Funciones Trigonometricas
por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble
Ejercicos
para la
Sección 1: Modelos con la función seno
Grafica cada función o par de funciones en el mismo conjunto de ejes:
(a) Trace la curva a mano consultando la descripción en el ejemplo 1
(b) Usa graficadora o computadora para comprobar tus bosquejos.
| 1. $f(t) = sen(t); g(t) = 3sen(t)$ |
2. $f(t) = sen(t); g(t) = 2.2sen(t)$ |
| 3. $f(t) = sen(t); g(t) = −1.2sen(t)$ |
4. $f(t) = sen(t); g(t) = −2sen(t)$ |
| 5. $f(t) = sen(t); g(t) = sen(t − π/4)$ |
6. $f(t) = sen(t); g(t) = sen(t + π)$ |
| 7. $f(t) = sen(t); g(t) = sen(2t)$ |
8. $f(t) = sen(t); g(t) = sen(−t)$ |
| 9.$f(t) = 2 − 2sen(πt)$ |
10.$f(t) = 3 + 2sen(πt)$ |
| 11.$f(t) = 2sen(3π(t−0.5))$ |
12.$f(t) = 2sen(3π(t+1.5))$ |
| 13.$f(t) = 2sen(3π(t−0.5)) − 3$ |
14.$f(t) = 2sen(3π(t+1.5)) + 1.5$ |
Modela cada curva con una función seno. Observa que no todas están trazadas con la misma escala en los dos ejes.
Aplicaciones
21. Venta de computadoras
Las ventas de computadoras están sujetas a fluctuaciones estacionales. En particular, la venta de la empresa Computer City en 1995 y 1996 se pueden aproximar con la función
$s(t) = 0.106sen(1.39t + 1.61) + 0.455 (1 ≤ t ≤ 8)$
en donde $t$ es el tiempo en trimestres ($t = 1$ representa el final del primer semestre de 1955) y $s(t)$ es la venta de computadoras (ingreso trimestral) en miles de millones de dólares. †
(a) Use gráficadora o computadora para trazar la curva de ventas como una función de tiempo para el periodo de 2 años que va de enero de 1995 a enero de 1997. Con la gráfica estime el valor de $t$ y los trimestres en los que las ventas fueron mínimas y máximas.
(b) Estima el ingreso máximo y mínimo de Computer City por la venta de computadoras.
(c) Indica cómo se puede obtener el resultado de la parte (b) en forma directa con la ecución para $s(t).$
22. Venta de computadoras
Repita el ejercicio 21 usando el siguiente modelo de ventas trimestrales de computadoras de CompUSA: †
$s(t) = 0.0778sen(1.52t + 1.06) + 0.591$
† Los modelos en los ejercicios 20-21 se basan en una regresión con los datos que aparecieron en The New York Times, 8 de enero de 1997, p. D1. Las constantes se redondearon a tres cifras significativas.
23. Fluctuaciones de ventas
Las ventas de automóviles y camiones ligeros de General Motors en 1996 fluctuaron desde un máximo de $95$ billones de dólares en octubre $(t = 0)$ hasta un mínimo de $80$ billones de dólares en abril $(t = 6).*$ Construya un modelo senoidal para las ventas mensuales $s(t)$ de General Motors.
* Estas son cifras aproximadas, basadas en el porcentaje del mercado que detentaba GM publicado en The New York Times, 9 de enero de 1997, p. D4.
24. Fluctuaciones de ventas
Las ventas de Deslizadores S.A. fluctúan desde un mínimo de $50$ unidades por semana cada 1 de febrero $(t = 1)$ hasta un máximo de $350$ unidades por semana casa 1 de agosto $(t = 7).$ Con una función seno represente las ventas semanales $s(t)$ de Deslizadores S.A., donde $t$ es el tiempo, en meses.
25. Marcas
La profundidad del agua en mi lugar favorito para surfear varía de 5 a 15 pies, dependiendo del tiempo. El último domingo la marea alta fue a las 5:00 am. y la siguiente marea alta fue a las 6:30 pm. Con una función seno representa la profundidad del agua en función del tiempo $t,$ en horas a partir de la medianoche del sábado.
26. Marcas
Repita el ejercicio 25 con los datos de profundidad del agua de mi segundo sitio favorito para surfear, en el que el domingo pasado la marea varió de un mínimo de 6 pies a las 4:00 am. hasta un máximo de 10 pies a mediodía.
27. Inflación
El costo de una pala para nieve, sin inflación, varía en la actualidad desde un máximo de $10$ el 1 de enero $(t = 0)$ hasta un mínimo de $5$ el 1 de junio $(t = 0.5).$
(a) Supon que esta tendencia continuará en forma indefinida, calcula el consto $u(t)$ sin inflación, de palas de nieve, en función de tiempo $t$ en años. Usa una función seno.
(b) Supon que una tasa de inflación anual de 4% en el costo de las palas para nieve, el costo de una de ellas, dentro de $t$ años y ajustado por inflación , será $1.04^t.$ Calcula el costo $c(t)$ de las palas para nieve en función de tiempo $t.$
28. Deflación
Las ventas del Chateau Petit Mont Blanc cosecha 1997, varían desde un máximo de 10 botellas diarias el 1 de abril $(t = 0.25)$ hasta un mínimo de 4 botellas diarias, el 1 de octubre.
(a) Supon que esta tendencia continuará por tiempo indefinido, calcula las ventas $u(t)$ del vino Chateau Petit Mont Blanc sin deflación en función del tiempo $t$ en años. Usa una función seno.
(b) Por desgracia, desde que se descubrió mi proceso de fabricación de vino, las ventas de Chateau Petit Mont Blanc han disminuido a una tasa anual de 12%. Usa el ejercicio anterior como guia y escribe el modelo de las ventas con inflación $s(t)$ del vino dentro de $t$ años.
29. Venta de computadoras (Basándose al ejercicio 21, pero sin calculadora grafica)
Las ventas de computadoras por parte de Computer City en 1995 y 1996 se puede aproximar con la función
$s(t) = 0.106sen(1.39t + 1.61) + 0.455 (1 ≤ t ≤ 8)$
en la que t representa el tiempo en trimestres ($t = 1$ es el final del primer trimestre de 1995) y $s(t)$ es las ventas de conputadoras (ingreso trimestral) en billones de dólares.† Calcula la amplitud, el desplazamiento vertical, el desplazamiento de fase, la frecuencia angular y el periodo, e interpreta los resultados.
30. Venta de computadoras
Repita el ejercicio 29 con el modelo siguiente de las ventas trimestrales de CompUSA: †
$s(t) = 0.0778sen(1.52t + 1.06) + 0.591$
† Fuente: Vea el ejercicio 21.
Ejercicios de comunicación y razonamiento
31. Si las ventas de un producto fluctúan de manera temporal con un período de un año, ¿qué unidades de tiempo le daría una función simple?
32. ¿Cuándo son los máximos y mínimos estacioneles de las ventas de un artículo modeladas por una función de la forma $s(t) = Asen(2πt) + B$ ? (en donde $A$ y $B$ son constantes)
33. Uno de tus amigos ha hecho el siguiente modelo de inventario de artículos Tupperware: $r(t) = 4sen(2π(t−2)/3) + 2.3,$ en donde $t$ es el tiempo en semanas y $r(t)$ es el número de artículos. Comenta en este modelo.
 | Respuestas de ejercicios de números impares |
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Última actualización: Mayo, 2013
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