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Recuerda que en la definición de una antiderivada que, si
entonces
Es decir, cada vez cuando tenemos una fórmula de diferenciación, obtenemos una fórmula de integración automaticamente. Aquí esta una lísta de algunos de ellos.
| $\frac{d}{dx} \sen x = \cos x$ | $\int \cos x\ dx = \sen x + C$ |
| $\frac{d}{dx} \cos x = -\sen x$ | $\int \sen x\ dx = -\cos x + C$ |
| $\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2x$ | $\int \sec^2x\ dx = \tan x + C$ |
| $\frac{d}{dx} \cotan x = -\cosec^2 x$ | $\int \cosec^2x\ dx = -\cotan x + C$ |
| $\frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x$ | $\int (\sec x \tan x) dx = \sec x + C$ |
| $\frac{d}{dx} \cosec x = -\cosec x \cotan x$ | $\int (\cosec x \cotan x) dx = -\cosec x + C$ |
Pregunta
¿Y qué de los otros cuatro?
Respuesta
Vamos a obtener algunos de ellos a continuación, y dejaremos los otros para el conjunto de ejercicios. (Algunos de ellos ya aparecieron como derivadas en el conjunto de ejercicios 3...).
Ejemplo 1
Calcula las siguientes.
Solución
(a) Consultando la tabla de arriba,
| $\int (3\sen x - 4\sec^2x) dx$ | $= \int 3\sen x\ dx - \int 4\sec^2x\ dx$ | (propiedades de integrales) |
| $= 3 \int \sen x\ dx - 4 \int \sec^2x\ dx$ | (propiedades de integrales) | |
| $= -3\cos x - 4\tan x + C$ | (de la tabla) |
| $\color{blue}{u = 2x-6}$
$\color{blue}{\frac{du}{dx}=2}$ $\color{blue}{dx = \frac{1}{2} du}$ |
Ahora tenemos
| $\int \cos(2x - 6) dx$ | $= \int \cos u \frac{1}{2} du$ | (usando la sustitución) |
| $= \frac{1}{2} \int \cos u\ du$ | (propiedades de integrales) | |
| $= \frac{1}{2} \sen u + C$ | (de la tabla) | |
| $= \frac{1}{2} \sen(2x-6) + C.$ | (usando la sustitución) |
|
$\color{blue}{u = \cos x }$
$\color{blue}{\frac{du}{dx} = -\sen x}$ $\color{blue}{dx = - \frac{1}{\sen x} du}$ |
Ahora tenemos
| $\int \sen x \cos^2x\ dx$ | $= \int (\sen x)u^2 \left(- \frac{1}{\sen x}\right) du$ | (usando la sustitución) |
| $= -\int u^2 du$ | ||
| $= - \frac{u^3}{3} + C$ | ||
| $= - \frac{\cos^3x}{3} + C.$ | (usando la sustitución) |
| $\int \tan x\ dx$ | $= \int \frac{\sen x}{\cos x} dx$ | |
| $= \int \frac{\sen x}{u} \left(- \frac{1}{\sen x} \right) du$ | (usando sustitución) | |
| $= -\int \frac{1}{u} du$ | ||
| $= -\ln \|u\| + C$ | ||
| $= -\ln \|\cos x\| + C.$ | (usando la sustitución) |
Antes de seguir...
El método en la parte (b) nos da las siguientes fórmulas más generales:
| $\int \cos x\ dx = \sen x + C$ | $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sen(ax+b) + C$ |
| $\int \sen x\ dx = -\cos x + C$ | $\int \sen(ax+b) dx = - \frac{1}{a} \cos(ax+b) + C$ |
Para no mantenerte en suspenso, aquí están las antiderivadas de las seis funciones trigonométricas. (Los obtendrás en los ejercicios).
| $\int \cos x\ dx = \sen x + C$ | $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sen(ax+b) + C$ |
| $\int \sen x\ dx = -\cos x + C$ | $\int \sen(ax+b) dx = - \frac{1}{a} \cos(ax+b) + C$ |
| $\int \tan x\ dx = - \ln \|\cos x\| + C$ | $\int \tan(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \ln \|\cos(ax+b)\| + C$ |
| $\int \cotan x\ dx = \ln \|\sen x\| + C$ | $\int \cotan(ax+b) dx = \frac{1}{a} \ln \|\sen(ax+b)\| + C$ |
| $\int \sec x\ dx = \ln \|\sec x + \tan x\| + C$ | $\int \sec(ax+b) dx = \frac{1}{a} \ln \|\sec(ax+b) + \tan(ax+b)\| + C$ |
| $\int \cosec x\ dx = -\ln \|\cosec x + \cotan x\| + C$ | $\int \cosec(ax+b) dx = - \frac{1}{a} \ln \|\cosec(ax+b) + \cotan(ax+b)\| + C$ |
Ejemplo 2 Ventas totales
Las ventas mensuales de Ocean King tablas de surf se dan por $s(t) = 1\,500\sen(π(t-7)/6) + 2\,000,$ donde $t$ es tiempo en meses, y $t = 0$ representa el 1 de enero. Estima las ventas totales durante el período de cuatro meses a partir del 1 de marzo.
Solución
Ya que las ventas totales se dan por la integral definida de las ventas mensuales durante el determinado período $(t = 2$ a $t = 6),$ tenemos que consultar la tabla anterior,
| Ventas totales | $=$ |
|
||||||||
| $=$ |
|
|||||||||
| $=$ | $3\,038$ tablas de surf. |
También podemos utilizar el método tabular de integración partes que se discuten en la sección 7.1 de Cálculo Aplicado al Mundo Real, o sección 14.1 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real.
Ejemplo 3
Evalúa las siguientes integrales
Solución
(a) Diferenciación repetida de el primer término $(3x^2-2x+1)$ resultado en cero, lo colocamos en la columna "D":
|
Esto da:
(b) La diferenciación repetida no aniquila ningún término. En realidad, no importa qué término colocamos en la columna "D", así que vamos a poner la función trigonométrica ahí:
|
Esto da:
(Vamos a añadir la constante de integración después de que terminamos). Nota que hemos terminado con el mismo integral a la derecha que con el cual comenzamos. Al llamar a este integral I obtenemos:
y ahora podemos solucionar para I:
Esto da,
de que obtenemos
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