3.7 Derivadas de potencias, sumas, y múltiplos constantes

(Se puede encontrar esta tema en Sección 3.7 del libro Applied Calculus o Sección 10.7 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

P Calcular la derivada de una función es un proceso bastante lento. ¿Hay un método más sencillo?
R Para práctimamente todas las funciones que ya hemos visto, la respuesta corta es "sí." En este tutorial encontramos atajos que nos dejarán escribir las derivadas de potencias de x (incluyendo potencias fraccionales y negativas) además de sumas y múltiplos constantes de potencias de x, como polinomios. Empezamos con la regla que da la derivada de una potencia de x:

Regla de potencias

Si f(x) = xn, donde n es cualquier constante, entonces f'(x) = nxn-1. En otras palabras, la derivada de xn es nxn-1.

Ejemplos rápidos

La siguiente tabla muestra varios ejemplos de derivadas de potencias de x:

f(x)
1
x
x2
x3
xn
f'(x)
0 
1 
2x 
3x2
nxn-1

Algunos para usted: Ingrese las expresiones requeridas usando formato correcto para graficadora/computadora.

P Si f(x) = x4, entonces  f'(x) =      

P Si f(x)= √x, entonces f'(x) =      

¿Quiere ver una prueba de la regla de potencias? Haga clic aquí.

Exponentes negativos

Pues aplica la regla de potencias a exponentes negativos, tenemos por ejemplo

Esta propiedad nos permite ampliar un poco la tabla más arriba:

f(x)
xn
1
x
x2
x3
1

x
1

x2
1

x3
f'(x)
nxn-1
0
1
2x
3x2
-1

x2
-2

x3
-3

x4

 

Notación Diferencial

Notación diferencial se basa en abreviar la frase "la derivada respecto a x." Por ejemplo, aprendimos más arriba que, si f(x) = x3, entonces f'(x) = 3x2. Cuando decimos "f'(x) = 3x2," indicamos lo siguiente:

La frase "respecto a x" nos indica que la variable de la función es x y no cualquier otra. Abreviamos la frase "la derivada respecto a x" por el símbolo "d/dx."
 

Derivada respecto a x

La notación
d

dx
 significa la derivada respecto a x. Pues, por ejemplo,

    d

    dx
    		 [x3] = 3x2
    		  La derivada respecto a x, de x3 es igual a 3x2
    d

    dx
    		 [1] = 0
    		  La derivada respecto a x, de 1 es igual a 0
    d

    dx
    1

    x
    		 =
    -1

    x2
    		  La derivada respecto a x, de 1/x es igual a -1/x2

 
Podemos ahora determinar las derivadas de funciones más complicadas aplicando las reglas siguientes:
 

Derivadas de sumas y múltiplos constantes
Si existen f'(x) y g'(x), y si c es una constante, entonces
(A) [f(x)   ±   g(x)]' = f'(x)   ±   g'(x)
(B) [cf(x)]' = cf'(x) .
En la notación diferencial, estas reglas son:
  (A)
d

dx
[f(x) ± g(x)] =
d

dx
[f(x)] ±
d

dx
[g(x)]
  (B)
d

dx
[cf(x)] = c
d

dx
[f(x)]

En palabras:

La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.
En otras palabras, para hallar la derivada de una suma (o diferencia), simplemente halle la derivada de cada función y sume (o reste).

La derivada de c por una función es c por la derivada de la función.
En otras palabras, para hallar la derivada de una constante por una una función, simplemente halle la derivada de la función y multiplique por la constante.

 
Ejemplo rápido

    d

    dx
    		 [3x3 + 4x - 9] = 3(3x2) + 4(1) - 0
    = 9x2 + 4

Algunos para usted

P
d

dx
[4x1.2 - 2x - 9x-1] =      


P
d

dx
4x0.2 + 9.6 -
2

x3
=      


 

Puede probar algunos ejercicios sobre esta tema aqui. O bien, prueba algunas ejercicios en Sección 3.7 en el libro Applied Calculus (o Sección 10.7 en Finite Mathematics and Applied Calculus).

O bien, vaya a la versión juego de este tutorial (¡tiene ejemplos distintos a probar y es muy divertida!)

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Ultima actualización: Octubre 2007
Derechos de autor © 2007 Stefan Waner