Calentamiento Empezamos con un concurso rápido sobre el uso del "Experimento mental de cálculo (EMC)" descrito en el tutorial anterior:
Experimento mental de cálculo (EMC)
El experimento mental de cálculo es una técnica para determinar si podría tratar una expresión algebraica como una suma, diferencia, producto, cociente, potencia, ...:
Uso del experimento mental de cálculo (EMC) para diferenciar una función
Ejemplos
1. (3x2- 4)(2x+1) se puede calcular evaluando primero las expresiones entre paréntesis y multiplicando. Como el ultimo paso es multiplicación, se puede tratar la expresión como un producto. 2. (2x- 1)/x se puede calcular evaluando primero el numerador y el denominador, y por último dividendo el uno por el otro. Como al ultimo paso es división, podemos tratar la expresión como un cociente. 3. x2 + (4x- 1)(x+2) se puede calcular evaluando primero x2, después (4x- 1)(x+2), y por último sumando las dos respuestas. Entonces, podemos tratar la expresión como una suma. 4. (3x2- 1)5 se puede calcular evaluando primero el expresión entre paréntesis, y por último evaluando a la quinta potencia la respuesta. Entonces, podemos tratar la expresión como una potencia. |
P Hemos hecho el calentamiento. ¿Entonces, qué dice la regla de la cadena?
R Aquí esta un ejemplo: Sabemos que la derivada de x3 es 3x2. ¿Qué, entonces, diría es la derivada de algo más complicado elevado al tercer poder, como por ejemplo (2x + x-1.4)3 ?
P ¿No es sencillamente la respuesta 3(2 + 1.4x0.4)2 ?
R No. Para hallar la respuesta correcta usamos la regla de la cadena.
La regla de la cadena
Si u es una función diferenciable de x, y f es una función diferenciable de u, entonces f es una función diferenciable de x, y:
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Ejemplo
Tomando f(x) = x3, obtenemos
En palabras:
A veces se refiere a esto como un ejemplo de la regla generalizada de las potencias. Más ejemplos
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P ¿Por qué se debe aceptar la regla de la cadena?
R Pulse aquí para una prueba.
Siguen algunos ejemplos para usted. Note Ingrese las expresiones requeridas usando formato correcto para graficadora/computadora. (Espacios son ignorados.)
P Perfecto, ¿y qué tal funciones aparte de potencias, como ln(x2 + 4x), por ejemplo?
R La siguiente tabla nos muestra como se aplica la regla de la cadena a varias funciones, incluyendo dos cuyas derivadas encontraremos más tarde:
(Regla de la cadena) |
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Forma general de la regla de la cadena | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Regla generalizada de las potencias | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Regla de las potencias con n = 1/2 |
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Vea el siguiente tutorial. |
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¡Lléveme al texto de las funciones trigonométricas! |
Puede probar algunos ejercicios sobre esta tema aqui. O bien, prueba algunos ejercicios en Sección 4.2 en el libro Applied Calculus (o Sección 11.2 en Finite Mathematics and Applied Calculus). |