3.5 La derivada: Enfoques numérico y gráfico

Este tutorial: Parte A: Enfoque numérico

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Siguiente tutorial: Parte C: La función derivada

(Se puede encontrar este tema en Sección 3.5 del libro Applied Calculus o Sección 10.5 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

 
Calculación de la razón instantánea de cambio de una función

En este tutorial, seguimos la tema de la razón promedio de cambio discutida en el tutorial anterior, pero esta vez consideramos especificamente la razón de cambio durante intervalos extremadamente cortos.

Usted está ubicado en Indonesia, y está siguiendo detenidamente el valor del dólar estadounidense en el mercado de divisas durante un periodo bastante activo de cinco días. Encuentra que el valor del dólar se puede aproximar estrechamente por la función

    La rupia es la moneda de Indonesia

donde t es tiempo en días. (t = 0 representa el valor del dólar a mediodía el lunes.)

P ¿Cuál fue el valor del dólar al mediodía el ?

P ¿Según la gráfica, cuando estuvo más rápido el valor del dólar?

	Empezando el lunes al mediodía			Empezando el martes al mediodía
	Empezando el miercoles al mediodía			Empezando el jueves al mediodía

Bueno. Empezamos por considerar la razón promedio de cambio del valor del dolar durnate varios intervalos. (Si estes poco seguro con razones promedio de cambio, debe seguir primero el tutorial anterior.)

P Recuerde que el valor del dolar se representa por

Ahora calcule la razón de cambio de R durante los intervalos [1, 1+h] donde h= 1,\ 0.1,\ 0.01,\ 0.001, \ 0.0001 (eso es lo que hicimos en el último ejemplo del tutorial anterior). Observe que hay varias maneras de hacerlo:

• Siga el método descrito en el tutorial anterior.
• Siga uno de los métodos mostrados en el libro te texto (Sección 3.5 de Applied Calculus o Sección 10.5 de Finite Mathematics and Applied Calculus): Usando una calculadora graficadora, meta Y₁ = . Entonces, si, por ejemplo, h = 0.01, puede calcular la razón promedio de cambio con la formula

  (Y₁(1.01)-Y₁(1))/0.01

• Use la siguiente utilidad que calcula la razón promedio de cambio para cualquier función de x o t durante cualquier intervalo. Ingrese la formula tecnología de R(t) en la caja más abajo, y también los valores de los puntos extremos a = 1, y b = 1 + h usando los varios valores de h.

R(t) = a =     b =

Razón promedio de cambio:

   

Ahora rellene la siguiente tabla:

h disminuyéndose;     intervalo [1,1+h] disminuyéndose →

h  1 0.1 0.01 0.001 0.0001 Raz. promedia de cambio sobre [1,1+h]

       

P ¿A medida que el ancho h del intervalo disminuye a 0, las razones de promedio se están acercando a exactamente rupias por día.    

Llamamos a esta cantidad la razón instantánea de cambio de R(t) a t = 1 a diferencia de la razón promedio de cambio. Puede pensar de la razón instantánea de cambio a t = 1 como la razón promedio de cambio sobre un intervalo extremadamente pequeño [1, 1+h]. (podemos hacer más precisa esta definición por uso de la lengua de límites—vea más abajo). Y de eso es que se ocupa mucho el cálculo; de estudiar la razón instantánea de cambio de una función.

En términos del valor del dolar, esto sugiere que, a exactemente mediodía el martes (t=1) (como medido sobre un intervalo muy pequeño a eso de aquel tiempo) el dolar era Elija una subiendo cayendo a una razón instantánea de rupias por día.

El proceso de dejar que disminuye más y más h e llama tomando el límite a medida que h approaches 0. se acerca a 0. Vea los tutoriales sobre límites para aprender más de límites. Tomando el límite de las razones promedio de cambio nos da la razón instantánea de cambio.

Razón instantánea de cambio de f(x) a x = a: La derivada La razón instantánea de cambio de f(x) a x = a se define como el límite de las razones promedio de cambio de f sobre los intervalos [a, a+h], a medida que h se acerca a 0. Escribimos: Razón instantánea de cambio = \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} (Esta formula se lee como "el límite, a medida que h se acerca a 0 del cociente de las diferencias.".) A la razón instantánea de cambio también se llama la derivada de f a x = a, que escribimos como f'(a) (se lee "f prima de a"). Por lo tanto, f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} Unidades: Las unidades de f' son unidades de f por unidad de x. Ejemplo Rápido Si la calculación más arriba sugiere (correctamente) que \displaystyle f'(1) = \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h) - f(1)}{h} =   rupias por día.

El costo (en dólares) para fabricar x conjuntos de pesas a su impresa, López Equipo de Deporte, está calculada por su personal como

Las razones promedio y instantánea de cambio de C están medidas en

Elija una conjuntos de pesas por día dólares por dia conjuntos de pesas por $1 aumento de precio conjuntos de pesas por dólar dólares por conjunto de pesas conjuntos de pesas dólares

Ahora haga una tabla mostrando los valores de la razón promedio de cambio de C durante el intervalo [100, 100+h] para h = 1, 0.1, 0.01, 0.001, y 0.0001. Use su tabla para estimar la razón instantánea de cambio que resulta de un incremento del nivel de producción desde el nivel corriente de 100 conjuntos de pesas.

Aquí otra vez está una utilidad que calcula la razón promedio de cambio sobre cualquier intervalo. Ingrese la formula tecnología de C(x) en la caja más abajo, y también los valores de los puntos extremos a = 100, y b = 100 + h usando los varios valores de h.

C(x) = a =     b =

Razón promedio de cambio:

   

Por lo tanto, estimamos que C'(100) =

P ¿És siempre necesario construir una tabla de valores de cocientes de las diferencias como más arriba cada vez queremos estimar la derivada?
R Frecuentemente podemos aproximar el valor de la derivada por uso de un solo y pequeño valor de h. En el ejemplo más arriba, el valor h = 0.0001 hubiera dado una aproximación bastante buena. Los problemas usando un valor fijado de h son (1) No obtenemos un valor exacto para la derivada; solo una aproximación de la derivada, y (2) el grado de precisión depende de la función a la que estamos diferenciando. Con muchas de las funciones que consideramos, está bastante exacto.

Calculación de una aproximación rápida de la derivada Podemos calcular un valor aproximado de f'(a) por uso de la formula \displaystyle f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a)}{h}     Razón promedio de cambio de fsobre [a, a+h] con un valor pequeño de h (el valor h = 0.0001 da bastante exactitud para muchas aplicaciones). Formula alternativa: el "cociente balanceado de las diferencias" p>La siguiente formula (también una razón promedio sobre un intervalo pequeño) da un resultado más exacta con frecuencia, y además está usado en muchas calculadores (la función nDeriv en la TI-83 lo hace; por defecto usa h = 0.001, pero puede ser cambiado a través de un ajuste opcional). \displaystyle f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}     Razón promedio de cambio de fsobre [a-h, a+h] Ejemplo Sea , y use el cociente balanceado de las diferencias con h = 0.0001 para estimar   ¡La respuesta debe ser acurada hasta al menos 4 posiciones decimal!  ≈    Si necesita ayuda con este concurso, abra la tutorial regular dentro de una ventana nueva y pulse "Vistazo" para ver las calculaciones para un ejemplo similar.

 

El siguiente ejemplo es similar a Ejemplo 3 en Sección 3.5 del libro Applied Calculus.

Si lanzo una bola hacia arriba desde un torre de altura pies a una velicidad de pies/seg, su altura t segundos después será

feet

¿Qué velocidad tendrá la bola a los segundos de haber sido lanzada (t = )?

	Más barata que 'Ayuda'			¡Se costará!

Puede probar algunos ejercicios en Sección 3.5 en el libro Applied Calculus (o Sección 10.5 en Finite Mathematics and Applied Calculus), pero necesitará la material de la siguiente tutorial para contestar preguntas sobre gráficas.

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Ultima actualización: mayo 2008 Derechos de autor © 2008 Stefan Waner