A matrix is just a rectangular array ("grid") of numbers. Here are a few examples: Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números reales. Aquí estan algunos ejemplos:
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The above matrix has 4 rows and 3 columns. We refer to it as a 4×3 matrix. Here is the general definition from : La matriz más arriba tiene 4 renglones y 3 columnas. Así referimos a esta matriz como una matriz 4×3. La siguiente esta la definición general del libro :
Matrix, dimension, entries
Matriz, dimensión, entradas
An $m \times n$ matrix $A$ is a rectangular array of real numbers with $m$ rows and $n$ columns. We refer to $m$ and $n$ as the dimensions of the matrix $A$. The numbers that appear in the matrix are called its entries. We customarily use uppercase letters $A, B, C, ...$ for the names of matrices and lowercase letters $a, b, c, ...$ for the entries.
Una matriz $m \times n$ es una tabla o arreglo rectangular $A$ de números reales con $m$ reglones (o filas) y $n$ columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Las cantidades $m$ y $n$ son las dimensiones de $A$. Los números que aparezcan dentro de la matriz se llaman sus entradas. Normalmente usamos letras mayúsculas $A, B, C, ...$ para los nombres de matrices y letras minúsculas $a, b, c, ...$ para los entradas.
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Example Ejemplo | |||
Labeling the entries of a matrix Etiquetando las entradas de una matriz There is a systematic way of labeling the entries in a matrix: If $i$ and $j$ are numbers, then the entry in the $i$th row and $j$th column of the matrix $A$ is called the $(i, j)$ entry of $A$. We usually write this entry as $a_{ij}$ or sometimes $A_{ij}$. (If the matrix was called $B$, we would write its $(i, j)$ entry as $b_{ij}$ or $B_{ij}$.) Notice that the row number is specified first and the column number second. Hay una manera sistemática etiquetar las entradas de una matriz: Si $i$ y $j$ son números, entonces la entrada en el $i$o renglón y el $j$o columna de la matriz $A$ se llama la entrada $(i, j)$ de $A$. Usualmente escribimos esta entrada como $a_{ij}$ o a veces $A_{ij}$. (Si la matriz se llamara $B$, escribiríamos su entrada $(i, j)$ como $b_{ij}$ o $B_{ij}$.) Observa que el índice del renglón se especifica primero, y el índice de la columna después. | |||
Example
Ejemplo
Let Sea $A = $
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Matrix addition and subtraction Suma y resta de matrices
To add (or subtract) two matrices of the same dimensions, just add (or subtract) the corresponding entries. In other words, if $A$ and $B$ are $m \times n$ matrices, then $A + B$ and $A - B$ are the $m \times n$ matrices whose entries are given by
Para sumar (o restar) dos matrices de la misma dimensión, simplemente suma (o resta) las entradas correspondientes. Es decir, si $A$ y $B$ son matrices $m \times n$, entonces $A + B$ y $A - B$ son las matrices $m \times n$ cuyas entradas se expresa por
$(A + B)_{ij}$ | = | $A_{ij} + B_{ij} $ | $(i, j)$ entry of the sum = sum of the $(i, j)$ entries $(i, j)$ entrada de la suma = suma de las entradas $(i, j)$ |
$(A - B)_{ij}$ | = | $A_{ij} - B_{ij} $ | $(i, j)$ entry of the difference = difference of the $(i, j)$ entries $(i, j)$ entrada de la diferencia = diferencia de las entradas $(i, j)$ |
$\mat6{\[2 , -3\]!1 , 0!-1, 3}$ | + | $\mat6{\[9 , -5\]!0 , 13!-1, 3}$ | = | $\mat4{\[11 , -8\]!1 , 13!-2, 6} $ Add the corresponding entries. Suma las entradas correspondientes. |
− | = |
A matrix all of whose entries are zero is called a zero matrix, sometimes written as $O$. Here are some zero matrices: Una matriz cuyas entradas son todos cero se llama una matriz cero, a veces escrito como $O$. Las siguientes son matrices cero:
Scalar multiplication Multiplicación escalar
In order to motivate scalar multiplication, consider what happens when we add a matrix $A$ to itself: What we get is $A + A$, which we would like to write as $2A$, just as with numbers. Here, we are multiplying the matrix $A$ by the scalar 2, and the result is to multiply each entry in $A$ by 2.
Similarly, $6A$ is the matrix obtained from $A$ by multiplying each of its entries by 6. More generally, if $c$ is any number, then $cA$ ("$c$ times $A$") is the matrix obtained from $A$ by multiplying each of its entries by $c$.
Para motivar multiplicación escalar, considera lo que sucede cuando sumamos una matriz $A$ con si mismos: Lo que resulta es $A + A$, que deseamos escribir como $2A$, tal como el caso de números. En ese caso, estamos multiplicando la matriz $A$ por el escalar 2, y el resultado es multiplicar cada entrada de $A$ por 2.
De modo parecida, $6A$ es la matriz obtenida de $A$ por multiplicar cada una de sus entradas por 6. En general, si $c$ es cualquier número, entonces $cA$ ("$c$ por $A$") es la matriz obtenida de $A$ por multiplicar cada de sus entradas por $c$.
$ 4\mat6{\[2 , -3 , 0\]!1 , 0 , 4!-1, 3 , 1} = \mat6{\[8 , -12 , 0\]!4 , 0 , 16!-4, 12 , 4}$ Each entry is multiplied by 4. Cada entrada se multiplica por 4. |
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= |
Algebra of matrices Álgebra de matrices
Addition and scalar multiplication of matrices satisfy rules similar to those for addition and multiplication of real numbers: La adición y la multiplicación escalar de matrices satisfecha reglas parecidas a las de adición y multiplicación de números:
Properties of matrix addition and scalar multiplication
Propiedades de adición y multiplicación escalar
If $A$, $B$ and $C$ are any $m \times n$ matrices, and if $O$ is the zero $m \times n$ matrix, then they satisfy the following rules:
Si $A$, $B$ y $C$ son matrices $m \times n$, y si $O$ es la matriz cero $m \times n$, entonces se cumplen las siguientes reglas:
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Q What about the product of two matrices?
A That must wait till the next topic (press "Next topic" on the side if you're impatient to see matrix multiplication).
Q OK the above rules are all very nice, but how can we apply them?
A Matrix algebra can be applied in a mind-boggling number of situations. The following is based on an exercise in :
Q ¿Qué tal el producto de dos matrices?
A Demebos esperar hasta el proximo tópico (pulsa "Tutorial siguiente" en el lado izquierda si deseas andar a aquel tópico).
Q Bueno. Son muy interesantes las reglas más arriba, pero como podemos aplicarlas?
A La álgebra de matrices se se aplique a un número inimaginable de situaciones. La siguiente es basada en un ejercicio en :
The following table gives the approximate number of people (in thousands) who visited Australia and South Africa in 1998.* La siguiente tabla mustra el número aproximado (en miles) de gente que visitó Australia y Sudáfrica durante 1998.*
&4 | ||||
&9 | &10 | |||
&5 | &6 | |||
&7 | ||||
&8 |
* Sources: South African Dept. of Environmental Affairs and Tourism; Australia Tourist Commission/The New York Times, January 15, 2000, p. C1. Fuentes: South African Dept. of Environmental Affairs and Tourism; Australia Tourist Commission/The New York Times, Enero 15, 2000, p. C1.
Assume that during each subsequent year, &30 people from &6 visited &9 and &31 visited &10, &32 people from &7 visited each of &9 and &10, and &33 people from &8 visited &10 but that there was no change in the number visiting &9.
Let $A$ be the matrix represented by the 1998 figures, and let $D$ be the matrix of annual changes (entries in thousands).
Sea $A$ la matriz representada por las cifras de 1998, y sea $D$ la matriz de los cambios anuales (entradas en miles).
-
&11
Give a formula for the matrix that represents the numbers of visitors in &16.
Da una formula por la matriz que representa los números de visitantes durante &16.
&11
Now calculate this matrix:
Ahora calcula esta matriz:
&16 &12 = |
Transposition Trasposición
Sometimes it is convenient to write the rows of a matrix as columns and vice-versa. This process is called transposition: Resulta a veces conveniente escribir los renglones de una matriz como columnas y viceversa. Llamamos a este proceso trasposición:
The transpose of a matrix
La trasposición de una matriz
If $A$ is any $m \times n$ matrix, then its transpose is the $n \times m$ matrix $A^T$ obtained from $A$ by writing the rows as columns, or vice-versa. In other words, the $(i, j)$ entry of $A^T$ is the $(j,i)$ entry of the original matrix $A$.
Se $A$ es una matriz $m \times n$, entonces su trasposición, llamada la matriz traspuesta, AT, es la matriz que se obtiene cambiando los renglones por las columnas (o viceversa). Es decir, la entrada $(i, j)$ de $A^T$ es la entrada $(j,i)$ de la matriz original $A$.
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Examples
Ejemplos
You can now try some of the exercises in Section 3.1 of or , try some chapter review exercises, or the topic true false quiz. Ahora puedes probar algunos ejercicios en la sección 3.1 de o , probar unos ejercisios de repaso, o bien el concurso verdadero falso de este tema. |