Take me back to the old tutorial! ¡Regrésame al tutorial más viejo!

Note To understand this section, you should be familiar with the notion of a limit and how to estimate them graphically and numerically. Otherwise, you should
Nota Para entender esta sección, debes ser familiarizado con la la idea de un límite y como estimarlos gráficamente y algebraicamente. Si no, debes
Consider the following limit: Considera el siguiente límite: If you estimate the limit either or you will find that Si estimas este límite or averiguarás que But, notice that you can obtain this answer by simply substituting $x = 2$ in the given function: Sin embargo, nota que puedes obtener este resultado más simplemente por sustituir $x = 2$ en la dada función: This answer is more accurate than the one coming from numerical or graphical method; in fact, it gives the exact limit. Esta respuesta es más exacta que la que resulta del método numérico o algebraico; de hecho, nos da es el límite exacto.
Compute the following limits: Calcula los siguientes límites:
&7 Is that all there is to evaluating limits algebraically: just substitute the number that $x$ is approaching in the given expression? ¿Ese es todo para evaluar límites algebráicamente: sustituye el número a cual se esta acercando $x$ en la dada expreción?
&8 Not always, but this often does happen, and when it does, the function is continuous at the value of $x$ in question. In fact, the definition of continuity from the says exactly this: A function is continuous at $x = a$ if we can obtain the limit at $a$ by substitution: No siempre, pero frecuentemente sí, en cual caso es continua la función al valor de x en cuestión. De hecho, la definición de continuidad en el dice precisamente ésto: Una función es continua a $x = a$ si podemos obtener el límite a $a$ por sustitución:

Continuous function Función continua

Let $f$ be a function and let $a$ be a number in the domain of $f$. Then $f$ is continuous at $a$ if:
    a. $\lim_{x \to a} f(x)$ exists, and
    b. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Note If the number $a$ is an endpoint of the domain, we will understand that the limit is the left or right limit, as appropriate.
The function $f$ is continuous on its domain if it is continuous at each point in its domain. If $f$ is not continuous at a particular point $a$ in its domain, we say that $f$ is discontiuous at $x = a$ or that $f$ has a discontinuity at $x = a$.

If $a$ is not in the domain of $f$, then we cannot say either that $f$ is discontinuous at $a$ or that $f$ is discontinuous at $a$, but instead say that $f$ is singular at $a$ in the event that $a$ is close to points that are in the domain of $f$ (see the the preceding tutorial).
Sea $f$ una función y sea $a$ un número en el dominio de $f$. Entonces $f$ es continua en el punto $a$ si:
    a. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, y
    a. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Nota Si el número $a$ es un punto extremo del dominio, intenderamos que el límite significa el límite isquierdo o dereceho, segœn corresponda.
La función $f$ es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. Si $f$ no es continua a un punto particular $a$ de su dominio, decimos que $f$ es discontinua a $x = a$ o que $f$ tiene una discontinuidad a $x = a$.

Si el punto $a$ no está en el dominio de $f$, entonces no podemos decir que $f$ es continua en $a$ ni discontinua en $a$; decimos en cambio que that $f$ es singular en $a$ en el caso de que $a$ es cercano a puntos que estan en dominio de $f$ (ve el tutorial anterior).
&7 How does one know whether or not a function is continuous? ¿Como se sabe si o no es continua una función?
&8 As we saw in the previous tutorial, we can tell whether a function is continuous by looking at its graph: If the graph of $f$ breaks at some point in the domain, then $f$ has a discontinuity there. If the function is specified algrabcially, it is usually easy to tell whether it is continuous by just looking at the formula: Como vimos en el tutorial anterior, podemos saber si es continua una función por mirar su gráfica: Si hay una interrupción en la gráfica de $f$ a algún punto en el dominio, entonces tiene $f$ una discontinuidad allí. Si se especifica algebraicamente la función, es usualmente fácil determinar si o no es continua por simplemente mirar su formula:
Closed-form functions Funciones de forma cerrada

A function is written in closed form if it is specified by combining constants, powers of $x$, exponential functions, radicals, logarithms, absolute values, trigonometric functions (and some other "well-known" functions) into a single mathematical formula by means of the usual arithmetic operations and composition of functions. A closed-form function is any function that can be written in closed form. Escribir una función en forma cerrada significa escribir su formula por combinar constantes, potencias de $x$, funciones exponenciales, radicales, logaritmos, valores absolutos, funciones trigonométricas (y varias otras funciones "bien-conocidas") en una sola formula matemática a través de las operaciones aritméticas usuales y composición de funciones. Una función de forma cerrada es cualquiera función que se puede escribir in forma cerrada.
&2s
1. The functions Las funciones $f(x) = 2x^2 - 7x + \frac{3 - x^2}{x}, g(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{6x + 4}, $ &0 $ h(x) = e^{-4x^2-2} $ are all closed-form functions.son todas funciones de forma cerrada.
2. $f(x) = \matleft{\* -1 , &3 x ≤ -1! x^2 + x , &3 -1 < x ≤ 1! 2 - x , &3 1 < x ≤ 2} $ is not written in closed form because $f(x)$ is not expressed by a single mathematical formula.no es escrita en forma cerrada ya que $f(x)$ no se expresa por una sola formula matemática.
Theorem: Continuity of closed-form functions Teorema: Continuidad de funciones de forma cerrada

Every closed-form function is continuous on its domain.

In other words, if $f$ is a closed-form function and $f(a)$ is defined, then $\text{lim}_{x \to a} f(x)$ exists, and equals $f(a)$. In other words,
If the closed-form function is defined at x = a, then setting x = a gives the limit.

Note When $a$ is an endpoint of the domain of $f$, we understand the limit to be the appropriate one-sided limit.
Cada función de forma cerrada es continua en su dominio.

En otras palabras, si $f$ es una función de forma cerrada y $f(a)$ está definida, entonces $\text{lim}_{x \to a} f(x)$ existe, y es igual a $f(a)$. En otras palabras,
Si es definida la función de forma cerrada cuando x = a, entonces poner x = a da el límite.

Nota Si $a$ es un punto extremo del dominio de $f$, intenderamos que el límite significa el límite isquierdo o dereceho, segœn corresponda.
&2
$f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 3}$ is a closed-form function. So:es una función de forma cerrada. Así:
    $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x}{x + 3} = f(2) = -\frac{2}{5}$ Because 2 is in the domain of $f$Porque 2 es en el dominio de $f$
    $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 3x}{x + 3} = f(-1) = 2$. Because −1 is in the domain of $f$Porque −1 es en el dominio de $f$
However,Sin embargo, $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 3x}{x + 3}$ cannot be obtained by substitution, as $-3$ is not in the domain of $f$.no se puede hallar por sustitución, ya que $-3$ no es en el dominio de $f$.

Some for you:
In each of the following, select the correct choice and enter the limit, it if exists. If a limit does not exist, enter dne as the answer.
Algunos para ti:
En los siguentes, elige la opción correcta y engresa el límite, si existe. Si no existe el límite, ingresa ne como la respuesta.

Evaluating a limit at a point not in the domainEvaluación de un límite en un punto no en el dominio

&7 What if $f$ is a closed form function, but we want to find the limit at a point $x = a$ that is not in the domain of the function? ¿Y si $f$ es una función de forma cerrada, pero necesitamos hallar el límite en un punto $x = a$ que no es en el dominio de la función?
&8 Then you can use the following strategy:
  1. First try using simplification or some other technique to replace $f$ by another closed form function which does have $x = a$ in its domain. This allows you to substitute $x = a$ in the new function to obtain the limit.
  2. If the function does not simplify to one with $x = a$ in its domain, try to determine analytically whether it diverges to ±∞ (we will see some examples below).
  3. If the above methods do not work, try evaluating the limit numerically or graphically. Note, however, that this method only gives you an estimate of the limit.
En este caso puedes usar la siguiente estrategia:
  1. Primero intenta usar simplificación o algún otra técnica para reemplazar $f$ por una otra función de forma cerrada que tiene $x = a$ en su dominio. Entonces puedes sustituir $x = a$ en la nueva función para obtener el límite.
  2. Si no simplifica la función a una con $x = a$ en su dominio, prueba determinar analíticamente si diverge a ±∞ (veremos algunas ejemplos más abajo).
  3. Si no son posibles los métodos más arriba, entonces intenta estimar el límite numéricamente o gráficamente. Nota, sin embargo, que este método te da solo una estimación del límite actual.
The following example is similar to Example 1(b) in Section 3.3 of or Section 10.1 of . El próximo ejemplo es similar a Ejemplo 1(b) en sección 3.3 de o sección 10.1 de .
Evaluate Evalua $\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + x - 10}{x + 2}.$
Solution Solución Ask yourself the following questions:
1. Is the function $f$ a closed form function?
Answer: Yes, because $(3x^2 + x - 10)/(x + 2)$ is a single mathematical formula as specified above.
2. Is the value $x = a$ in the domain of $f$?
Answer: No; substituting $x = -2$ makes the denominator zero, so $f(-2)$ is not defined.
Therefore, we refer to the first strategy suggested in the above discussion, and simplify the function, if we can:
Hazte las siguientes preguntas:
1. ¿Es de forma cerrada la función $f$?
Respuesta: Sí, ya que $(3x^2 + x - 10)/(x + 2)$ es una sola fórmula matemática como especificada más arriba.
2. Es el valor $x = a$ en el dominio de $f$?
Respuesta: No; sustituir $x = -2$ nos da un cero en el denominador, así no está definida $f(-2)$.
Por lo tanto, referimos a la primera estrategia sugerida en el discurso más arriba y simplificamos la función, si sea posible:
    $\frac{3x^2 + x - 10}{x + 2} = \frac{(x + 2)(3x - 5)}{(x + 2)} = 3x - 5.$
We are now left with a closed-form function that is defined at $x = -2$, and so we can now evaluate the limit by substituting $x = -2$: Ya nos queda una función de forma cerrada que sí está definida en $x = -2$, así que podemos evaluar el límite por sustituir $x = -2$:
    $\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + x - 10}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (3x - 5) = 3(-2) - 5 = -11.$
In each case, use simplificacion to replace the given function by one with $x = a$ in its domain, and hence obtain the limit by subsitution. If a limit does not exist, enter dne as the answer. En cada caso, usa simplificación para reemplazar la dada función por una que contiene $x = a$ en su dominio, y así obtiene el límite por substitución. Si no existe el límite, ingresa ne como la respuesta.
Note Take another look at the example just before the quiz: $\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + x - 10}{x + 2}$. Not only is the function not defined at $x = -2$, but the substitution $x = -2$ gives Nota Échate un vistazo al ejemplo justo antes el concurso: $\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + x - 10}{x + 2}$. No solo no es definida la función en $x = -2$, sino la sustitución $x = -2$ nos da
    $\frac{3x^2 + x - 10}{x + 2} = \frac{3(-2)^2 + (-2) - 10}{-2 + 2} = \frac{0}{0}$.
Worse than the fact that 0/0 is undefined, it also conveys absolutely no information as to what the limit might be (the limit turned out to be −11!). We therefore call the expression 0/0 an indeterminate form. Once simplified, the function became $3x - 5$, which, upon the substitution $x = -2$, yielded −11;—no longer an indeterminate form. Notice that the same applies to all three limits in the above quiz: Substituting $x = a$ yields the indeterminate form 0/0 in each case. Here is a rule of thumb:
If substituting $x = a$ yields the indeterminate form 0/0, then you know absolutely nothing about the limit—even whether it exists or not. To determine what is going on, you need to simplify the function (or do some kind of further analysis).
Aún peor que el hecho que no es definido 0/0, también nos da ninguna información en absoluto acerca del límite (¡resultó en este caso que el límite fue −11!). Por lo tanto, llamamos a la expresión 0/0 una forma indeterminada. Una vez simplificada, la función se convirtió en $3x - 5$, que, al hacer la sustitución $x = -2$, nos dio −11;—ya no más una forma indeterminada. Observa que lo mismo se aplica a todos tres límites en el concurso más arriba: La sustitución $x = a$ nos da la forma indeterminada 0/0 en cada caso. He aquí una regla práctica:
Si la sustitución $x = a$ te da la forma indeterminada 0/0, sabes nada en absoluto acerca del límite—ni siquiera sí o no existe. Para determinar lo que está pasando, debes simplificar la función (o hacer cualquier tipo de análisis adicional).
&7 What if we end up with something else, like 3/0? ¿Y si nos queda otra cosa, como 3/0, qué?
&8 Think about what happens when you divide a nonzero number (such as −3) by a number very close to zero (such as 0.000001). The result is number with very large absolute value (such as $\sfrac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). It is for this reason that expression $k/0$ (where $k$ is nonzero) is referred to as a determinate form, as it always gives a definite answer for the limit: Piensa en lo que resulta cuando dividas un número distinto de cero (como −3) por un número muy cercano a cero (como 0.000001). El resultado es entonces un número con valor absoluto muy grande (como $\sfrac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). Es por eso que referimos a la expresión $k/0$ (en la que $k$ es distinto de cero) como una forma determinada, ya que nos siempre de una respuesta definida para el límite, como vemos aquí

The determinate form k/0 La forma determinada k/0

If the substitution $x = a$ in the function $f$ yields $k/0$ with $k ≠ 0$, then Si la sustitución $x = a$ en la función $f$ nos da $k/0$ con $k ≠ 0$, entonces
    a. &4 $f(x)$ &11 &12 &6 $x \to a$, &17 $\lim_{x \to a} f(x) = +∞$.
    b. &4 $f(x)$ &11 &5 &6 $x \to a$, &17 $\lim_{x \to a} f(x) = -∞$.
    c. &4 $f(x)$ has both positive and negative values astiene valores positivos y también negativos cuando $x \to a$, &17 $\lim_{x \to a} f(x)$ &18.
&2s
&19 4
        ↓
1. $\lim_{x \to 2} \frac{3x - 2}{(x - 2)^2} = +∞$ Dividing 4 by a positive number very close to 0 yields a large positive number.Dividir 4 por un número positivo muy cercano a 0 resulta en un gran número positivo.
        ↑
&19 0+
&19 4
        ↓
2. $\lim_{x \to 2^-} \frac{3x - 2}{x - 2} = -∞$ Dividing 4 by a negative number very close to 0 yields a large negative number.Dividir 4 por un número negativo muy cercano a 0 resulta en un gran número negativo.
        ↑
&19 0
&19 4
        ↓
3. $\lim_{x \to 2} \frac{3x - 2}{x - 2} $ &18
        ↑
&19 0

Determine the following. (Enter +inf for +∞, -inf for −∞, and dne if the limit does not exist.) Determina los siguientes. (Ingresa +inf para +∞, -inf para −∞, y ne si no existe el límite.)
Functions not in closed form Funciones no en forma cerrada
Even when a function is not given in closed form but instead is piecewise defined, we can still analyze its continuity algebraically (in the the preceding tutorial we looked at such a function from the graphical viepoint). Aún cuando no está especificada una función en forma cerrada pero en cambio es definida a trozos, podemos todavía analizar su continuidad algebraicamente (en el tutorial anterior consideramos la continuidad de tal función desde el punto de vista gráfico). Let $f$ be the function given by Sea $f$ la función dada por
    $f(x) = \matleft{\* -1 , \text{&3} -4 ≤ x < -1! x , \text{&3} -1 ≤ x ≤ 1! x^2 - 1 , \text{&3} 1 < x ≤ 2} .$
As in the preceding tutorial, we are going to look at the continuity of $f$ at various points, but this time purely algebraically and without even looking at the graph. (You can see the graph by clicking here if you really want to, but try not to look.) Como en el tutorial anterior, vamos a considerar la continuidad de $f$ en varios puntos, pero esta vez puramente algebraicamente, sin aún mirar la gráfica. (Si lo realmente quieres, puedes mirar la gráfica por hacer clic aquí, pero intenta no mirar).


&30
    $f(x) = \matleft{\* -1 , \text{&3} -4 ≤ x < -1! x , \text{&3} -1 ≤ x ≤ 1! x^2 - 1 , \text{&3} 1 < x ≤ 2} .$
Determine whether $f$ is continuous at following points: Determina si o no $f$ es continua en los siguientes puntos:
    a. $x = 0$ &31 b. $x = -1$ &31 c. $x = 1$ &31 d. $x = 2$
Solution Solución Whether or not $f$ is continuous at $x = a$ depends on the limit as $x \to a$, and that limit depends only on the values of $f$ close to, and on either side of $x = a$ (if $a$ is not an endpoint of the domain). Put another way:
Whether $f$ is continuous at $x = a$ depends only on what $f$ looks like in some open interval about $x = a$.
Si o no $f$ es continua en $x = a$ depende del límite cuando $x \to a$, y ese límite depende solamente de los valores de $f$ cercanos a, y en ambos lados de $x = a$ (si $a$ no es un punto extremo del dominio). Es decir:
Si o no $f$ es continua en $x = a$ depende solamente en los valores de $f$ en alguno intervalo abierto alrededor de $x = a$.

a. $x = 0$ is in the interval $[-1, 1]$, on which $f(x) = x$. Moreover, $x = 0$ is an interior point (not an endpoint) of that interval, so that there is an open interval about $x = 0$ (for instance, $(-1/2, 1/2)$) on which $f(x) = x$, a closed-form function. Therefore, $f$ is continuous at $x = 0$. Show me a picture anyway. $x = 0$ es en el intervalo $[-1, 1]$, en el que $f(x) = x$. Además, $x = 0$ es un punto interior de aquel intervalo (no un punto extremo), así que hay un intervalo alrededor de $x = 0$ (por ejemplo, $(-1/2, 1/2)$) en el que $f(x) = x$, una función de forma cerrada. Por lo tanto, $f$ es continua en $x = 0$. De todas formas, muéstrame un dibujo.

b. $x = -1$ is also in the interval $[-1 , 1]$. However, $x = -1$ is not an interior point; every open interval about $x = -1$ also contains points in the first interval $[-4, -1)$, so we cannot say that $f$ is closed-form on some open interval about $x = -1$. Instead, we calculate the left and right limits separately: $x = -1$ es también en el intervalo $[-1 , 1]$. Sin embargo, $x = -1$ no es un punto interior; cada intervalo abierto alrededor de $x = -1$ contiene puntos del primero intervalo $[-4, -1)$, y por lo tanto no podemos decir que $f$ es de forma cerrada en un intervalo abierto alrededor de $x = -1$. En cambio, calculamos los límites izquierdos y derechos por separado:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-1) = -1$&32 $f(x) = -1$ &33 $x < -1$
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x = -1$.&32 $f(x) = x$ &33 $x > -1$
Thus, Por lo tanto, $\lim_{x \to -1} f(x)$ exists and equals existe y es igual a $-1$.
Also, from the formula, $f(-1) = -1$. Since the limit exists and equals $f(-1)$, the function $f$ is continuous at $x = -1$. Show me a picture anyway. También, $f(-1) = -1$ por la formula. Ya que existe el límite y es igual a $f(-1)$, la función $f$ es continua en $x = -1$. De todas formas, muéstrame un dibujo.

c. $x = 1$ is the other non-interior point of $[-1 , 1]$; every open interval about $x = 1$ also contains points in the third interval $(1, 2]$, so again we cannot say that $f$ is closed-form on some open interval about $x = 1$, and we must again calculate the left and right limits: $x = -1$ es el otro punto no-interior de $[-1 , 1]$; cada intervalo abierto alrededor de $x = 1$ contiene puntos del tercero intervalo $(1, 2]$, y otra vez no podemos decir que $f$ es de forma cerrada en un intervalo abierto alrededor de $x = 1$, y debemos otra vez calcular los límites izquierdos y derechos:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$&32 $f(x) = x$ &33 $x < 1$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 - 1 = 0$.&32 $f(x) = x^2 - 1$ &33 $x > 1$
Thus, $\lim_{x \to 1} f(x)$ does not exist, and so the function $f$ is discontinuous at $x = -1$. Show me a picture anyway. Así, $\lim_{x \to 1} f(x)$ no existe, y por lo tanto la función $f$ es discontinua en $x = 1$. De todas formas, muéstrame un dibujo.

d. Although $x = 2$ is not an interior point of its interval $(1, 2]$, it is the right endpoint of the domain of $f$, so to check continuity, we need only look at the left limit: Aunque $x = 2$ no es un punto interior de su intervalo $(1, 2]$, es el punto extremo derecho del dominio de $f$, y así necesitamos mirar solo al límite izquierda para comprobar continuidad allí:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 - 1 = 3 = f(2)$.
So, $f$ is continuous at $x = 2$ (see the note in the definition of "continuous function" above). Show me a picture anyway. Por lo tanto, $f$ es continua en $x = 2$ (vi la nota en la definición de "función continua" más arriba). De todas formas, muéstrame un dibujo.

&30
    $f(x) = \matleft{\* &34 , \text{&3} &38! &35 , \text{&3} &39! &36 , \text{&3} &40! &37 , \text{&3} &41} .$
Determine whether $f$ is continuous, discontinuous, or singular (see the the preceding tutorial) at the following points: Determina si $f$ es continua, discontinua, o singular (ve el tutorial anterior) en los siguientes puntos:
You can now either try some of the online exercises on limits in chapter review exercises, or some of the many textbook exercises in Section 3.3 of or Section 10.3 of . To go on to part B of this tutorial, press on the sidebar.
Puedes ahora probar unos ejercicios en línea sobre límites a los ejercicios de repaso, o algunos de los muchos ejercicios en la sección 3.3 de o la sección 10.3 de . Para continuar al siguiente tutorial, pulsa el vínculo ubicado a la izquierda.
Last Updated: September, 2012
Copyright © 2012
Última actualización: semtiembre, 2012
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