3.1 Límites: Enfoque numérico y gráfico

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(Se puede encontrar esta tema en Sección 3.1 de Cálculo Aplicado)

Estimando límites numéricamente

Considere la función

y preguntese: "¿Qué sucede al valor de f(x) cuando x se acerca a 2?" (Observe que no puede sencillamente sustituir x por 2, porque la función no es definido a x = 2.) La siguiente tabla muestra los valores de f(x) para valores de x que se acercan a 2 desde ambos lados:

x acercándose a 2 por la izquierda     x acercándose a 2 por la derecha
x
1.9
1.99
1.999
1.9999
f(x) =
x3 - 8

x - 2
11.41
11.9401
11.9940
11.9994
2
2.0001
2.001
2.01
2.1
12.0006
12.0060
12.0601
12.61

Hemos dejado en blanco la entrada bajo 2 para subrayar que no nos interese que sucede cuando x es igual a 2 cuando buscamos el limito de f(x) cuando x se acerca a 2. Observa en la tabla que los valores de f(x) parecen acercarse a 12 a medida que x se acerca a 2 por ambos lados. Escribimos entonces:

En palabras:

P ¿:Qué sucediera si habíamos obtenido deferentes valores cuando acercando a 2 por la izquierda y la derecha?
R Suponga, por ejemplo, que la tabla pareciera como sigue:

x acercándose a 2 por la izquierda     x acercándose a 2 por la derecha
x
1.9
1.99
1.999
1.9999
g(x)
11.41
11.9401
11.9940
11.9994
2
2.0001
2.001
2.01
2.1
4.3333
4.3301
4.3024
4.1039

Observe que al límite parece 12 cuando se acerca 2 desde la izquierda, pero parece 41/3 cuando se acerca 2 desde la derecha. Entonces escribimos:

Antes de probar la primera respuesta práctica, examine el siguiente resumen de términos:

Definición de un límite

    lim
     x→a
    f(x) = L A medida que x se acerca al número a por la izquierda, f(x) se acerca al número L
    lim
     x→a
    f(x) = R       A medida que x se acerca al número a por la derecha, f(x) se acerca al número R

Si los límites por la izquierda y la derecha existen y son iguales (a L, por ejemplo) entonces decimos que limxaf(x) existe y es igual a L, y escribimos

    lim
    x→a
    f(x) = L. A medida que x se acerca al número a por ambos lados, f(x) se acerca al único número L

 

Primero, calcule el valor perdido en la siguiente tabla (sugerimos que le use el Evaluador y Gráficador de Funciones para esta tarea) y después estime un valor numérico de limx → 3f(x).

x acercándose a 3 por la izquierda     x acercándose a 3 por la derecha
x
2.9
2.99
2.999
2.9999
f(x) =
x2+x-12

x - 3
___
___
___
___
3
3.0001
3.001
3.01
3.1
___
___
___
___

Q
lim
x→3
f(x) = ?

Suponga que función g tuviera la siguiente tabla de valores:

x
-5.1
-5.01
-5.001
-5.0001
-5
-4.9999
-4.999
-4.99
-4.9
g(x)
23.2
23.1
23.001
23.0001
24
249999.9
24999.9
249.9
24.9

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Ultima actualización: agosto 2007
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