Funciones lineales y modelos

P ¿Exactamente qué es una función lineal?
R En pocas palabras, una función lineal es aquella cuya gráfica es una recta (de ahí el término "lineal").

P ¿Cómo reconocemos una funció lineal algebraicamente?
R Como sigue:
Función lineal

Una función lineal es aquella que se puede escribir en la forma

f(x) = mx + b Forma funciónEjemplo: f(x) = 3x - 1     m = 3, b = -1
y = mx + b Forma ecuaciónEjemplo: y = 3x - 1

donde m y b son números fijos (los nombres m y b son tradicional). La gráfica de una función lineal es una recta, como se puede ver en el ejemplo más arriba si trazamos unos puntos de la ecuación y = 3x - 1:

Ejemplo Rellena los valores de la función lineal y pulsa "Verificar." (Los puntos asociados entonces seran trazados en la gráfica debajo de la tabla.) Pista: Pulsa el tabulador de tu teclado para avanzar de cada campo al siguiente sin la necesitad de apuntar y hacer clic.
x
  f(x)  
     
Puntos aparecerán en la gráfica más abajo cuando ingresas valores en la tabla arriba y pulsas "Verificar".
 
Papel de m y b en la función lineal f(x) = mx + b

Miremos cuidadamente la función lineal

    f(x) = 0.5x + 2
Esta función lineal tiene m = 0.5 y b = 2.

Papel de b
Observa que igualar x a 0 nos da y = 2, el valor de b. En la gráfica (mostrada a la izquierda más abajo), el punto correspondiente (0, 2) es el punto a lo que cruza la gráfica al eje y, y llamamos a b = 2 la intersección en y de la gráfica.

Numericamente, b es el valor de y cuando x = 0
Gráficamente, b es la intersección en y de la gráfica

b es la intersección en y

m es la pendiente

Papel de m
Observa en la gráfica (figura a la derecha más arriba) que el valor de y aumenta en m = 0.5 par cada aumento de 1 en x. Aquello es la consecuencia del termino 0.5x en la formula. El resultado es que la gráfica de y = 0.5x + 2 "sube" 0.5 unidades por cada "recorriendo horizontal" de 1 unidad, y referimos a 0.5 como la pendiente de la recta.

Numericamente, y cambia en m unidades por cada 1-unidad aumento de x.
Gráficamente (cuando m es positiva) la gráfica sube m unidades por cada 1-unidad recorrido hacia la derecha; m es la pendiente de la recta.

Abajo tenemos una figura más general que muestra dos rectas "genericas;" una con pendiente positiva, y la otra con pendiente negativa.

Gráfica de y = mx + b
Pendiente positiva Pendiente negativa

Cuando m es positiva, la gráfica sube m unidades por cada 1-unidad recorrido hacia la derecha. Cuando m es negativa, la gráfica baja |m| unidades por cada 1-unidad recorrido hacia la derecha.

Las siguientes preguntas son basados en la ecación lineal Por las respuesas más arriba podemos decir que, cuando x aumenta en 1 unidad, entonces

Además, siempre que x aumenta en dos unidades,

A continuación, traza la ecuación por hacer clic en dos puntos de la gráfica tan exactamente sea posible y entonces pulsar [Pista: Haz clic primero en la intersección en el eje-y, y entonces usa la información más arriba para hallar un otro punto de trazar. Lo más alejados que sean los dos puntos el uno al otro, lo más exacto será la gráfica.]

Haz clic en dos puntos para trazar una recta.   
  

La siguiente tabla muestra tres funciones especificadas númericamente. Solo una de ellas es lineal:

x
  f(x)  
  g(x)  
  h(x)  

Más sobre la pendiente

Vamos a echar nuevamente un vistazo a la ecuación lineal

Ya que la pendiente ed m = 3, sabemos que y aumenta en 3 por cada 1-unidad aumento en x. De modo parecido, y aumenta en 3 × 2 = 6 por cada 2-unidad aumento en x, y y aumenta en 3 × 3 = 9 por cada 3-uniidad aumento en x, y así en modo parecido. Por lo tanto, en general, el cambio en y es 3 veces el cambio en x .

Matemáticos tradicionalmente usan Δ (delta, el equivalente greca de la letra romana D) para significar "diferencia," o "cambio en." Por ejemplo, escribimos Δx para significar "el cambio en x." Consecuentemente, tenemos, en símbolos

Δy=x Cambio en y = 3 × Cambio en x
o
Pendiente=3=
Δy

Δx
Aquí otra vez es la gráfica de y = 3x - 1, mostrando dos diferentes elecciones de Δx y la asociada Δy.


y = 3x - 1

 
Pendiente de una recta

Pendiente = m = \frac{Δy}{Δx} = \frac{Cambio en y}{Cambio en x}.   Gráficamente, la pendiente es la razón \frac{Subido}{Recorrido} mostrada abajo:

Cálculo de la pendiente usando coordenadas

Pulsa los botones en la siguiente figura para ver Δx y Δy separadamente:


   

Como puedes ver en la figura, la subida es Δy = y2 − y1, el cambio el la cooredenada-y desde el primer punto hasta el segundo, mientras que el recorrido es Δx = x2 &minus x1, el cambio en la coordenada-x. Por lo tanto,

    m = \frac{ΔY}{ΔX} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
Ejemplos
1. La pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) = (1, 3) y (x2, y2) = (5, 11) es   m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 3}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2.
2. La pendiente de la recta que pasa por (−1, 3) y (−1, 5) es   m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 3}{-1 - (-1)} = \frac{2}{0}, que es indefinida, o infinita.

En cada una de las siguientes, calcula la pendiente, si esté definida, de la recta que pasa por el par de puntos indicados. Fracciones, decimales exactos hasta tres posiciones, o formulas tecnología validas son permitidas. Tecla si una pendiente especifica es indefinida.

Rellenar las pendientes de las siguientes rectas:

Reconociendo varias pendientes
Es muy útil poder reconocer la pendiente de una recta a simple vista. En particular, debes poder reconocer rectas con pendientes 0, 0, 1, −1, y algunas otras.



Antes de probar los ejercicios de la Sección 1.3, debes seguir con Parte B de este tutorial por pulsar el enlace a lo lado.

Ultima actualización:: Enero, 2010
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