7.3: Probabilidad y modelos de probabilidad Versión juego

Este tutorial: Parte A: Conceptos básicos
Siguiente tutorial: Parte B: Probabilidad de uniones, intersecciones, y complementos

Si repase el tutorial sobre frecuencia relativa observara que frecuencia relativa se cumple ciertas básicas propiedades. El concepto matemático de "probabilidad" generaliza esta idea:

Probabilidad; Disribución de probabilidad
Una distribución de probabilidad (finita) es una asignación de un número P(s_i), la probabilidad de s_i, a cada resultado s_i en un espacio muestral S = \{\.s_1, s_2, ..., s_n\.\}. Las probabilidades se deben cumplir

1. 0 ≤ P(s_i) ≤ 1 La probabilidad de cada resultado es entre 0 y 1 inclusivo.

2. P(s_1) + P(s_2) + ... + P(s_n) = 1 Las probabilidades de todos los resultados suman 1.

Encontramos la probabilidad de un suceso E, escrita P(E), por sumar las probabilidades de todos los resultados en E. Si P(E) = 0, llamamos a E un suceso imposible. El suceso es imposible, pues no hay resultados para sumar.
Ejemplos:
1. Todos los ejemplos de las distribuciones de frecuencia relativa que miramos en el tutorial anterior son ejemplos de distribuciones de probabilidad.
2. Tome S = \{a, s\} (el conjunto de los resultados cuando tiramos una moneda) y haga las asignaciones P(a) = .5, P(s) = .5. Pues estos números son entre 0 y 1, y suman 1, especifican una distribución de probabilidad.
3. No es necesario que P(a) and P(s) sean iguales a .5: podemos escoger cualquier valores no negativos para P(a) y P(s), con tal de que suman 1, como por ejemplo P(a) = .2, P(s) = .8.
4. Tome S = \{\.1, 2, 3, 4, 5, 6\.\}. La siguiente tabla da una distribución de probabilidad para S.

Resultado 1 2 3 4 5 6

Probabilidad

Por usar la tabla, obtenemos

P({5, 6}) =

Note: Pues frecuencia relativa tiene las propiedades más arriba, toda propiedad de probabilidad que derivemos aplique igualmente a frecuencia relativa.

En lugar de actualmente hacer un experimento muchas veces para obtener una distribución de probabilidad, podemos frecuentemente obtener una por analizar el experimento y predecir las que deberían ser las frecuencias relativas:

Modelos de probabilidad
Un modelo de probabilidad para un experimento particular es una distribución de probabilidad que predice la frecuencia relativa de cada resultado cuando está repetido el experimento un gran número de veces. Justo como ocasionalmente referimos a frecuencia relativa como "probabilidad estimada," ocasionalmente referimos a probabilidad modelada como probabilidad teorética.
Ejemplos:
1. Modelo moneda justa (Vea Ejemplo 2 más arriba): Lance una moneda justa y observe el lado orientado hacia arriba. Pues esperamos que salga águila tan probable que sol, modelamos este experimento con la distribución de probabilidad especificada por SS = \{a, s\}, P(a) = .5, P(s) = .5.
2. Modelo moneda no justa (Vea Ejemplo 3 más arriba): Tome SS = \{a, s\}, P(a) = .2, P(s) = .8. podemos pensar en este como un modelo de probabilidad para el experimento de lanzar una moneda no justo que es cuatro veces más propenso a parar con águila hacia arriba que sol.
3. Modelo dado justo Lance un par de dados y observe el número orientado hacia arriba. Pues esperamos obtener cada resultado un sexto de las veces, modelamos el experimento con la distribución de probabilidad especificada por S = \{\.1, 2, 3, 4, 5, 6\.\}, P(1) = 1/6, P(2) = 1/6, ..., P(6) = 1/6.
4. Modelo dos dados Lance un par de dados (recuerde que hay un total de 36 resultados si los dados son distinguibles). Entonces un modelo apropiado del experimento tiene
con cada resultado asignado una probabilidad de 1/36.
5. Mire al ejemplo anterior, y tome para E el suceso de que la suma de los números oientados hacia arriba sea , de modo que .

Por las propiedades de las istribuciones de probabilidads, P(E) =

Si F es el suceso de que la suma sea , entonces

P(F) =

Vimos en Ejemplo 5 que sumar las probabilidades de los resultados individuales en un suceso E es lo mismo que calcular la razón (Número de los resultados favorables)/(Número total de los resultados);

P(E) =

Número de los resultados favorables

Número total de los resultados

n(E)

n(S)

Este procedimiento se aplica solamente cuando todos los resultados son equiprobables; es decir, cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir.

Modelos de probabilidad para resultados equiprobables

En une experimento en lo que todos los resultados son equiprobables, modelamos el experimento por tomar para la probabilidad de un suceso E la razón

P(E) =

Número de los resultados favorables

Número total de los resultados

n(E)

n(S)

Los resultados "favorables" son los resultados en E.

Ejemplos

1. P Si lanzamos una moneda tres veces, ¿qué es la probabilidad (modelada) de obtener exactamente dos águilas?
R Para usar la formula más arriba necesitamos saber n(S) y n(E) :

S = \{\. aaa, aas, asa, saa, ass, sas, ssa, sss \.\}

n(S) = 8.

E = Conjunto de los resultados con dos águilas = \{\. aas, aasa, saa \.\}

n(E) = 3.

Por lo tanto,

P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8}.

2. Lance una moneda tres veces. La probabilidad de tirar es

La probabilidad de tirar is

3. P Si se lance un par de dados justos, ¿qué es la probabilidad de que salga un doble (es decir, ambos números lo mismo)?
R Podemos usar el modelo de dados distinguibles (cuyos resultados son equiprobables) que vimos más arriba:

n(S) = 36

E = \{\.(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\.\}

Por lo tanto,

P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.

4. Escoja al azar una persona de una clase de , el la que tienen pelo escarlata, tienen pelo verde, tienen pelo azul, and tienen pelo naranja. Sea E el suceso de que una persona seleccionada al azar tiene pelo , entonces

Sea F el suceso de que una persona seleccionada al azar no tiene pelo , entonces

Decimos más arriba que la probabilidad modelada predice la frecuencia relativa cuando está repetido el experimento un gran número de veces. Aquí está una simulación para verificar este hecho experimentalmente:

Simulación de dados
En este experimento tiraoms dos dados repetitivamente y calcular la frecuencia relativa de que el resultado es un doble. Ya vimos más arriba que esta probabilidad es 1/6 ≈ .1667. Clic en cualquier de los botones "Lanzar dados" en sucesión para ver la gráfica de frecuencia contra el número de tiradas N. A medida que N se vuelve más y más grande, la frecuencia relativa debe acercarse a la probabilidad modelada de 1/6.

N Tamaño muestral) Diferencia (Red - Green)

fr(E) (Frecuencia) P(E) (Frecuencia relativa)

El próximo concurso parece a Ejemplo 1 en la Sección 7.3 de y : Está jugando cartas, y es repartido una mano de cinco cartas de una baraja estándar de 52. El número de todas las manos posibles es 2,598,960. El número de todas las manos posibles de cartas solo rojas (diamantes y corazones) is 65,780 (igual al número de todas las manos posibles que constan de cualquier par de palos). El número de las manos posibles de puro diamantes es 1287 (igual al número de todas las manos posibles que constan de cualquier solo palo). El número de las manos posibles que no incluyan ningún diamante es 575,757 (igual al número de todas las manos posibles que excluyan cualquier palo particular). La probabilidad de ser repartido una mano que es aproximadamente:

La probabilidad de ser repartido un mano de 5 cartas es aproximadamente:

Si está repartido una mano de cinco de una baraja estándar, entonces la probabilidad que tenga una mano de puro diamantes es aproximadamente:

Se lanza una moneda tres veces. Sea

E_0

E_1

E_2

E_3

Reellene la siguiente tabla de distribución probabiulidad y pulse

Nota acerca de populaciones y muestras

P El año pasado, 450 de mis 500 clientes compraron videos enlínea. Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar compró un video es 450/500 = .9. ¿Es esto probabilidad estimada (es decir, frecuencia relativa) o probabilidad "actual" (es decire, probabilidad modelad0)?
R Somos dados toda la información que necesitamos para calcular probabilidad modelado, pues sabemos la proporción actual1 de los clientes quienes compraron videos. Por otro lado, so estuviera el siguiente el escenario

"El año pasado, 450 de 500 clientes encuestados compraron videos enlínea," entonces no sabríamos la proporción actual, pues puede ser más clientes que los que fueron encuestados. Por lo tanto, la probabilidad sería estimada (frecuencia relativa) como esta basado en una muestra en lugar que la población entera.

Para más práctica, puede probar algunos ejercicios de repaso o bien ejercicios de la Sección 7.2 en el libro o . O bien, pulse "tutorial siguiente" para continuar con este tema.

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