3.6 La derivada: Enfoque algebráico

(Se puede encontrar esta tema en Sección 3.6 del libro Applied Calculus o Sección 10.6 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

P Hasta ahora, lo que hemos estado hecho es solo aproximar la derivada de una función. ¿Hay una manera de calcularla exactamente?
R Vamos ante todo a recordar lo que aprendimos en la sección anterior: Vimos que la derivada de la función f al punto x es la derivada de la recta tangente por (x, f(x)), o la razón instantánea de cambio de f al punto x:

Función derivada

Sea f una función, su función derivada f' es la función cuya valor f'(x) a x es la derivada de f at x. Su dominio es el conjunto de toda x a las que existe la derivada f'(x). En otras palabras, f' asocia a cada x the s la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f a x, o la razón instantáneo de cambio de f a x. Por lo tanto,

    f'(x) =Pendiente de recta tangente a x=  
    lim
    h→0
    \frac{f(x+h) - f(x)}{h}


Derivative = f'(x) = Pendiente de la recta tangente a x


P ¿Muy bien, entonces cómo la calculamos exactamente?
R Seguiremos los pasos para hacerlo por medio de un ejemplo. Observe primero que la derivada es un límite de una cierta expresión,

llamada el cociente de las diferencias de la función f. La técnica de calcular f'(x) es como sigue: Calcule y simplifique el cociente de las diferencias todo lo posible. Entones será fácil a ver que sucede a medida que h se acerca a cero.

Calculación de la derivada algebraicamente

Paso 1. Calcule el cociente de las diferencias y simplifique todo lo posible.

Ejemplo Sea f(x) = Ingrese las expresiones requeridas usando formato correcto para graficadora/computadora.

Nota: Si experimenta dificuldad contestando las siguientes, debe primero probar la verión no juego de este tutorial.

    f(x)=
         
    f(x+h)=
         
    f(x+h) - f(x) =
             
    No simplifiques aún.
    f(x+h) - f(x) =
             
    Simplificado.
    f(x+h) - f(x)

    h
    =
         

Paso 2. Ahora toma el límite a medida que h → 0.

Nota: Si ha simplificado la expresión correctamente, puede con frecuencia tomar el límite por simplemente igualando h = 0. (Vea la discusión en Sección 3.6 de Applied Calculus para más detalles.)

Ejemplo continuado La derivada, f'(x), se expresa por:

    f'(x) =      

    f'(1) =      

Aquí está un otro ejemplo para probar, en que regresamos a un escenario que vimos en el tutorial para Sección 3.5 (o 10.5 del libro combinado):

Usted está ubicado en Indonesia, y está siguiendo detenidamente el valor del dólar estadounidense en el mercado de divisas durante un periodo bastante activo de cinco días. Encuentra que el valor del dólar se puede aproximar estrechamente por la función

donde t es tiempo en días. (t = 0 representa mediodía el lunes.)

Uno más; esta vez un poco diferente:
P Sea f(x) = .  Entonces f(x+h) se representa por

P \frac{f(x+h) - f(x)}{h} =

 

P Por fin, f'(x) =      

 

Puede probar algunas ejercicios en Sección 3.6 en el libro Applied Calculus (o Sección 10.6 en Finite Mathematics and Applied Calculus).

Inicio de página

Ultima actualización: junio 2008
Derechos de autor © 2008 Stefan Waner