Funciones y modelos

Algunos recursos en-línea para este tema

Funciones que usamos para representar situaciones de la vida real, como la función que usamos en el tutorial anterior para hablar de los socios de Facebook, son modelos matemáticos.
Modelos matemáticos

Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación.

Ejemplos
Situación Modelo
1. Hay presentemente 50 películas en tu disco duro, y este número está creciendo por 2 películas por semana. Modelar el tamaño de tu colección como una función de tiempo.
N(t) = 50 + 2t
t = tiempo en semanas, N = número de películas
2.
t = tiempo en días, E = número de correos
3.
x = número de bebidas, C = costo total
4. Invierto $1000 a una tasa de interés del 5% compuesto trimestralmente. Hallar el valor de la inversión después de t años.
A(t) = 1000(1 + 0.0125)^{4t}
Por la formula para interés compuesto (vea Parte B)
5. Números de socios Facebook
n(t) = 4t if 0 ≤ t ≤ 3       millones de miembros
50t-138     if 3 < t ≤ 5

t = tiempo en años desde el principio de 2004, n = número de socios en millones

Nota
Ejemplos 1–4 som modelos analíticos, obtenidos por analizar la situación que está siendo modelada, mientras que Ejemplo 4 es un modelo ajuste de curva, obtenido por hallar una formula matemática que aproxima los datos observados.

Modelos de Costo, Ingresos y utilidades

Eche un vistazo al tercer ejemplo más arriba, donde el costo para comprar un numero de artículos (bebidas en ese caso) fue expresado como una función del número x de artículos. Esta función es un ejemplo de una función (de) costo. El resto de esta explicación aparecerá solo después de ingresar correctamente la función en el tercer ejemplo más arriba.
Función de Costo

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma

    Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma
    C(x) = mx + b
se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el cost fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.
Ejemplo

El costo diario a su compañia de imprimir x novelos ciencia ficción en rústica es

Note que C es medido en dolares, y x es medido en libros (novelos ciencia ficción en rústica, más precisamente).

El costo marginal es m = y el costo fijo es b =

Función de ingreso

El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal I(x) = mx y el precio de venta m se puede tamién llamar ingreso marginal.

Ejemplo

Suponga que su casa editorial vende libros ciencia ficción rústicos a una detallisa para por libro. Entonces

    dolares.
El ingreso marginal es m = por libro.
Función utilidad

La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula:

    Utilidad = Ingreso − Costo
    U = IC
Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o
    I = C Equilibrio
El puno equilibrio es el número de articulos x a lo cual presenta el equilibrio.
Ejemplo

Si regresamos al ejemplo de las novelas ciencia ficción, ya tenemos las funciones costo y ingreso:

    Costo diario de imprimir x libros
    Ingresos por la venta de x libros
Por lo tanto, debería vender ??? libros por día para salir tablas, y más para obtener una utilidad de $??? por libro adicional. ($??? es la utilidad marginal.)

A veces, es más conveniente expresar modelos en forma ecuación:
Forma de función y de ecuación de los modelos matemáticos

Echemos un vistazo a las funciones costo y ingreso de nuevo:

    Función costo
    Función ingreso
En vez de usar notación de función, podemos expresar las funciones de costo y ingreso en la forma de ecuaciones:
    Ecuación costo
    Ecuación ingreso

Aquí, la variable independiente es x, y las variables dependientes son C y I. Las formas de función y de ecaución, por usar la misma letra para la variable dependiente, son usados intercambiablemente, así que podemos decir, por ejemplo, que la ecuación costo más arriba especifica C como una función de x.

El concurso siguiente es similar al Ejemplo 2 en la Sección 1.2 de :

Ud. es el gerente de Creaciones Caraduras de Surf, una empresa fabricante de ropa. La función costo por su muy exclusive camisetas Tai Kwan Do Dragon es dolares, y se venden las camisteas a cada una. Mire las gráficas de costo y ingreso más abajo de las preguntas para ayudarle en contestarlas, pero es necesario usar las formulas para dar las respuestas exactas.

        Funciones ingreso y costo

Ultima actualización: diciembre 2009
Derechos de autor © 2009 Stefan Waner