Repaso de Álgebra Interactivo

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(Se puede encontrar esta tema en Sección 0.1 del libros Applied Calculus y Finite Mathematics).

0.1 Números reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son
2 = . . .     π = . . .     e = . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estrá a la derecha del punto que corresponde a a.

Intervalos

Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados intervalos, se encunetra frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta para representarlos.

Notación de intervalo

La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos.

IntervaloDescripciónDibujoEjemplo
Cerrado [a, b] Conjunto de números x tales que
axb

(incluye puntos extremos)
[0, 10]
Abierto (a, b)Conjunto de números x tales que
a < x < b

(excluye puntos extremos)
(-1, 5)
Semiabierto (a, b] Conjunto de números x tales que
a < x ≤ b
(-3, 1]
[a, b) Conjunto de números x tales que
a ≤ x < b
[-4, -1)
Infinito [a, +∞) Conjunto de números x tales que
a ≤ x
[0, +∞)
(a, +∞) Conjunto de números x tales que
a < x
(-3, +∞)
(-∞, b] Conjunto de números x tales que
xb
(-∞, 0]
(-∞, b) Conjunto de números x tales que
x < b
(-∞, 8)
(-∞, +∞) Conjunto de todos números reales (-∞, +∞)

Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos. Intervalos abiertos no tienen pntos extremos, y cada intervalo semiabierto tiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo.

Operaciones

Las cinco operaciones más comunes del conjunto de números reales son:
  • adición
  • sustracción
  • multiplicación
  • división
  • exponenciación
"Exponenciación" quiere decir elevar un número a una potencia; por ejemplo, 23 = 2.2.2 = 8.

Cuando escribimos una expresión conteniendo dos o más que dos de estas operacinoes, por ejemplo

estamos de acuerdo en usar las siguientes reglas para decidir el orden en que hacemos los operacionces:

El orden estándar de operaciones

1. Paréntesis y rayas de quebrado
Se calcula primero los valores de todas las expresiones entre paréntesis o corchetes (usando el orden estándar de operaciones) avancando de los paréntesis interiores hacía los exteriores, antes de usarlos en otras operaciones. En una fracción se calcula por seperado el numerador y el denominador antes de hacer la división.

2. Exponentes
A continuación, se eleva todos los números a las potencias indicadas.

3. Multiplicación y división
Después, se hace todas las multiplicaciones y divisiones, avancando de izquierda a derecha.

4. Suma y resta
Por último, se hace las sumas y restas de izquierda a derecha.

 
Notas sobre tecnología

P1 Una válido primer paso en la calculación de   (23 - 4) .5   es
  A   (6 - 4) .5   B   (8 - 4) .5   C   23 - 20 AYUDA

P2 Por tanto, la calculación completo es   (23 - 4) .5 =
  A   20   B   -12   C   36   D   42 AYUDA

P3 La cantidad   2/32-5 es
no es
igual a
2

32 - 5
AYUDA
P4 La cantidad   3*2/3+1 es
no es
igual a (3*(2/3))+1 .
AYUDA

P5 La cantidad
4(1 - 4)2

-9(5 - 3)2
is igual a    
P6 La cantidad
2
3

4 - 5
2
is igual a    
P7 Si x = 2, entonces
2*(1+0.1)^2*x 
is igual a    
P8 Si x = 2, entonces
(2-6/4-2)^x 
is igual a    

Captura de Formulas

Toda buena calculadora o hoja de cálculo respeta el orden estándar de las operaciones. Sin embargo debemos tener cuidado con división y multiplicación y tenemos frecuentemente que usar paréntesis. La siguiente tabla mustra algunos ejemplos de expresiones matemáticas sencillas y sus formas equivalentes en el formato que se usa en el mayor parte de calculadoras gráficadoras, lenguajes de computadora, y hojas de cálcula. Incluya también algunas que tienen que hacer usted.

Expresión matemática Formula para tecnología Comentarios
2

3 - 5
2/(3-5) Nótese el uso de paréntesis en lugar de la raya de quebrado. Si lo omitimos, obtenemos la expresión siguiente.
2

3
-   5
2 - x

3 + x
2

3
× 5
(2/3)*5 Metiendo primero la fracción entre paréntesis se segura que está calculada primero.
2

3x - 5
2x + y

1 + xy
2

3
x

y
23x - 2 2^(3*x) - 2 La virgula "^" se seule usar para indicar exponenciación. El par de paréntesis es necesario para contar a la computadora donde impieza y termina el exponente.
23-25

2-7
2^(3-2)*5/(2-7)
or
(2^(3-2)*5)/(2-7)
Nótese otra vez el uso de paréntesis para mantener unido el denominador. podríamos encerrar el numerador en paréntesis, pero es opcional (¿porqué?).
3

8
23x-4
e2x - 1

2+e2x-1

Nota sobre acuracio
Es importante recordar lo siguiente: Una calculación jamás puede darse una respuesta más exacta que los números con los que empezó. Por regla general, si tenga números para medir algo en el mundo real (tiempo, largo, populación, por ejemplo) y éstos números son exactas hasta un cierto número de digitos, entonces cualquier calculación que se hace con esos números puede ser, en el mejor caso, exacta solo a aquel número de digitos.

Por ejemplo, si alguna persona le diga que un cierto rectángulo tiene un largo de 2.2 pie y un alto de 4.3 pie, entonces puede decir que su área is (aproximadamente) 9.5 pies cuadrados. Aúnque una calculadora dirá que la respuesta es 9.46, el tercer digito es probablemente sin sentido.

Ahora preuba algunos ejercicios en Sección 0.1 del libra Applied Calculus o Finite Mathematics and Applied Calculus

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Ultima actualización: Octubre 2007
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