4.1 Las Reglas del Producto y del Cociente

(Se puede encontrar esta tema en Sección 4.1 del libro Applied Calculus o Sección 11.1 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

Empezamos con un concursito para actividad inicial. (Vaya al tutorial sobre derivadas de potencias para repasar derivadas de potencias de x.)

P La declaración
d

dx
  
x2

x5
   =
2x

5x4
 es:

El ejemplo más arriba sugiere que:

P ¿Entonces como se trata productos y cocientes? ¿Tenemos que siempre evitarlos a través de convertirlas en otras formas?
R No. Por suerte tenemos dos reglas oportunas para calcular sus derivadas:

Reglas del producto y del cociente

Regla del producto

    d

    dx
    		 [f(x)g(x)] = f'(x) g(x) + f(x)g'(x)

Regla del producto en palabras:

La derivada de un producto es la derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo.

Regla del cociente

    d

    dx
    		  
    f(x)

    g(x)
    		   =
    f'(x) g(x) - f(x)g'(x)

    g(x)2

Regla del cociente en palabras:

La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido entre el denominador al cuadrado.

 
P ¿De done vienen estas reglas?
R Puede encontrar una demostración de la regla del producto en Sección 4.1 de Applied Calculus, o Sección 11.1 de Finite Mathematics and Applied Calculus. Pulse aquí para una demostración de la regla de cociente.

Uso de la regla del producto

(Se puede encontrar ejemplos parecidos a los siguientes en Sección 4.1 de Applied Calculus, o Sección 11.1 de Finite Mathematics and Applied Calculus. )

Vamos a calcular la derivada de

Antes de empezar, observe primero que f(x) es un producto de dos factores:

Por tanto, la regla del producto se aplica. Antes de usar la regla, escribimos la función en la forma de exponente:

Ahora podemos aplicar la regla del producto. La regla dice que:

Por tanto,

Es frecuentemente útil simplificar la respuesta; se debe usar su buen juicio en cada situación para decidir cuanto de simplificar. Más abajo están algunos ejemplos para practicar. (No es necesario simplificar las respuestas.)

Nota Ingrese las expresiones requeridas usando formato correcto para graficadora/computadora. (Espacios son ignorados.)

P
d

dx
 (x2 - x)(5 + x-0.5)
=
   
P
d

dx
   x2 -
1

x2
   (5 + x-0.5)
=
   

Uso de la regla del cociente

Vamos a calcular la derivada de

Observamos primero que f(x) es un cociente (Una expresión dividida entre otra) y entonces tenemos que usar la regla del cociente:

Ésta es la respuesta, aunque es útil a veces simplificar el numerador; por ejemplo, en el concurso más abajo tendrá que manipular la respuesta para elegir la respuesta correcta.

P La derivada de f(x) =
x2 + 3x + 2

x-1
 es

P Todo está bien si tenemos nada más que un producto o cociente obvio. Sin embargo, a todos los profesores les gustan expresiones enojandas que aparecen entre los dos, como

¿Cual regla usamos para eso ??

R Para tratar expresiones como ésas -- o cualquier expresión matemática en absoluto, usamos el siguiente pequeño secreto, describido en los libros Applied Calculus y Finite Mathematics and Applied Calculus, y llamado experimento mental de cálculo:

Experimento mental de cálculo (EMC)

El experimento mental de cálculo es una técnica para determinar si podría tratar una expresión algebraica como una suma, diferencia, producto o cociente:

    Dada una expresión, se considere los pasos que daría usted en calcular su valor. Si la ultima operación es una multiplicación, se toma la expresión como un producto; si la ultima operación es una división, se toma la expresión como un cociente, y así en forma sucesiva.

Uso del experimento mental de cálculo (EMC) para diferenciar una función

    Si dice el EMC que la dada expresión está una suma, entonces aplique, como primer paso, la regla para sumas. Esto le dejará con expresiones más pequeño para diferenciar, y ahora puede aplicar el EMC a éstas, y así en forma sucesiva...

Ejemplos

1. (3x2- 4)(2x+1) se puede calcular evaluando primero las expresiones entre paréntesis y multiplicando. Como el ultimo paso es multiplicación, se puede tratar la expresión como un producto.

2. (2x- 1)/x se puede calcular evaluando primero el numerador y el denominador, y por último dividendo el uno por el otro. Como al ultimo paso es división, podemos tratar la expresión como un cociente.

3. x2 + (4x- 1)(x+2) se puede calcular evaluando primero x2, después (4x- 1)(x+2), y por último sumando las dos respuestas. Entonces, podemos tratar la expresión como una suma.

4. (3x2- 1)5 se puede calcular evaluando primero el expresión entre paréntesis, y por último evaluando a la quinta potencia la respuesta. Entonces, podemos tratar la expresión como una potencia.

Uso del experimento mental de cálculo (EMC)

Vamos a usar el EMC para calcular la derivada de

Para usar este método, se finja que está calculando -- un paso a la vez -- el valor de esta función para x = 5 por ejemplo. (No es necesario hacer realmente la calculación.) Una manera de hacer la calculación sería la siguiente:

Pues la última operación es multiplicación, nos dice el EMC que la dada expresión es un producto y entonces debemos usar la regla del producto.

Por lo tanto,

Recuerde que las expresiones "d/dx" son abreviaturas de "la derivada de... ." En otras palabras, aún no hemos terminado el trabajo; la expresión (I) más arriba nos está diciendo lo que falta hacer: tomar dos derivadas. (Si queríamos, podríamos hacer una pausa para tomar un café y regresar más tarde para terminar el trabajo.)

Para terminar la calculación, deberemos tomar las derivadas de colores magenta y azul y sustituirlas en la expresión más arriba:

La primera derivada (magenta) es fácil:

Para calcular la segunda derivada (azul), necesitamos la regla del cociente (si no lo cree, aplique el EMC a la expresión para convencerse...).

Por último, sustituimos estas derivadas en (I) para obtener la respuesta:

¡Uf ! Ahora, uno para usted:
(Parecido a Ejemplo 2b en Applied Calculus, o Finite Mathematics and Applied Calculus. )

P El Experimento mental de cálculo (EMC) nos dice que

P Un primer paso válido en la calculación de la derivada de

es escribir:

Para la siguiente pregunta tendrá que ingresar una expresión algebraico. Como más arriba, debe usar formato correcto para graficadora/computadora. (Espacios son ignorados.)

P Por último, la derivada de 4x2 +
(x-1)(4x+1)

3x
 simplifica a

   

Puede probar algunas ejercicios en Sección 4.1 del libro Applied Calculus (o Sección 11.1 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

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Ultima actualización: Octubre 2007
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