3.5 La derivada: Enfoques numérico y gráfico

Este tutorial: Parte A: Enfoque numérico
Proximo tutorial: Parte B: Enfoque gráfico
Siguiente tutorial: Parte C: La función derivada

(Se puede encontrar este tema en Sección 3.5 del libro Applied Calculus o Sección 10.5 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

 
Calculación de la razón instantánea de cambio de una función

En este tutorial, seguimos la tema de la razón promedio de cambio discutida en el tutorial anterior, pero esta vez consideramos especificamente la razón de cambio durante intervalos extremadamente cortos.

Usted está ubicado en Indonesia, y está siguiendo detenidamente el valor del dólar estadounidense en el mercado de divisas durante un periodo bastante activo de cinco días. Encuentra que el valor del dólar se puede aproximar estrechamente por la función

donde t es tiempo en días. (t = 0 representa el valor del dólar a mediodía el lunes.)

Déjenos empezar considerar la razón promedio de cambio del valor del dólar durante varios intervalos. (Para saber más de razones promedios de cambio, vaya al tutorial anterior.)

P ¿Cuál fue el valor del dólar al mediodía el martes?

P ¿Según la gráfica, cuando estuvo crecimiento más rápido el valor del dólar?

Q Déjenos regresar a la formula para el valor del dólar:

Ahora calcule la razón de cambio de R durante los intervalos [1, 1+h] donde h = 1,   0.1,   0.01,   0.001, y 0.0001 (vea el ultimo ejemplo del tutorial anterior). Observe que hay varias maneras de hacerlo:

R(t) =
a =     b =
Razón promedio de cambio:
   

Ahora rellene la siguiente tabla:

h disminuyéndose;     intervalo [1, 1+h] disminuyéndose →
h10.10.010.0010.0001
Razón promedia de cambio sobre [1, 1+h]
       

P ¿A medida que el ancho h del intervalo disminuye a 0, las razones de promedio se están acercando a exactamente rupias por día.  

La respuesta sugiere que, como medido durante un intervalo muy pequeño alrededor de mediodía el martes (t = 1), el valor del dólar estaba subiendo con una razón de 300 rupias por día.

En otras palabras, el dólar estaba subiendo a una razón instantánea de 300 rupias por día el martes al mediodía. Y de eso es que se ocupa mucho el cálculo; de estudiar la razón instantánea de cambio de una función.

El proceso de dejar que disminuye más y más h se llama tomando el límite a medida que h se acerca a 0. Vea los tutoriales sobre límites para aprender más de límites. Tomando el límite de las razones promedio de cambio nos da la razón instantánea de cambio.

Razón instantánea de cambio de f(x) a x = a: La derivada

La razón instantánea de cambio de f(x) a x = a se define como el límite de las razones promedio de cambio de f sobre los intervalos [a, a+h], a medida que h se acerca a 0. Escribimos:

    Razón instantánea de cambio = lim
    h→0
    f(a+h) - f(a)

    h
    .
(Esta formula se lee como "el límite, a medida que h se acerca a 0 del cociente de las diferencias.".) A la razón instantánea de cambio también se llama la derivada de f a x = a, que escribimos como f'(a) (se lee "f prima de a"). Por lo tanto,

    f'(a)= lim
    h→0
    f(a+h) - f(a)

    h

Unidades: Las unidades de f' son unidades de f por unidad de x.


Ejemplo Rápido

Si f(x) = 7500 + 500x - 100x2 como antes, la calculación más arriba sugiere (correctamente) que

    f'(1)= lim
    h→0
    f(1+h) - f(1)

    h
    = 300 rupias por día

 

El costo (en dólares) para fabricar x conjuntos de pesas a su impresa, López Equipo de Deporte, está calculada por su personal como

Ahora haga una tabla mostrando los valores de la razón promedio de cambio de C durante el intervalo [100, 100+h] para h = 1, 0.1, 0.01, 0.001, y 0.0001. Use su tabla para estimar la razón instantánea de cambio que resulta de un incremento del nivel de producción desde el nivel corriente de 100 conjuntos de pesas.

Aquí otra vez está una utilidad que calcula la razón promedio de cambio sobre cualquier intervalo. Ingrese la formula tecnología de C(x) en la caja más abajo, y también los valores de los puntos extremos a = 100, y b = 100+h usando los varios valores de h.

C(x) =
a =     b =
Razón promedio de cambio:
   

P ¿És siempre necesario construir una tabla de valores de cocientes de las diferencias como más arriba cada vez queremos estimar la derivada?
R Frecuentemente podemos aproximar el valor de la derivada por uso de un solo y pequeño valor de h. En el ejemplo más arriba, el valor h = 0.0001 hubiera dado una aproximación bastante buena. Los problemas usando un valor fijado de h son (1) No obtenemos un valor exacto para la derivada; solo una aproximación de la derivada, y (2) el grado de precisión depende de la función a la que estamos diferenciando. Con muchas de las funciones que consideramos, está bastante exacto.

Calculación de una aproximación rápida de la derivada

Podemos calcular un valor aproximado de f'(a) por uso de la formula

    f'(a)
    f(a+h) - f(a)

    h

con un valor pequeño de h (el valor h = 0.0001 da bastante exactitud para muchas aplicaciones).

Formula alternativa: el "cociente balanceado de las diferencias"

La siguiente formula da un resultado más exacta con frecuencia, y además está usado en muchas calculadores (la función nDeriv en la TI-83 lo hace; por defecto usa h = 0.001, pero puede ser cambiado a través de un ajuste opcional).

    f'(a)
    f(a+h) - f(a-h)

    2h


Ejemplo

Sea f(x) = x2 - x-0.4. Use el cociente balanceado de las diferencias con h = 0.0001 para estimar f'(5). ¡Debe redondear la respuesta hasta al menos cuatro posiciones decimal!

    f'(5)

 

El siguiente ejemplo es similar a Ejemplo 3 en Sección 3.5 del libro Applied Calculus.

Si lanzo una bola hacia arriba a una velicidad de 80 pies/segundo, la altura después de t segundas será

¿Qué velocidad tendrá la bola a los 2 segundos de haber sido lanzada (t = 2)?

Puede probar algunos ejercicios en Sección 3.5 en el libro Applied Calculus (o Sección 10.5 en Finite Mathematics and Applied Calculus), pero necesitará la material de la siguiente tutorial para contestar preguntas sobre gráficas.

O bien, vaya a la versión juego de este tutorial (¡tiene ejemplos distintos a probar y es muy divertida!)

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Ultima actualización: septiembre 2007
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