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Sección 2: Las seis funciones trigonométricas
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En el mismo conjunto de ejes, gráfica las funciones dadas o pares de funciones dadas:
(a) Primero trace la curva a mano sin calculadora consultando la descripción del ejemplo 1
(b) Usa graficadora o computadora para comprobar tus esquemas.
| 1. $f(t) = cos(t); g(t) = −2.5cos(t)$ | 2. $f(t) = cos(t); g(t) = 3.1cos(t)$ |
| 3. $f(t) = tan(t); g(t) = −4tan(t)$ | 4. $f(t) = cotan(t); g(t) = −2cotan(t)$ |
| 5. $f(t) = sec(t); g(t) = sec(t − π/4)$ | 6. $f(t) = tan(t); g(t) = tan(t + π)$ |
| 7. $f(t) = cosec(t); g(t) = sen(2t)$ | 8. $f(t) = cosec(t); g(t) = sen(−t)$ |
| 9. $f(t) = 3 + 2cotan(πt)$ | 10. $f(t) = 2 − 2sec(πt)$ |
| 11. $f(t) = 4.2cos(2πt) + 3$ | 12. $f(t) = 3 − cos(t−4)$ |
| 13. $g(x) = 4 − 1.3cos[2.3(x−4)]$ | 14. $g(x) = 4.5cos[2π(3x−1)] + 7$ |
Modela cada una de las siguientes curvas con una función seno.
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Algunas identidades
Comenzando con la identidad $sen^2x + cos^2x = 1,$ y dividiendo luego ambos lados de la ecuación entre una función trigonométrica adecuada, obten las identidades trigonométricas de los siguientes ejercicios.| 21. $sec^2x = 1 + tan^2x$ | 22. $cosec^2x = 1 + cotan^2x$ |
Los siguientes ejercicios se basan en las fórmulas de suma:
Aplicaciones
31.† Fluctuaciones de ventas† Vea el ejercicio 23 en la sección 1.
32.* Fluctuaciones de ventas* Vea el ejercicio 24 en la sección 1.
Música Los sonidos musicales tienen el mismo tipo de comportamiento periódico que las funciones trigonométricas. Las notas agudas tiene periodos cortos (menores que $1/1000$ por segundo) mientras que las notas más grasves audibles, tienen periodos aproximados de $1/100$ de segundos. Algunos sintetizadores electrónicos funcionan superponiendo (es decir, sumando) funciones senoidales de distintas frecuencias para formar distintos timbres. Los siguientes ejercicios, presentan algunos ejemplos de cómo se puede usar la superposición para crear funciones periódicas interesantes. 33. Onda en diente de sierra
34. Onda cuadrada
Repita el ejercicio 33 con funciones seno, en lugar de funciones coseno, para aproximar una onda cuadrada.
35. Armonía
Si se suman dos funciones senoidales cuyas frecuencias sean relaciones con valores exactos de cada una, el resultado es un sonido agradable. La siguiente función representa dos notas en octava separadas con su quinta intermedia:
36. Disonancia
Si se suman dos funciones senoidales con frecuencia parecida, pero distintas, el resultado es una función que "pulsa", o muestra "pulsaciones". (Los afinadores de piano y los guitarristas usan este fenómeno para afinar el instrumento). Grafique la función
Ejercicios de comunicación y razonamiento
37. Tu amigo te dice que las seis funciones trigonométricas se pueden obtener a partir de la función individual $sen x.$ ¿Tiene razón? Justifica tu respuesta.38. Otro amigo te dice que las seis funciones trigonométricas se pueden obtener a partir de la función individual $cos x.$ ¿Tiene razón? Explica por qué.
39. Las ventas mensual de refrescos en un cine se expresa como $s(t) = A + Bcos(ωt),$ ¿Cuál es el valor máximo que puede tener $B$? Justifica tu respuesta.
40. Llena los espacios vacíos. Si el costo de un artículo se expresa $cos c(t) = A + Bcos(ω(t−α)),$ entoces ese costo fluctúa ____ durante un periodo de ____ respecto a una base de ____, y alcanza su punto máximo en un tiempo $t =$ ____.
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