3.5 La derivada: Enfoques numérico y gráfico

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(Se puede encontrar esta tema en Sección 3.5 del libro Applied Calculus o Sección 10.5 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

 
Las rectas secante y tangente

En el tutorial sobre la razón promedio de cambio vimos que la razón promedio de cambio de f nos da la pendiente de la recta secante que pasa por dos puntos en su gráfica:

msec = Pendiente de la recta secante por P y Q=
f(a+h) - f(a)

h

A medida que h se acerca a cero, vimos en el tutorial anterior que esta cantidad se acerca a la razón instantánea a x = a, a la que llamamos f(a). Vamos a ver que sucede en la gráfica a medida que h se acerca a cero: La cantidad a+h (en el eje x) se acerca más y más a a, y entonces el punto Q se acerca más y más a P. Pulse el botón "Disminuye h" bajo el diagrama más abajo para ver este proceso en acción.


   

¿Vio; que sucede con la recta secante? Se aproxima más y más la recta tangente y, en el limite a medida que h se acerca a 0, se convierte en la recta tangente.

Deducimos la siguiente conclusión, a lo mejor la más importante en todo el cálculo:

La pendiente de la recta tangente en el punto en la curva de f donde x = a de determina por f'(a) (la derivada de f a x = a).

O, más sencillamente,

La derivada a x = a es la pendiente de la tangente a x = a

Más abajo está un resumen de estos conceptos:
 

Pendiente de la recta secante y pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta secante por (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)) es igual a la razón promedio de cambio de f sobre el intervalo [a, a+h], o el cociente de las diferencias:
    msec =
f(a+h) - f(a)

h
Cociente de las diferencias

La pendiente de la recta tangente por (a, f(a)) es igual a la razón instantáneo de cambio de f al punto a, o la derivada:
mtan=f'(x)=lim
h→0
f(a+h) - f(a)

h

El siguiente ejercicio es similar al Ejemplo 2 en Sección 3.5 de Applied Calculus.

Sea f(x) = 3x2 + 4x. Use un cociente de las diferencias (formula mostrada en la caja más arriba) con h = 0.0001 para estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto donde x = 2.

Si usamos el cociente balanceado de las diferencias con h = 0.0001 obtenemos la siguiente aproximación más exacta:

Muy bien. Ahora use la pendiente más exacta para hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de la gráfica donde x = 2. [Indirecta: Ya tiene la pendiente -- entonces use la formula punto-pendiente.] (Nota: Debe ingresar una formula algebraica.)

Hay una otra manera para visualizar gráficamente la pendiente de la recta tangente como sigue: Empiece con la gráfica y acerque más y más en el punto de interés hasta que la curva parece una recta. Esta recta es la recta tangente, y su pendiente es la derivada a ese punto.

Aquí es una ilustración para acercarnos en el punto de una gráfica donde x = 0.75:


       

Observa como aparece "allanar" la curva cuando nos acercamos; en la vista de cerca (también mostrada más abajo) aparece casi recta.

Nota Nos hemos acercado a un punto particular en la gráfica; es decir, hemos mantenido ese punto en el centro de la ventana de visión a medida que nos acercábamos. Acercándose en un otro punto lleva a la derivadas a ese punto.

Uso de tecnología para acercarse en una curva a un punto particular (a, f(a))

Aquí, tiene la coordenada x (x = a) de un punto de la gráfica, y está pedido estimar la pendiente de la gráfica a aquel punto.

1. Dibuje la gráfica usando una ventana que muestra el punto en cuestión.

2. Establezca

    Punto extremo izquierdo = xMin = a - 0.001
    Punto extremo derecho = xMax = a + 0.0001

3. Si tiene una característica "zoomfit" su calculadora graficadora ("ZOOM → "Zoomfit" en la TI-83/84) use eso para dibujar la gráfica con los valores dados de xMin y xMax.
Si está usando la Evaluador y graficador de funciones o la Graficador Excel Llene los puntos extremos izquierdo y derecho como más arriba, deje en blanco yMin y yMax, y pulse "Dibuja". Si no, use su calculadora para calcular f(a - 0.0001), f(a), y f(a+0.0001) y use el máximo de estos valores como yMax y el mínimo como yMin. No es necesario usar todos los dígitos; use solo bastante para distinguir entre los dos números y para estar seguro que ambos puntos extremos de la gráfica son visible en la pantalla (es decir, redondee el valor por arriba para yMax y por abajo para yMin). Por ejemplo, si

    f(a - 0.0001) = 0.356 375 432,
    f(a) = 0.354 374 801,
    f(a + 0.0001) = 0.354 374 734, entonces puede usar

    yMin = 0.354, y
    yMax = 0.357,

4. Si no parece completamente recta la gráfica, repite los Pasos 2 y 3 usando valores más y más pequeño de h hasta que paresca completamente recta. Pues ahora es indistinguible la curva de una recta, su pendiente aproxima bien la pendiente de la recta tangente. Observe que la pendiente de esta recta se expresa por el cociente balanceado con el punto de interés (x = a) a su centro:

    f'(a) ≈ m =
    f(a + h) - f(a - h)

    2h
    =
    f(a + 0.0001) - f(a - 0.0001)

    0.0002

Puede probar los ejercicios en Sección 3.5 en el libro Applied Calculus (o Sección 10.5 en Finite Mathematics and Applied Calculus), pero necesitará el material de la siguiente tutorial para contestar algunas preguntas sobre la función derivada y su gráfica.

O bien, vaya a la versión juego de este tutorial (¡tiene ejemplos distintos a probar y es muy divertida!)

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Ultima actualización: septiembre 2007
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