3.7 Derivadas de potencias, sumas, y múltiplos constantes

(Se puede encontrar esta tema en Sección 3.7 del libro Applied Calculus o Sección 10.7 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

P Calcular la derivada de una función es un proceso bastante lento. ¿Hay un método más sencillo?
R Para práctimamente todas las funciones que ya hemos visto, la respuesta corta es "sí." En este tutorial encontramos atajos que nos dejarán escribir las derivadas de potencias de x (incluyendo potencias fraccionales y negativas) además de sumas y múltiplos constantes de potencias de x, como polinomios. Empezamos con la regla que da la derivada de una potencia de x:

Regla de potencias Si f(x) = x^n, donde n es cualquier constante, entonces f'(x) = nx^{n-1}. En otras palabras, la derivada de x^n es nx^{n-1}. Ejemplos rápidos La siguiente tabla muestra varios ejemplos de derivadas de potencias de x: f(x) 1 x x2 x3 xn f'(x) 0  1  2x  3x2 nxn-1 Algunas para usted: Ingrese las expresiones requeridas usando formato correcto para graficadora/computadora. Si f(x) = , entonces f'(x) =       Si f(x) = , entonces f'(x) =       Si f(x) = , entonces f'(x) =       Si f(x) = , entonces f'(x) =       Si f(x) = , entonces f'(x) =       Si f(x) = , entonces f'(x) =       ¿Quiere ver una prueba de la regla de potencias? Haga clic aquí.

Exponentes negativos

Pues aplica la regla de potencias a exponentes negativos, tenemos por ejemplo

f(x)

=

1 x4

=

x-4

implica

f'(x)

=

-4x-5

=

-4 x5

Esta propiedad nos permite ampliar un poco la tabla más arriba:

f(x)	xn	1	x	x2	x3	1 x	1 x2	1 x3
f'(x)	nxn-1	0	1	2x	3x2	-1 x2	-2 x3	-3 x4

En los siguentes, de las respuestas en la forma racional como en la tabla más arriba; es decir, sin exponentes negativos. Por ejemplo, escriba -3x^{-4} como \frac{-3}{x^4}.

Si f(x) = , entonces f'(x) =
Si f(x) = , entonces f'(x) =
Si f(x) = , entonces f'(x) =
Si f(x) = , entonces f'(x) =
Si f(x) = , entonces f'(x) =

Notación Diferencial

Notación diferencial se basa en abreviar la frase "la derivada respecto a x." Por ejemplo, aprendimos más arriba que, si f(x) = x³, entonces f'(x) = 3x². Cuando decimos "f'(x) = 3x²," indicamos lo siguiente:

"La derivada de x³ respecto a x es igual a 3x²."

La frase "respecto a x" nos indica que la variable de la función es x y no cualquier otra. Abreviamos la frase "la derivada respecto a x" por el símbolo "d/dx."
 

Derivada respecto a x La notación d dx significa la derivada respecto a x. Pues, por ejemplo, d dx [x^3] = 3x^2   La derivada, respecto a x, de x3 es igual a 3x2 d dx [1] = 0   La derivada, respecto a x, de 1 es igual a 0 d dx 1 x = -1 x2   La derivada, respecto a x, de 1/x es igual a -1/x2

 
Podemos ahora determinar las derivadas de funciones más complicadas aplicando las reglas siguientes:
 

Derivadas de sumas, diferencias y múltiplos constantes Si existen f'(x) y g'(x), y si c es una constante, entonces (A) [f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x), (B) [cf(x)]' = cf'(x). En la notación diferencial, estas reglas son: (A) d dx [f(x) ± g(x)] = d dx [f(x)] ± d dx [g(x)] (B) d dx c[f(x)] = c. d dx [f(x)] En palabras: La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas. En otras palabras, para hallar la derivada de una suma (o diferencia), simplemente halle la derivada de cada función y sume (o reste). La derivada de c por una función es c por la derivada de la función. En otras palabras, para hallar la derivada de una constante por una una función, simplemente halle la derivada de la función y multiplique por la constante.   Ejemplos rápidos \frac{d}{dx}[1 + x^3] = 0 + 3x^2 = 3x^2   Propiedad (A) \frac{d}{dx}[x^2 - x^3 + x^5] = 2x - 3x^2 + 5x^4 Propiedad (A) se aplica para tres o más terminos \frac{d}{dx}[4x^3] = (4)3x^2 = 12x^2 Propiedad (B). Igualmente, multiplique el exponente por el coeficiente \frac{d}{dx}[12] = \frac{d}{dx}[(12)(1)] = (12)0 = 0 Porque la derivada de 1 es cero. Por tanto, la derivada de cualquier constante es igual a cero. \frac{d}{dx}\Bigleft[\frac{4}{x}\Bigright] = \frac{d}{dx}\Bigleft[(4)\frac{1}{x}\Bigright] = (4)\frac{-1}{x^2} = \frac{-4}{x^2} Propiedad (B) otra vez \frac{d}{dx}[3x^3-4x+7] = (3)3x^2 - (4)1 + (7)0 = 9x^2-4 Combinando las propiedades Algunos para usted \frac{d}{dx}[ ] =       \frac{d}{dx}[ ] =       \frac{d}{dx}[ ] =       \frac{d}{dx}[ ] =       \frac{d}{dx}\Bigleft[ \Bigright] =       \frac{d}{dx}\Bigleft[ \Bigright] =       \frac{d}{dx}\Bigleft[ \Bigright] =

Puede probar algunos ejercicios sobre esta tema aqui. O bien, prueba algunas ejercicios en Sección 3.7 en el libro Applied Calculus (o Sección 10.7 en Finite Mathematics and Applied Calculus).

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Ultima actualización: junio 2008 Derechos de autor © 2008 Stefan Waner