Note To understand this section, you should be familiar with the notion of a limit and how to estimate them graphically and numerically. Otherwise, you should
Nota Para entender esta sección, debes ser familiarizado con la la idea de un límite y como estimarlos gráficamente y algebraicamente. Si no, debes
Consider the following limit:
Considera el siguiente límite:
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$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x}{4x + 3}.$
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$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x}{4x + 3} ≈ -0.1818.$
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$f(x) = \frac{x^2 - 3x}{4x + 3}$
$f(2) = \frac{4 - 6}{8 + 3} = -\frac{2}{11} = -0.181818...$
Compute the following limits:
Calcula los siguientes límites:
- First try using simplification or some other technique to replace $f$ by another closed form function which does have $x = a$ in its domain. This allows you to substitute $x = a$ in the new function to obtain the limit.
- If the function does not simplify to one with $x = a$ in its domain, try to determine analytically whether it diverges to ±∞ (we will see some examples below).
- If the above methods do not work, try evaluating the limit numerically or graphically. Note, however, that this method only gives you an estimate of the limit.
- Primero intenta usar simplificación o algún otra técnica para reemplazar $f$ por una otra función de forma cerrada que sí tiene $x = a$ en su dominio. Entonces puedes sustituir $x = a$ en la nueva función para obtener el límite.
- Si no simplifica la función a una con $x = a$ en su dominio, prueba determinar analíticamente si diverge a ±∞ (veremos algunas ejemplos más abajo).
- Si no son posibles los métodos más arriba, entonces intenta estimar el límite numéricamente o gráficamente. Nota, sin embargo, que este método te da solo una estimación del límite actual.
&7
Is that all there is to evaluating limits algebraically: just substitute the number that $x$ is approaching in the given expression?
¿Ese es todo para evaluar límites algebráicamente: sustituye el número a cual se esta acercando $x$ en la dada expreción?
&8 Not always, but this often does happen, and when it does, the function is continuous at the value of $x$ in question. In fact, the definition of continuity from the says exactly this: A function is continuous at $x = a$ if we can obtain the limit at $a$ by substitution: No siempre, pero frecuentemente sí, en cual caso es continua la función al valor de x en cuestión. De hecho, la definición de continuidad en el dice precisamente ésto: Una función es continua a $x = a$ si podemos obtener el límite a $a$ por sustitución:
&8 Not always, but this often does happen, and when it does, the function is continuous at the value of $x$ in question. In fact, the definition of continuity from the says exactly this: A function is continuous at $x = a$ if we can obtain the limit at $a$ by substitution: No siempre, pero frecuentemente sí, en cual caso es continua la función al valor de x en cuestión. De hecho, la definición de continuidad en el dice precisamente ésto: Una función es continua a $x = a$ si podemos obtener el límite a $a$ por sustitución:
Continuous function
Función continua
Let $f$ be a function and let $a$ be a number in the domain of $f$. Then $f$ is continuous at $a$ if:
b. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
The function $f$ is continuous on its domain if it is continuous at each point in its domain. If $f$ is not continuous at a particular point $a$ in its domain, we say that $f$ is discontiuous at $x = a$ or that $f$ has a discontinuity at $x = a$.If $a$ is not in the domain of $f$, then we cannot say either that $f$ is discontinuous at $a$ or that $f$ is discontinuous at $a$, but instead say that $f$ is singular at $a$ in the event that $a$ is close to points that are in the domain of $f$ (see the the preceding tutorial).
Sea $f$ una función y sea $a$ un número en el dominio de $f$. Entonces $f$ es continua en el punto $a$ si:
a. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
La función $f$ es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. Si $f$ no es continua a un punto particular $a$ de su dominio, decimos que $f$ es discontinua a $x = a$ o que $f$ tiene una discontinuidad a $x = a$.Si el punto $a$ no está en el dominio de $f$, entonces no podemos decir que $f$ es continua en $a$ ni discontinua en $a$; decimos en cambio que that $f$ es singular en $a$ en el caso de que $a$ es cercano a puntos que estan en dominio de $f$ (ve el tutorial anterior).
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&7
How does one know whether or not a function is continuous?
¿Como se sabe si o no es continua una función?
&8As we saw in the previous tutorial, we can tell whether a function is continuous by looking at its graph: If the graph of $f$ breaks at some point in the domain, then $f$ has a discontinuity there. If the function is specified algrabcially, it is usually easy to tell whether it is continuous by just looking at the formula:
Como vimos en el tutorial anterior, podemos saber si es continua una función por mirar su gráfica: Si hay una interrupción en la gráfica de $f$ a algún punto en el dominio, entonces tiene $f$ una discontinuidad allí. Si se especifica algebraicamente la función, es usualmente fácil determinar si o no es continua por simplemente mirar su formula:
&8
Closed-form functions Funciones de forma cerrada A function is written in closed form if it is specified by combining constants, powers of $x$, exponential functions, radicals, logarithms, absolute values, trigonometric functions (and some other "well-known" functions) into a single mathematical formula by means of the usual arithmetic operations and composition of functions. A closed-form function is any function that can be written in closed form. Escribir una función en forma cerrada significa escribir su formula por combinar constantes, potencias de $x$, funciones exponenciales, radicales, logaritmos, valores absolutos, funciones trigonométricas (y varias otras funciones "bien-conocidas") en una sola formula matemática a través de las operaciones aritméticas usuales y composición de funciones. Una función de forma cerrada es cualquiera función que se puede escribir in forma cerrada. | ||||||
&2s
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If the closed-form function is defined at x = a, then setting x = a gives the limit.
Note When $a$ is an endpoint of the domain of $f$, we understand the limit to be the appropriate one-sided limit.
Si es definida la función de forma cerrada cuando x = a, entonces poner x = a da el límite.
Nota Si $a$ es un punto extremo del dominio de $f$, intenderamos que el límite significa el límite isquierdo o dereceho, segœn corresponda.
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&2
$f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 3}$
In each of the following, select the correct choice and enter the limit, it if exists. If a limit does not exist, enter dne as the answer.
Algunos para ti:En los siguentes, elige la opción correcta y engresa el límite, si existe. Si no existe el límite, ingresa ne como la respuesta.
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Evaluating a limit at a point not in the domain Evaluación de un límite en un punto no en el dominio
&7
What if $f$ is a closed form function, but we want to find the limit at a point $x = a$ that is not in the domain of the function?
¿Y si $f$ es una función de forma cerrada, pero necesitamos hallar el límite en un punto $x = a$ que no es en el dominio de la función?
&8Then you can use the following strategy:
En este caso puedes usar la siguiente estrategia:
&8
1. Is the function $f$ a closed form function?
Therefore, we refer to the first strategy suggested in the above discussion, and simplify the function, if we can:
Answer: Yes, because $(3x^2 + x - 10)/(x + 2)$ is a single mathematical formula as specified above.
2. Is the value $x = a$ in the domain of $f$?
Answer: No; substituting $x = -2$ makes the denominator zero, so $f(-2)$ is not defined.
1. ¿Es de forma cerrada la función $f$?
Por lo tanto, referimos a la primera estrategia sugerida en el discurso más arriba y simplificamos la función, si sea posible:
Respuesta: Sí, ya que $(3x^2 + x - 10)/(x + 2)$ es una sola fórmula matemática como especificada más arriba.
2. Es el valor $x = a$ en el dominio de $f$?
Respuesta: No; sustituir $x = -2$ nos da un cero en el denominador, así no está definida $f(-2)$.
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$\frac{3x^2 + x - 10}{x + 2} = \frac{(x + 2)(3x - 5)}{(x + 2)} = 3x - 5.$
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$\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + x - 10}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (3x - 5) = 3(-2) - 5 = -11.$
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$\frac{3x^2 + x - 10}{x + 2} = \frac{3(-2)^2 + (-2) - 10}{-2 + 2} = \frac{0}{0}$.
If substituting $x = a$ yields the indeterminate form 0/0, then you know absolutely nothing about the limit—even whether it exists or not. To determine what is going on, you need to simplify the function (or do some kind of further analysis).
Si la sustitución $x = a$ te da la forma indeterminada 0/0, sabes nada en absoluto acerca del límite—ni siquiera sí o no existe. Para determinar lo que está pasando, debes simplificar la función (o hacer cualquier tipo de análisis adicional).
&7
What if we end up with something else, like 3/0?
¿Y si nos queda otra cosa, como 3/0, qué?
&8 Think about what happens when you divide a nonzero number (such as −3) by a number very close to zero (such as 0.000001). The result is number with very large absolute value (such as $\sfrac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). It is for this reason that expression $k/0$ (where $k$ is nonzero) is referred to as a determinate form, as it always gives a definite answer for the limit: Piensa en lo que resulta cuando dividas un número distinto de cero (como −3) por un número muy cercano a cero (como 0.000001). El resultado es entonces un número con valor absoluto muy grande (como $\sfrac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). Es por eso que referimos a la expresión $k/0$ (en la que $k$ es distinto de cero) como una forma determinada, ya que nos siempre de una respuesta definida para el límite, como vemos aquí
&8 Think about what happens when you divide a nonzero number (such as −3) by a number very close to zero (such as 0.000001). The result is number with very large absolute value (such as $\sfrac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). It is for this reason that expression $k/0$ (where $k$ is nonzero) is referred to as a determinate form, as it always gives a definite answer for the limit: Piensa en lo que resulta cuando dividas un número distinto de cero (como −3) por un número muy cercano a cero (como 0.000001). El resultado es entonces un número con valor absoluto muy grande (como $\sfrac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). Es por eso que referimos a la expresión $k/0$ (en la que $k$ es distinto de cero) como una forma determinada, ya que nos siempre de una respuesta definida para el límite, como vemos aquí
The determinate form k/0
La forma determinada k/0
b. &4 $f(x)$ &11 &5 &6 $x \to a$, &17 $\lim_{x \to a} f(x) = -∞$. c. &4 $f(x)$ | |||||||||||||||
&2s
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Functions not in closed form
Funciones no en forma cerrada
- $f(x) = \matleft{\* -1 , \text{&3} -4 ≤ x < -1! x , \text{&3} -1 ≤ x ≤ 1! x^2 - 1 , \text{&3} 1 < x ≤ 2} .$
&30
- $f(x) = \matleft{\* -1 , \text{&3} -4 ≤ x < -1! x , \text{&3} -1 ≤ x ≤ 1! x^2 - 1 , \text{&3} 1 < x ≤ 2} .$
-
a. $x = 0$ &31 b. $x = -1$ &31 c. $x = 1$ &31 d. $x = 2$
Whether $f$ is continuous at $x = a$ depends only on what $f$ looks like in some open interval about $x = a$.
Si o no $f$ es continua en $x = a$ depende solamente en los valores de $f$ en alguno intervalo abierto alrededor de $x = a$.
a.
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-1) = -1$ | &32 $f(x) = -1$ &33 $x < -1$ | ||
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x = -1$. | &32 $f(x) = x$ &33 $x > -1$ | ||
$\lim_{x \to -1} f(x)$ |
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$ | &32 $f(x) = x$ &33 $x < 1$ | ||
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 - 1 = 0$. | &32 $f(x) = x^2 - 1$ &33 $x > 1$ |
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 - 1 = 3 = f(2)$. |
&30
Determine whether $f$ is continuous, discontinuous, or singular (see the the preceding tutorial) at the following points:
Determina si $f$ es continua, discontinua, o singular (ve el tutorial anterior) en los siguientes puntos:
-
$f(x) = \matleft{\* &34 , \text{&3} &38! &35 , \text{&3} &39! &36 , \text{&3} &40! &37 , \text{&3} &41} .$
You can now either try some of the online exercises on limits in chapter review exercises, or some of the many textbook exercises in Section 3.3 of or Section 10.3 of . To go on to part B of this tutorial, press on the sidebar.
Puedes ahora probar unos ejercicios en línea sobre límites a los ejercicios de repaso, o algunos de los muchos ejercicios en la sección 3.3 de o la sección 10.3 de . Para continuar al siguiente tutorial, pulsa el vínculo ubicado a la izquierda.
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