas mensuales durante el determinado período $(t = 2 a t = 6),$ tenemos que consultar la tabla anterior,


También podemos utilizar el método tabular de integración partes que se discuten en la sección 7.1 de Cálculo Aplicado al Mundo Real, o sección 14.1 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real.

Ejemplo 3

Evalúa las siguientes integrales

Solución

(a) Diferenciación repetida de el primer término $(3x^2−2x+1)$ resultado en cero, lo colocamos en la columna "D":

Esto da:

(b) La diferenciación repetida no aniquila ningún término. En realidad, no importa qué término colocamos en la columna "D", así que vamos a poner la función trigonométrica ahí:

Esto da:

(Vamos a añadir la constante de integración después de que terminamos). Nota que hemos terminado con el mismo integral a la derecha que con el cual comenzamos. Al llamar a este integral I obtenemos:

y ahora podemos solucionar para I:

Esto da,

de que obtenemos


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Última actualización: Mayo, 2013
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