4.3 Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

(Se puede encontrar esta tema en Sección 4.3 del libro Applied Calculus o Sección 11.3 de Finite Mathematics and Applied Calculus).

Derivadas de funciones logarítmicas

Las derivadas de las funciones logarítmicas se expresa como sigue:

Derivada de logb y ln \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\.\ln b} Un caso especial y importante: \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x\.\ln e} = \frac{1}{x}     Porque \ln e = 1

Ejemplos rápidos \frac{d}{dx} \log_3(x) = \frac{1}{x\.\ln 3} \frac{d}{dx}[4\.\ln x] = 4\frac{d}{dx}[\ln x] = 4\frac{1}{x} = \frac{4}{x} \frac{d}{dx}[4\.\log_3(x)] = 4\frac{d}{dx}[\log_3(x)] = 4\frac{1}{x\.\ln 3} = \frac{4}{x\.\ln 3} \frac{d}{dx}[x^2\ln x] = 2x\.\ln x + x^2\frac{1}{x} = 2x\.\ln x + x     Por la regla del producto Algunos para usted Nota Ingrese las expresiones requeridas usando formato correcto para graficadora/computadora. (Espacios son ignorados.). Aquí son algunos ejemplos que usan logaritmicos y exponenciales: Expresión Formato Ingresar ln x ln(x) (4x+2) ln x (4x+2)*ln(x) ln(ex + 1) ln(e^x + 1) log3x ln(x)/ln(3) log3(x+1) 2x2 ln(x+1) / ( ln(3) * 2*x^2 ) \frac{d}{dx}[] =       \frac{d}{dx}[] =     \frac{d}{dx}[] =     \frac{d}{dx}\Bigleft(\Bigright) =

 
P ¿De dónde viene estas formulas?
R Para derivaciones de estas formulas, se puede consultar Sección 4.3 del libro Cálculo Aplicado, o Sección 11.3 de Matemáticas finitas y Cálculo Aplicado.

P Ahora sabemos diferenciar expresiones que contienen el logaritmo de x. ¿Qué tal el logaritmo de una candidad más complicada, como por ejemplo ln(x²-3x+2)?
R Para diferenciar algo así, necesitamos usar la regla de la cadena. Aquí es una lista de expreciones en las que usamos la regla de la cadena, incluyendo algunas que se tratan el logaritmo de una cantidad.

Regla original	Regla generalizada (Regla de la cadena)	Notas
d dx f(x) = g(x)	d dx f(u) = g(u) du dx	Forma general de la regla de la cadena
d dx xn = nx n-1	d dx un = nun-1 du dx	Regla generalizada de potencias
d dx 4x-1/2 = -2x-3/2	d dx 4u-1/2 = -2u-3/2 du dx	Un ejemplo de la regla más arriba
d dx sin x = cos x	d dx sin u = cos u du dx	¡Lleveme al texto sobre los funciones trig!
d dx ln x = 1 x	d dx ln (u) = 1 u du dx	La derivada del logaritmo natural de una cantidad es el recíproco de aquel cantidad, por la derivada de aquel cantidad.
d dx logb(x) = 1 x ln(b)	d dx logb(u) = 1 u ln(b) du dx
Ejemplos rápidos \frac{d}{dx}\ln(3x^2-x) = \frac{1}{3x^2-x}\frac{d}{dx}[3x^2-x] = \frac{1}{3x^2-x}(6x-1) = \frac{6x-1}{3x^2-x} \frac{d}{dx} =     \frac{d}{dx} =       \frac{d}{dx} =

\frac{d}{dx} = ?

 

\frac{d}{dx} = ?

Derivada del Log del valor absoluto

Sucede algo curioso cuando tomamos la derivada del logaritmos del valor absoluto de x:

\frac{d}{dx} \ln |x|	=	\frac{1}{|x|} \frac{d}{dx} |x|		Por la regla de la cadena más arriba
	=	\frac{1}{|x|} \frac{|x|}{x}		La derivada de |x| es |x|/x
	=	\frac{1}{x}		Exactamente la misma que la derivada de ln x!

En otras palabras, reempelzando x por el valor absoluto de x no afecta en absoluto la derivada del logarítmo natural. En forma parecida, no tiene efecto en la derivada del logarítmo de x a cualquier base, o el logarítmo de cualquier cantidad. Ejemplo:

\frac{d}{dx}\ln|3x^2-x| = \frac{1}{3x^2-x}(6x-1) = \frac{6x-1}{3x^2-x}

¡como si no fuera el valor absoluto! Por lo tanto, las respuestas de todas las preguntas más arriba con with "ln (--) reemplezado por "ln |--|" son exactamente lo mismo. Vea el libro de texto Cálculo Aplicado para ver más detalles.

Derivadas de funciones exponenciales

Las derivadas de las funciones exponenciales se expresa como sigue:

Derivada de bx y ex \frac{d}{dx} b^x = b^x \ln b Un caso especial y importante: \frac{d}{dx} e^x = e^x

Ejemplos rápidos \frac{d}{dx}[3^x] = 3^x \ln 3 \frac{d}{dx}[2e^x] = 2\frac{d}{dx}[e^x] = 2e^x \frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2x\.e^x + x^2e^x = e^x(2x + x^2)     Por la regla del producto Algunas para usted \frac{d}{dx}[] =       \frac{d}{dx}[] =

 
P ¿De dónde viene estas formulas?
R Consulte Sección 4.3 d del libro Cálculo Aplicado, o Sección 11.3 de Matemáticas finitas y Cálculo Aplicado.

Estas formulas nos permiten desallorar más nuestra tabla de derivadas en las que usamos la regla de la cadena:

Regla original	Regla generalizada (Regla de la cadena)	Notas
d dx f(x) = g(x)	d dx f(u) = g(u) du dx	Forma general de la regla de la cadena
d dx f(x) = g(x)	d dx f(u) = g(u) du dx	Forma general de la regla de la cadena
d dx xn = nx n-1	d dx un = nun-1 du dx	Regla generalizada de potencias
d dx 4x-1/2 = -2x-3/2	d dx 4u-1/2 = -2u-3/2 du dx	Un ejemplo de la regla más arriba
d dx sin x = cos x	d dx sin u = cos u du dx	¡Lleveme al texto sobre los funciones trig!
d dx ln x = 1 x	d dx ln (u) = 1 u du dx	La derivada del logaritmo natural de una cantidad es el recíproco de aquel cantidad, por la derivada de aquel cantidad.
d dx logb(x) = 1 x ln(b)	d dx logb(u) = 1 u ln(b) du dx
d dx ex = ex	d dx eu = eu du dx	la derivada de e elevada a una cantidad es e elevada a aquel cantidad, por la derivada de aquel cantidad.
d dx bx = bx ln(b)	d dx bu = bu ln(b) du dx
Ejemplos rápidos \frac{d}{dx}[e^{-x}] = e^{-x}\frac{d}{dx}[-x] = -e^{-x} \frac{d}{dx}[e^{3x2-x}] = e^{3x2-x}\frac{d}{dx}[3x2-x] = (6x-1)e^{3x2-x} Algunos para usted \frac{d}{dx}[] =       \frac{d}{dx}[] =     \frac{d}{dx}[] =

>En este concurso unas de las opciones son basadas en respuestas reales presentadas por alumni durante una prueba. ¡Solo una es correcto

\frac{d}{dx} = ?

Puede probar algunos ejercicios sobre esta tema aqui. O bien, prueba algunos ejercicios en Sección 4.3 en el libro Applied Calculus (o Sección 11.3 en Finite Mathematics and Applied Calculus).

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Ultima actualización: Julio 2008 Derechos de autor © 2007 Stefan Waner