3.1 Límites: Enfoque numérico y gráfico

Estimando límites numéricamente

Considere la función

f(x)

=

x3 - 8 x - 2

y preguntese: "¿Qué sucede al valor de f(x) cuando x se acerca a 2?" (Observe que no puede sencillamente sustituir x por 2, porque la función no es definido a x = 2.) La siguiente tabla muestra los valores de f(x) para valores de x que se acercan a 2 desde ambos lados:

x acercándose a 2 por la izquierda		x acercándose a 2 por la derecha
x 1.9 1.99 1.999 1.9999 f(x) = x3 - 8 x - 2 11.41 11.9401 11.9940 11.9994	2	2.0001 2.001 2.01 2.1 12.0006 12.0060 12.0601 12.61

Hemos dejado en blanco la entrada bajo 2 para subrayar que no nos interese que sucede cuando x es igual a 2 cuando buscamos el limito de f(x) cuando x se acerca a 2. Observa en la tabla que los valores de f(x) parecen acercarse a 12 a medida que x se acerca a 2 por ambos lados. Escribimos entonces:

lim x→2

f(x) = 12

En palabras:

El límite de f(x), cuando x tiende a 2, es igual a 12.

P ¿:Qué sucediera si habíamos obtenido deferentes valores cuando acercando a 2 por la izquierda y la derecha?
R Suponga, por ejemplo, que la tabla pareciera como sigue:

x acercándose a 2 por la izquierda		x acercándose a 2 por la derecha
x 1.9 1.99 1.999 1.9999 g(x) 11.41 11.9401 11.9940 11.9994	2	2.0001 2.001 2.01 2.1 4.3333 4.3301 4.3024 4.1039

Observe que al límite parece 12 cuando se acerca 2 desde la izquierda, pero parece 4¹/3 cuando se acerca 2 desde la derecha. Entonces escribimos:

lim  x→2	g(x) = 12		El límite de g(x), cuando x tiende a 2 por la izquierda, es igual a 12.
y
lim  x→2	g(x) = 41/3		El límite de g(x), cuando x tiende a 2 por la derecha, es igual a 41/3

Antes de probar la primera respuesta práctica, examine el siguiente resumen de términos:

Primero, calcule el valor perdido en la siguiente tabla (sugerimos que le use el Evaluador y Gráficador de Funciones para esta tarea) y después estime un valor numérico de limx → 3f(x).

x acercándose a 3 por la izquierda		x acercándose a 3 por la derecha
x 2.9 2.99 2.999 2.9999 f(x) = x2+x-12 x - 3 ___ ___ ___ ___	3	3.0001 3.001 3.01 3.1 ___ ___ ___ ___

Q

lim x→3

f(x) = ?

	7.0			5.0			-3.0
	No existe el límite; los números a la izquierda son grandes y positivos, mientras que los números a la derecha son grandes y negativos

Suponga que función g tuviera la siguiente tabla de valores: