Uso de matrices para solucionar sistemas lineales

Este tutorial: Parte C: Sistemas inconsistentes y indeterminados Algunos recursos enlínea para este tema:

• Utilidad enlínea Pivot y Gauss-Jordan
• Utilidad Excel enlínea Pivot y Gauss-Jordan (hoja de cálculo Excel descargable)
• Herramienta álgebra matriz
• Programa para pivotar para TI-82 y TI-83

¡Muy bien! Sabe como pivotar y reducir una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineal. No obstante, el tutorial anterior nunca dejó en claro exactamente qué se significa por "reducido." Esto es nuestra tarea primera.

Recuerde que la entrada destacada de un renglón es la primera entrada distinta de cero en aquel renglón.

Forma escalonada reducida Una matriz es en la forma escalonada reducida (o simplemente reducida ) si: La entrada destacada en cada renglón es 1. La columna de cada entrada destacada is despejada; es decir, las otras entradas en aquella columna son todos ceros. (Nota: Columnas que no contienen entradas destacadas no necesitan ser despejadas.) Las renglones están ordenados de modo que las entradas destacadas van de izquierda a derecha a medida que vamos de arriba a abajo. Además, renglones de ceros (si hay) están en la parte inferior. Ejemplos: 1. \mat2{\[\box{ 1 } , 0 , 0 , 3 \]! 0 , \box{ 1 } , 0 , 2 ! 0 , 0 , \box{ 1 }, 9 }       2. \mat2{\[\box{ 1 } , -9 , 0 , 3 \]! 0 , 0 , \box{ 1 } , 5 ! 0 , 0 , 0 , 0 }      3. \mat2{\[\box{ 1 } , 0 , 0 , 0 \]! 0 , \box{ 1 }, 0 , 0 ! 0 , 0 , \box{ 1 } , 0 ! 0 , 0 , 0 , \box{ 1 } }      4. \mat2{\[ 0 , \box{ 1 } , 3 , 0 , 0 \]! 0 , 0 , 0 , \box{ 1 }, 0 ! 0 , 0 , 0 , 0 , \box{ 1 } ! 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }

Ejemplo para usted Decide si o no cada una de las matrices siguientes es escalonada reducida. Reducida No reducida Reducida No reducida Reducida No reducida Reducida No reducida

P ¿Como se reduce una matriz a la forma escalonada reducida?
R Recuerde el procedimiento de resolver sistemas de ecuaciones lineales usamos en Parte B. (Si no puede, regrese a aquella parte de la tutorial por pulsar "Tutorial anterior.") Usamos el técnico de pivotar para despejar las columnas de las entradas destacadas, y entonces, como un paso final, convertimos las entradas destacadas en 1s. Por lo tanto, lo que tuvimos, aparte de una posible reorganización de los renglones, fue una matriz escalonada reducina. En otras palabras, ¡ya ya sabe el método de reducir una matriz a la forma escalonada reducida!

P ¡Espere! ¿Qué significa eso de "reorganización de los renglones?" ¿Cómo podemos hacerlo con operaciones de renglón?
A Se puede reorganizar los renglones de una matriz en cualquier orden por repetidamente intercambiar pares de renglones (el intercambio de dos renglones es una de las operaciones enumeradas en Parte A de este tutorial). Este proceso puede ser necesario para cumplir propiedad (3) para la forma escalonada reducida.

Cada una de las siguientes matrices falta un solo paso para ser reducida. Cumpla la reducción y muestre el regultado.
Como intercambiar dos renglones: Para cambiar, por ejemplo, Renglones 1 y 2, teclee swap(R1,R2) o swap(R2,R1) a lo lado de cualquier uno renglón, y deje en blanco los otros.

   

 

   

P Bueno ¿qué es tan interesante de la forma escalonada reducida?
R Recuerde cuando, al principio de la Parte B de este tutorial, usamos la forma escalonada reducida de una matriz para escribir la solución por simplemente convertir los renglones en ecuaciones; por ejemplo, la matriz reducida

que representa sistema de ecuaciones en tres incógnitos x, y, z se traduce en ecuaciones como x = 3, y = 2, z = -3. Esta el una sola solución; es la única solución que satisface aquel sistema.

P ¿Qué tal las matrices reducidas que miran más estrañas y no tienen 1s en la diagonal, como

R Como antes, traduzca los renglones en ecuaciones (usando los nombres x, y, z, u para los incógnitos):

Renglón 1: 0x + 1y + 0z + 0u = 4; es decir,   y = 4
Renglón 2: 0x + 0y + 0z + 1u = -5; es decir,   u = -5

Pues estas ecuaciones no digan absoludamente nada de x y z, podemos darlas cualquiera valores que queremos y todavía satisfacer las ecuaciones. Por ejemplo,

(x, y, z, u) = (100, 4, -600, -5)

es una solución del sistema más arriba porque los valores de los incógnitos satisfacen los dos ecuaciones más arriba. La solución general es

x arbitraria
y = 4
z arbitraria
u = −5

porque incluye todos los posibilidades para todos los incógnitos. Aquí, el sistema de ecuaciones lineales tiene un número infinito de soluciones.

P Muy bien ¿qué tal de

A Por traducir los renglones en ecuaciones obtenemos:

Renglón 1: y + 3z = 4 o, en otras palabras, y,   y = 4 - 3z
Renglón 2: u = -5

Estas ecuaciones nos dicen que y y u tinen que ser (una vez que tenemos z), pero no que tienen que ser x y z, así que la solución es:

Solución general	Una solución particular
x arbitraria y = 4 - 3z z arbitraria u = −5	x = 100 y = 4 - 3(-600) = 1804 z = −600 u = −5

La elección diferentes valores de x y z nos da soluciones particulares diferentes. En resumen:

Como obtener la solución general de un sistema de ecuaciones lineales 1. Reduzca la asociada matriz ampliada a la forma escalonada reducida. 2. Traduzca cada renglón en una ecuación, y despeja la variable que ocurre primero (y corresponde a la entrada destacada de aquel renglón). 3. Todas las variables no despejadas son arbitrarias.

Ejemplos para usted: La forma reducida de la matriz ampliada de un cierto sistema de ecuaciones lineales es La solución general es: Una solución particular del sistema representado mas arriba es: x = ,   y = Respuestas deben ser números; no formulas. Un otro sistema tiene incógnitos x, y, z, s, t y la matriz escalonada reducida La solución general es: x =   y = z =     Ingrese arbitraria para cada variable que es arbitraria. s = t =     Una solución particular del sistema representado mas arriba es: x = ,   y =   z = ,   s =   t = Respuestas deben ser números; no formulas.

Como reconocer un sistema inconsistente. Hasta este punto nunca consideramos que sucedería si la entrada destacada de cualquier renglón en la matriz escalonada reducida es en la última (respuesta) columna, como, por ejemplo en El penúltimo renglón se traduce en la ecuación 0x + 0y + 0z + 0s = 1, o   0 = 1 que es una declaración falss. Si recordamos que los renglones de una matriz nos dan ecuaciones que tienen que ser satisfechas por cada solución, debemos concluir que no puede ser ningún solución pues cada solución debiera satisfacer ¡una ecuación falsa! En otras palabras, el sistema original de ecuaciones es inconsistente, y no tiene ningunas soluciones. La moraleja: Si, durante el proceso de reducir una matriz, se encuentre cualquier renglón de la forma [0 0 0 0 ... 0 k] con k no cero, entonces puede dejar de trabajar porque el sistema original es inconsistente.

Ahora tiene varias opciones. Puede:

• probar algunas preguntas en el concurso verdadero/falso (aviso: cubre todo el capitulo 2) por regresar a la página "Todo para matem‡ticas finitas";
• probar algunos ejercicios de repaso por hacer clic en la enlace a la izquierda;
• probar algunos ejercicios en la Sección 2.2 de o .

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Ultima actualización: octubre, 2009
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