Repaso Interactivo de Álgebra

Si a es un número real, entonces su raíz cuadrada es el número real no negativo cuyo cuadrado es a. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, pues 4² = 16. De modo parecido, la raíz cuarta del número no negativo a es el número real no negativo cuya curta potencia es a. Por lo tanto, la raíz cuarta de 16 es 2, pues 2⁴ = 16. Se puede definir raíces sexta, octava, y así sucesivamente.

P Muy bien, ¿Y qué tal las raíces impares?
R Hay una diferencia pequeña con las raíces impares: Por ejemplo, la raíz cúbica de cualquier número a es el número único cuyo cubo es a. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 (pues 2³ = 8). Note que se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número: positivo, negativo, o cero. Por ejemplo, la raíz cúbica de -8 es -2, pues (-2)³ = -8. Al contrario de las raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. En realidad, la raíz cúbica de a tiene siempre el mismo signo que a. Las otras raíces impares son definidas en la manera parecida.

Notación Se use notación "radical" para escribir raíces, como sigue:

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Las siguientes son algunas reglas de radicales:

P1	es igual a

4		2 +		3		2
+

2		2		4		6
-6

P3

3 -1 8

es igual a

1 2		- 1 2		- 1 24		-
-

P4

20 27

es igual a

2 10 9 3		10 2 9 3		2 10 3 3		4 10 9 3
2 5 3 3

Notación exponencial

En vez de trabajar todo el tiempo con expresiones radicales, es a veces útil convertir expresiones racionales en expresiones exponenciales, como sigue. (A lo largo, tome a a ser positiva si es par el denominador de su exponente.)

Exponentes racionales Se puede usar exponentes racionales para expresiones radicales como sigue: Notación radical     Notación exponencial     Ejemplo a1/2   (o   a0.5) 641/2 = 8 a1/3 641/3 = 4 a1/n 321/5 = 2 Por lo general, tenemos la regla siguiente: = am/n           Por ejemplo,   323/5 = (321/5)3 = 23 = 8   o m

P ¿Qué nos permite usar exponentes racionales en vez de radicales?
A Si deseamos que tengan sentido expresiones como, por ejemplo, 9^1/2, y si deseamos que continúen sirviendo las reglas de exponentes, estamos forzados definirlo como la raíz cuadrada de 9. Se puede encontrar una explicación más completa en los libros de texto Applied Calculus y Finite Mathematics and Applied Calculus.

P ¿Se aplican las reglas de exponentes como de costumbre aún cuando los exponentes son racionales?
R Sí. Aquí está un resumen de estas reglas --- las mismas que vimos en el tutorial anterior --- pero esta vez los exponentes p y q pueden ser números racionales:

Identidades del exponentes Regla Ejemplo (a) a^p a^q = a^{p+q} 85/38-1/3  =   84/3   =   (81/3)4   = 24  =   16 (b) ap aq = ap-q   if a ≠ 0     93/2 92 = 9-1/2 =   1/91/2  =  1/3 (c) (a^p)^q = a^{pq} (162)1/4 = 161/2   =   4 (d) (ab)^p = a^pb^p (4.2)1/2 = 41/221/2   =   2>2 (e) a b p     = ap bp 16 9 1/2     = 161/2 91/2 = 4 3

Forma racional y forma exponencial con radicales Generalizando las ideas del tutorial anterior, diremos que una expresión de la forma racional es una expresión escrita como una razón: axm/n bxp/q o \frac{a\sqrt[n]{x^m}}{b\sqrt[q]{x^p}} donde todos los exponentes son no negativos. Ejemplos: Expresiones en forma racional: 2.1x2 2x1/4 ,   4 7x3/4 ,   \frac{1}{2\sqrt{x}} ,   \frac{2\sqrt[3]{x}}{3x} ,   \frac{3x^2}{\sqrt{x}} pero \frac{3x^2}{\sqrt{x^{-2}}} no está en forma racional pues el exponente de x es negativo. Una expresión de la forma exponencial es una expresión escrita como axr donde r es cualquier exponente (posiblemente negativo, cero o no entero). Ejemplos: Expresiones en forma exponencial: 4.1x-3/2 ,   2 3 x1/2 ,   2 5.1 x-4/3 ,   22 7 pero 4 7x-1/2 no está en forma exponencial a causa de la x en el denominador. Convirtiendo entre forma racional y forma exponencial usando identidades del exponentes: Forma racional Forma exponencial \sqrt{x} x^{1/2} \sqrt[3]{x^2} x^{2/3} \frac{2\sqrt{x}}{3} \frac{2}{3}x^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x}} x^{-1/2} \frac{2}{3.5\sqrt{x}} \frac{2}{3.5}x^{-1/2} \frac{2.1}{\sqrt[3]{x^2}} 2.1x^{-2/3} \frac{4}{5\sqrt[3]{x}} \frac{4}{5}x^{-1/3} \frac{4}{5\sqrt[3]{x^2}} \frac{4}{5}x^{-2/3} 2.3\sqrt{x} \frac{2.3}{\sqrt{x}} \frac{2\sqrt[5]{x^2}}{3} 3.2x-1/2 -4 3 x-3/2

Simplifique cada uno de los siguientes, de modo que los resultados no tengan exponentes negativos.

P1	x1/3 x4/3	=
P2	(x2)5/3 x1/3	=
P3	x-1/2y-3/2 x3/2y3/2	=
P4	2y-1/2 x1/2y-5/2 -2	=

Debe ahora probar los ejercicios en Sección 0.2 del libro Applied Calculus o Finite Mathematics and Applied Calculus.