A matrix is just a rectangular array ("grid") of numbers. Here are a few examples: Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números reales. Aquí estan algunos ejemplos:

$\mat{\[1 , 1 , -2\]!5 , 3 , 0} , \mat{\[1 , 1 , -2\]!5 , 3 , 0!-9 , 10 , 1} , \mat{\[1\]!5!-4} , \mat{\[1 , 5 , -4\]} , \mat{\[1 , 1 , -2,\]!8 , 3 , 0!0 , 1 , 1!0 , 0 , 1}$
To specify the size of a matrix, we need to talk about rows and columns: Para especificar el tamaño de una matriz, necesitamos hablar de renglones (o filas) y columnas:
 
1   5   -7
1   1   0
0   0   1
0   0   0
 
Rows are horizontal.Renglones son horizontales.
       
 
1
1
0
0
5
1
0
0
−7
0
1
0
 
Columns are vertical.Columnas son verticales.

The above matrix has 4 rows and 3 columns. We refer to it as a 4×3 matrix. Here is the general definition from : La matriz más arriba tiene 4 renglones y 3 columnas. Así referimos a esta matriz como una matriz 4×3. La siguiente esta la definición general del libro :

Matrix, dimension, entries Matriz, dimensión, entradas
An $m \times n$ matrix $A$ is a rectangular array of real numbers with $m$ rows and $n$ columns. We refer to $m$ and $n$ as the dimensions of the matrix $A$. The numbers that appear in the matrix are called its entries. We customarily use uppercase letters $A, B, C, ...$ for the names of matrices and lowercase letters $a, b, c, ...$ for the entries.
Una matriz $m \times n$ es una tabla o arreglo rectangular $A$ de números reales con $m$ reglones (o filas) y $n$ columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Las cantidades $m$ y $n$ son las dimensiones de $A$. Los números que aparezcan dentro de la matriz se llaman sus entradas. Normalmente usamos letras mayúsculas $A, B, C, ...$ para los nombres de matrices y letras minúsculas $a, b, c, ...$ para los entradas.
Example Ejemplo

    The matrix La matriz is a es una matriz matrix.
Labeling the entries of a matrix Etiquetando las entradas de una matriz There is a systematic way of labeling the entries in a matrix: If $i$ and $j$ are numbers, then the entry in the $i$th row and $j$th column of the matrix $A$ is called the $(i, j)$ entry of $A$. We usually write this entry as $a_{ij}$ or sometimes $A_{ij}$. (If the matrix was called $B$, we would write its $(i, j)$ entry as $b_{ij}$ or $B_{ij}$.) Notice that the row number is specified first and the column number second. Hay una manera sistemática etiquetar las entradas de una matriz: Si $i$ y $j$ son números, entonces la entrada en el $i$o renglón y el $j$o columna de la matriz $A$ se llama la entrada $(i, j)$ de $A$. Usualmente escribimos esta entrada como $a_{ij}$ o a veces $A_{ij}$. (Si la matriz se llamara $B$, escribiríamos su entrada $(i, j)$ como $b_{ij}$ o $B_{ij}$.) Observa que el índice del renglón se especifica primero, y el índice de la columna después.
Example Ejemplo

Let Sea $A = $

    $a_{21} = $ Entry in Row 2 and Column 1 Entrada en Renglón 2 y Columna 1

Matrix addition and subtraction Suma y resta de matrices

Two matrices can be added or subtracted if, and only if, they have the same dimensions. (That is, both matrices have matching numbers of rows and columns. For instance, you can't add, say, a 3×4 matrix to a 4×4 matrix, but you can add two 3×4 matrices.)

To add (or subtract) two matrices of the same dimensions, just add (or subtract) the corresponding entries. In other words, if $A$ and $B$ are $m \times n$ matrices, then $A + B$ and $A - B$ are the $m \times n$ matrices whose entries are given by

Se puede sumar o restar dos matrices siempre y cuando tienen la misma dimensión. (Es decir, ambas matrices tienen números iguales de renglones y de columnas. Por ejemplo, no podemos sumar una matriz 3×4 y una matriz 4×4, pero sí podemos sumar dos matrices 3×4.)

Para sumar (o restar) dos matrices de la misma dimensión, simplemente suma (o resta) las entradas correspondientes. Es decir, si $A$ y $B$ son matrices $m \times n$, entonces $A + B$ y $A - B$ son las matrices $m \times n$ cuyas entradas se expresa por

Examples Ejemplos

A matrix all of whose entries are zero is called a zero matrix, sometimes written as $O$. Here are some zero matrices: Una matriz cuyas entradas son todos cero se llama una matriz cero, a veces escrito como $O$. Las siguientes son matrices cero:

$ \mat6{\[0 , 0\]!0 , 0!0, 0} , \mat6{\[0 , 0 , 0\]!0 , 0 , 0!0, 0 , 0} , \mat6{\[0\]!0!0} , \mat6{\[0 , 0 , 0 , 0\]} $

&2 $A = $ &3 $B = $

Scalar multiplication Multiplicación escalar

It is customary when talking about matrices to call individual numbers scalars. For this reason we call the operation of multiplying a matrix by a number scalar multiplication.

In order to motivate scalar multiplication, consider what happens when we add a matrix $A$ to itself: What we get is $A + A$, which we would like to write as $2A$, just as with numbers. Here, we are multiplying the matrix $A$ by the scalar 2, and the result is to multiply each entry in $A$ by 2.

Similarly, $6A$ is the matrix obtained from $A$ by multiplying each of its entries by 6. More generally, if $c$ is any number, then $cA$ ("$c$ times $A$") is the matrix obtained from $A$ by multiplying each of its entries by $c$.

Es costumbre llamar escalares a números individuales cuando hablamos de matrices. Por lo tanto, llamamos a la operación de multiplicar una matriz por un número multiplicación escalar.

Para motivar multiplicación escalar, considera lo que sucede cuando sumamos una matriz $A$ con si mismos: Lo que resulta es $A + A$, que deseamos escribir como $2A$, tal como el caso de números. En ese caso, estamos multiplicando la matriz $A$ por el escalar 2, y el resultado es multiplicar cada entrada de $A$ por 2.

De modo parecida, $6A$ es la matriz obtenida de $A$ por multiplicar cada una de sus entradas por 6. En general, si $c$ es cualquier número, entonces $cA$ ("$c$ por $A$") es la matriz obtenida de $A$ por multiplicar cada de sus entradas por $c$.

Examples Ejemplos

Algebra of matrices Álgebra de matrices

Addition and scalar multiplication of matrices satisfy rules similar to those for addition and multiplication of real numbers: La adición y la multiplicación escalar de matrices satisfecha reglas parecidas a las de adición y multiplicación de números:

Properties of matrix addition and scalar multiplication Propiedades de adición y multiplicación escalar
If $A$, $B$ and $C$ are any $m \times n$ matrices, and if $O$ is the zero $m \times n$ matrix, then they satisfy the following rules:
Si $A$, $B$ y $C$ son matrices $m \times n$, y si $O$ es la matriz cero $m \times n$, entonces se cumplen las siguientes reglas:
    Associative law: Regla asociativa:   $A+(B+C) = (A+B)+C$
    Commutative law: Regla conmutativa:   $A+B = B+A$

Q What about the product of two matrices?
A That must wait till the next topic (press "Next topic" on the side if you're impatient to see matrix multiplication).

Q OK the above rules are all very nice, but how can we apply them?
A Matrix algebra can be applied in a mind-boggling number of situations. The following is based on an exercise in :

Q ¿Qué tal el producto de dos matrices?
A Demebos esperar hasta el proximo tópico (pulsa "Tutorial siguiente" en el lado izquierda si deseas andar a aquel tópico).

Q Bueno. Son muy interesantes las reglas más arriba, pero como podemos aplicarlas?
A La álgebra de matrices se se aplique a un número inimaginable de situaciones. La siguiente es basada en un ejercicio en :

The following table gives the approximate number of people (in thousands) who visited Australia and South Africa in 1998.* La siguiente tabla mustra el número aproximado (en miles) de gente que visitó Australia y Sudáfrica durante 1998.*

&4
&9 &10
&5 &6
&7
&8

* Sources: South African Dept. of Environmental Affairs and Tourism; Australia Tourist Commission/The New York Times, January 15, 2000, p. C1. Fuentes: South African Dept. of Environmental Affairs and Tourism; Australia Tourist Commission/The New York Times, Enero 15, 2000, p. C1.

Assume that during each subsequent year, &30 people from &6 visited &9 and &31 visited &10, &32 people from &7 visited each of &9 and &10, and &33 people from &8 visited &10 but that there was no change in the number visiting &9.

Let $A$ be the matrix represented by the 1998 figures, and let $D$ be the matrix of annual changes (entries in thousands). Presupone que durante cada año subsiguiente, &30 personas de &6 visitaron &9 y &31 visitaron &10, &32 personas de &7 visitaron cada uno de &9 y &10, y &33 personas de &8 visitaron &10 pero no cambió en número que visitaron &9.

Sea $A$ la matriz representada por las cifras de 1998, y sea $D$ la matriz de los cambios anuales (entradas en miles).

Transposition Trasposición

Sometimes it is convenient to write the rows of a matrix as columns and vice-versa. This process is called transposition: Resulta a veces conveniente escribir los renglones de una matriz como columnas y viceversa. Llamamos a este proceso trasposición:

The transpose of a matrix La trasposición de una matriz
If $A$ is any $m \times n$ matrix, then its transpose is the $n \times m$ matrix $A^T$ obtained from $A$ by writing the rows as columns, or vice-versa. In other words, the $(i, j)$ entry of $A^T$ is the $(j,i)$ entry of the original matrix $A$.
Se $A$ es una matriz $m \times n$, entonces su trasposición, llamada la matriz traspuesta, AT, es la matriz que se obtiene cambiando los renglones por las columnas (o viceversa). Es decir, la entrada $(i, j)$ de $A^T$ es la entrada $(j,i)$ de la matriz original $A$.
Examples Ejemplos
    &13 $A = $
     
    1   5   -7
    1   1   0
    0   0   1
    −1   2   3
     
    &14 $A^T = $
     
    1
    5
    −7
    1
    1
    0
    0
    0
    1
    −1
    2
    3
     
    T =

       

You can now try some of the exercises in Section 3.1 of or , try some chapter review exercises, or the topic true false quiz. Ahora puedes probar algunos ejercicios en la sección 3.1 de o , probar unos ejercisios de repaso, o bien el concurso verdadero falso de este tema.