Uso de matrices para solucionar sistemas lineales

Este tutorial: Parte B: Solucionar sistemas por Gauss-Jordan
Algunos recursos enlínea para este tema:

• Utilidad enlínea Pivot y Gauss-Jordan
• Utilidad Excel enlínea Pivot y Gauss-Jordan (hoja de cálculo Excel descargable)
• Herramienta álgebra matriz
• Programa para pivotar para TI-82 y TI-83

En este tutorial empezamos utilizar las operaciones de renglón para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. (Si no está familizarizado con las operaciones de renglón, vaya a Parte A de este tutorial por pulsar "Tutorial anterior" situado a la izquierda.) Antes que nada, vamos a empezar fon un sistema bastante complicado, como

\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = \frac{1}{6} -2x + \frac{y}{4} = \frac{1}{2}

Matriz ampliada:

\mat{\[ \frac{1}{2} , \frac{2}{3}, \frac{1}{6} \]!-2,\frac{1}{4} , \frac{1}{2} }

Haremos algunas operaciones de renglón en la matriz para cambiarla, o reducirla como sigue:

\mat{\[ \frac{1}{2} , \frac{2}{3}, \frac{1}{6} \],! -2,\frac{1}{4} , \frac{1}{2}}	Un grupo de operaciones de renglón	\mat4{\[1, 0 , -0.2 \]! , , ! 0 , 1 , 0.4}
Matrtiz original		Matriz reducida

P Gran cosa. ¿De qué sirve hacerlo?
R Mire la matriz a la derecha. Si traducimos ;os reglones a ecuaciones (vea el tutorial anterior por ayuda con esto) obtenemos:

Renglón 1: 1x + 0y = -0.2, es decir, x = -0.2
Renglón 2: 0x + 1y = 0.4, es decir, y = 0.4

En otras palabras, tenemos la solución del sistema: x = -0.2, y = 0.4.

P Muy bien; estoy impresionado. Bueno, ¿c—mo se le ocurre cuales operaciones de renglón usar para cumplir esta transformación mágica?
R Haremos la reducción en varios pasos. Uno de los pasos clave será despejar una columna, y vamos a hablar de esto primero antes de descubrir el proceso entero. Para despejar una columna, primero necesitamos designar una entrada distinta de cero como un pivote.

\mat4{\[ 3 , 2 , -1 , 0 \]! 2 , -2 , 0 , -3 ! -2 , 5 , 1 , 2 }

Haga clic en una entrada distinta de cero para designarlo como un pivote.

Despejar la columna pivote, o pivotar, significa usar operaciones de tipas aR_i ± bR_j para obtener una matriz en la que el pivote es la única entrada en su columna distinta de cero. En otras palabras, todo lo demás en aquella columna es "despejado" (igual a cero).

Aquí están algunas matrices con la columna pivote despejada:

\mat2{\[ 3 , 4 , 1 \]! 0, 35, 14}       \mat2{\[ 4 , 2 , 1 , -3 \]! 0 , 11 , 0 ,-1!0, 35, 14, 4}       \mat2{\[ 12 , 0 , 1 , -3 \]! 0,  -3  , 11 , 0 !0, 0, 35, 4} P ¿c—mo se puede saber cuales operaciones de renglón usar para despejar una columna?
R Antes de revelar el secreto, vamos a echar un vistazo a como se lo hace en un caso sencillo: \mat4{\[ 3 , 4 , 1 \]! -8 , 1 , 2,3R_2 + 8R_1}       \mat4{\[3, 4 , 1 \]! 0 , 35, 14} Ingrese la operación de renglón aR_i ± bR_2 necesaria para despejar la columna pivote.
Regla: los coeficientes a y b deben ser números enteros, y un signo de menos no puede aparecer al principio de la operación.

Ejemplos de operaciones de renglón permitidas: 3R1+4R2,  5R1-6R2,  R1+R2,  R1-3R2  
Ejemplos de operaciones de renglón no permitidas: -3R1+4R2,  -5R1-6R2,  (1/2)R1+3R2

     

Repits, pero haga caso que esta vez la columna pivote es la columna segunda, y la entrada en a columna segunda debe cambiar a cero.

     

P ¡¡¡AUXILIO!!! Estoy todavia confundido. Como puedo obtener las operaciones necesarias para despejar la columna pivote?
R Sigue una manera mecánica para obtener estas operaciones de renglón, ilustrada con tres ejemplos:

Como despejar una columna 1. Una vez que este designado el pivote, fíjese en la "columna pivote". Esta es la columna que contiene el pivote designado: \mat2{\[ 3 , 4 , 1 \]! , , ! -8 , 1 , 2} \mat2{\[ 2 , 3 , 4 , 1 \]! 0 ,  2 , 4 , 1! 0 , -6 , 1 , 2} \mat2{\[ 2 , 4 , 0 , 4 \]! 0 , 5 , 2 , 1! 0 , 0 ,  1  , 2} 2. Para despejar la columna pivotes, tendrá que obtener ceros en lugar de todas las entradas azules por cambiar sus renglones. A lo lado de cada renglón que quiere cambiar -- es decir, a lo lado de cada renglón con una entrada azul que no ya es cero -- escriba el nombre de aquel renglón a la izquierda, y el renglón pivote a la derecha: \mat2{\[ 3 , 4 , 1 \]! , , ! -8 , 1 , 2,   R_2     R_1} \mat2{\[ 2 , 3 , 4 , 1 \],   R_1     R_2! 0 ,  2 , 4 , 1! 0 , -6 , 1 , 2 ,   R_3     R_2} \mat2{\[ 2 , 4 , 0 , 4 \]! 0 , 5 , 2 , 1 ,   R_2     R_3! 0 , 0 ,  1  , 2} 3. A lo lado de la etiqueta azul escriba el valor absoluto del número rojo, y a lo lado de la etiqueta roja escriba el valor absoluto del número azul: \mat2{\[ 3 , 4 , 1 \]! , , ! -8 , 1 , 2, 3R_2     8R_1} \mat2{\[ 2 , 3 , 4 , 1 \], 2R_1     3R_2! 0 ,  2 , 4 , 1! 0 , -6 , 1 , 2 , 2R_3     6R_2} \mat2{\[ 2 , 4 , 0 , 4 \]! 0 , 5 , 2 , 1 , 1R_2   2R_3! 0 , 0 ,  1  , 2} 4. Si los números azul y rojo tengan lo mismo signo, introduzca un signo de menos(-), pero si tengan signos distintos, introduzca un signo de más (+): \mat2{\[ 3 , 4 , 1 \]! , , ! -8 , 1 , 2, 3R_2 + 8R_1} \mat2{\[ 2 , 3 , 4 , 1 \], 2R_1 - 3R_2! 0 ,  2 , 4 , 1! 0 , -6 , 1 , 2 , 2R_3 + 6R_2*} \mat2{\[ 2 , 4 , 0 , 4 \]! 0 , 5 , 2 , 1 , R_2 - 2R_3! 0 , 0 ,  1  , 2} El resultado de hacer estas operaciones serán despejar la columna pivota (¡Pruebalas!) *NOTA Podemos (¡y debemos!) usar números más pequeños cuando los coeficientes tienen un factor común. Por ejemplo, en lugar de 2R_3 + 6R_2 que usamos en la matriz media, es mejor usar R_3 + 3R_2 (divide los coeficientes originales 2 y 6 el factor común 2). De modo parecido, 8R_3 - 12R_2 puede ser reemplazado por 2R_3 - 3R_2 (divide por el factor común 4). El resultado de usar los coeficientes más pequeñas será una matriz con entradas más pequeñas.

Ejemplo para usted Introduzca las operaciones de renglón aR_i ± bR_2 necesarias para despejar la columna pivote.

 

Como reducir una matriz

Ahora podemos escribir los pasos para reducir una matriz (y de ahí escribir la solución del sistema de ecuaciones que puede representar).

Paso 1: Eliminar todas las fracciones y/o decimales (si hay). Eliminamos todas las fracciones y los decimales por multiplicar las renglones que los contengan por números enteros apropiados. El el ejemplo que estamso considerando, lo podemos hacer por multiplicar el primer renglón por 6 y el segundo por 4 como sigue: \mat{\[ \frac{1}{2} , \frac{2}{3}, \frac{1}{6} \], 6R_1 ! -2,\frac{1}{4} , \frac{1}{2} , 4R_2}       \mat4{\[3, 4 , 1 \]! , , ! -8 , 1 , 2}

Ejemplo de Paso 1 para usted: Ingrese las operaciones de renglón para eliminar fracciones y decimales, y también aplicarlas. (Por ejemplo, para ingresar la opeación que multiplica Renglón 1 por 20, meta 20R1. Si no hace falta, déjelo en blanco.)

Paso 2: Desginar como el pivote la primera entrada distinta de cero y desperjar su columna. Terminología: La primera entrada distinta de cero se llama la entrada destacada de aquel renglón. Por lo tanto, el pivote será la primera entrada in el primero renglón, a menos que es cero, en cual caso buscaríamos la primera que no es cero en el renglón. Si el renglón entero es cero, entonces omitimos este paso. En el ejemplo que estamos considerando, el pivote el la entrada (1, 1): \mat4{\[ 3 , 4 , 1 \]! -8 , 1 , 2,3R_2 + 8R_1}       \mat4{\[3, 4 , 1 \]! 0 , 35, 14}

Ejemplos de Paso 2 para usted: Clear the column of the indicated pivot. Si no necesita una operación cualquier renglón, déje en blanco su instrucción.         Pista Considere usar la Utilidad en-línea Pivot y Gauss-Jordan para ayudarle.     Repita con la siguiente matriz. Si no necesita una operación cualquier renglón, déje en blanco su instrucción.

Paso simplificación: Si, a cualquier etapa del proceso, todas las entradas en unrenglón son divisibles por un número entero, divide por aquel número entero -- una operación de Tipo 2. En el ejemplo que estamos considerando, observamos que las entradas en Renglón 2 son divisibles por 7, pues dividimos por 7; es decir multiplicamos por 1/7: \mat{\[3, 4 , 1 \]! 0 , 35, 14 , \frac{1}{7}R_2}       \mat5{\[3, 4 , 1 \]! 0 , 5, 2}           \mat{\[3, -6 , 0, 27 \],\frac{1}{3}R_1 ! 0 , -39, 13 , 0, \frac{1}{13}R_2 ! 1, 0 , 5, 2}       \mat5{\[ 1 , -2 , 0 , 9 \]! 0, -3, 1 , 0 ! 1, 0 , 5, 2} Aunque son opcionales los pasos simplificación, son enormemente útil porque hacen más peqeñas las entradas. Por ejemplo, si omitamos el paso simplificación en la matriz a la izquierda, tendríamos que tratar de entradas como 35 y 14 a partir de ahora. En esta página, y también en la utilidad enlínea Pivot y Gauss-Jordan, puede ingresar esta operación renglón como (1/7)R2 (pero no como R2/7). Aviso No haga ningún operacaión que resulta en fracciones. Depués de Paso 1, tratamos solamente de matrices enteras hasta el paso final.

Paso 3: Designar como el pivote la entrada destacada en el renglón siguiente y despeje su columna. Repita hasta el último renglón. Por lo tanto, el pivote será la primera entrada distinta de cero en aquello renglón. Si un renglón entero es cero, entonces vamos al próximo renglón. En el ejemplo que hemos sido considerando, la entrada destacada en Renglón 2 es el 5, así que pivotamos sobre el 5: \mat4{\[3, 4 , 1 \], 5R_1 - 4R_2! 0 ,  5 , 2}       \mat4{\[ 15 , 0 , -3 \]! 0 , 5 , 2} Pues no hay más renglones, hemos terminado con el Paso 3.

Ejemplo de todos los pasos hasta ahora para usted: Siga las intrucciones para hacer todos los pasos hasta ahora: Haga clic en el pivote primero.

Paso final: Convierta todas las entradas destacadas en 1 por dividir cada renglón por el valor de su entrada destacada. En el ejemplo consideramos antes (vea Paso 3 más arriba) terminamos con la siguiente matriz después de Paso 3 (las entradas destacadas son encajonadas): \mat4{\[  15  , 0 , -3 \]! 0 ,  5  , 2} To turn the leading entries into 1s, we divide the first row by 15 and the second by 5: \mat4{\[ 15 , 0 , -3 \], \frac{1}{15}R_1! 0 , 5 , 2, \frac{1}{5}R_2}       \mat4{\[ 1 , 0 , -\frac{3}{15} \]! 0 , 1 , \frac{2}{5}} ¡Y somos terminados! Obtenemos la solución por traducir los renglones en ecuaciones: x = -\frac{3}{15} or -0.2 y = \frac{2}{5} or 0.4 (Si se desplaces hasta el inicio de la página y pulse el botón "Muestra Operaciones" verá todas las operaciones en todos los pasos que lleva a este resultado.)

Ejemplo del paso final para usted: Más abajo tenemos una matriz en la que han sido despejadas todas las columnas de las entradas destacadas. Ingrese las operaciones para hacer el paso final y también la matriz resultante.     La solución del sistema asociadao es entonces x = y = z =

P Siempre obtenemos las entradas destacadas andando diagonalmente como hemos sido viendo en los ejemplos más arriba?
R No siempre; podemos, por ejemplo, obtener un cero donde esperamos ver una entrada destacada, o un renglón entero de ceros. En el siguiente tutorial consideramos tales cosas.

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Ultima actualización: octubre, 2009
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