3.3 Limites y continuidad: Enfoque algebraico

Considere el siguiente límite:

lim x→2

x2 - 3x 4x + 3

.

Si se estima el límite numéricamente o gráphicamente, se averigua que

lim x→2

x2 - 3x 4x + 3

≈ −0.1818

Sin embargo, note que se puede obtener este resultado más sencillamente por sustituir x por 2 en la función dada:

f(x) =	x2 - 3x 4x + 3
f(2) =	4 - 6 8 + 3	=	-	2 11	=	-0.181818...

Esta respuesta es más exacto que la que resulta del método numérico o algebraico; de hecho, es el límite exacto.

P ¿Es todo eso para evaluar límites algebráicamente: sustituya el número a cual se esta acercando x en la expreción que se da?
R No siempre, pero frecuentemente sí, en cual caso es continua la función al valor de x en cuestión. Recuerde la definición de continuidad del tutorial anterior:

P ¿Como se sabe si es continua una función?
R Como hemos visto en el tutorial anterior, podemos saber si es continua una función por mirar su gráfica. Si rota la gráfica a algún punto en el dominio, entonces tiene f una discontinuidad a aquel punto. Si está especificado algebraicamente la función, está de vez en cuando fácil determinar si es continua la función por simplemente mirar su formula:

Una función de forma cerrada es cualquier función que se puede obtener con una sola fórmula por uso de potencias de x, funciones exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas (y algunas otras cuales puede que nunca vea) combinados usando operaciones aritméticas y composición. Ejemplos de funciones de forma cerrada son:

3x2 - x +1, (x2 - 1)1/2 6x-2

e(x2 - 1)1/2/x

(log3(4x2 - ex))2/3

Pueden ser como tan complicadas como quiere. La siguiente función no está de forma cerrada.

f(x) =		-1 si x < -1
		x2 + x si -1 ≤ x ≤ 1
		2 - x si 1 < x ≤ 2

La razón para eso es que f(x) no está especificado por una sola expresión matemática. Una característica muy útil de las functiones de forma cerrada es la siguiente:

P ¿Y si f(x) fuera una función de forma cerrada, pero el punto x = a no estuviera en el dominio de la función?
R En este caso:

1. Primero intente usar simplificación o algun otra técnica para reemplazar f(x) por una otra función de forma cerrada que sí tiene x = a en su dominio. Después, se puede susituir a por x en la nueva función para obtener el límite.
2. Si no es posible el método más arriba, entonces intente estimar el límite numéricamente o gráficamente. Note, sin embargo, que este método a lo mejor le dará una estimación del límite.

Evaluación de un límite por simplifación

Vamos a evaluar

lim  x→-2

3x2 + x - 10 x + 2

Hagase las siguientes preguntas:

1. ¿Está la función f(x) de forma cerrada?
Respuesta: Sí, pues (3x² + x-10)/(x+2) es una sola fórmula matemática.

2. ¿Está el valor x = a en el dominio de f(x)?

Respuesta: No, pues (3(-2)²+(-2)-10)/((-2)+2) no está definido.

Entonces, referimos al discurso más arriba y simplificamos la función, si es posible.

3x2 + x - 10 x + 2	=	(x+2)(3x-5) (x+2)
	=	3x-5.

Pues estamos dejado con una función de forma cerrada que sí está definida cuando x = -2, podemos ahora evaluar el límirw por sustitución:

lim  x→-2

3x2 + x-10 x + 2

=

lim  x→-2

3x - 5

=

3(-2)-5 = -11.

Anteriormente, en el tutorial para funciones desde el punto de vista gráfico, miramos la siguiente función:

f(x)

=

-1 si -4 ≤ x < -1 x si -1 ≤ x ≤ 1 x2-1 si  1 < x ≤ 2

Esta vez no le demostramos en seguida la gráfica, y le preguntamos en cambio a mirar la fórmula. Observe:

1. La función f no está de forma cerrada. (No está definida por una sola formula.)
2. Dentro de cada uno de los intervalos distintos [-4, -1), (-1, 1) y (1, 2] la función sí está de forma cerrada, y está de esta manera continua en cada intervalo. Por lo tanto, los únicos puntos a los donde la función puede posiblemente faltar a ser continua son los puntos en las fronteras de los intervalos, donde cambiamos de una formula a otra: x = -1 y x = 1.

Pruebe ahora el resto de los ejercicios en Sección 3.3 en el libro Applied Calculus (o Sección 10.3 en Finite Mathematics and Applied Calculus).