In an important kind of limit discussed in the textbook, we let $x$ approach either $&21$ or $-&21$, by which we mean that we let $x$ get arbitrarily large or let $x$ become an arbitrarily large negative number (instead of approaching some finite number from the left or right). The next example illustrates this.
En un tipo muy importante de límite discutido en el libro de texto, hacemos que $x$ se acerca a $&21$ o a $-&21$, por lo que queremos decir que arreglamos que $x$ se hace arbitrariamente grande o que $x$ se hace arbitrariamente grande negativo (en vez de acercarse a un número finito de la izquierda o derecha). El próximo ejemplo ilustra este concepto:
Consider the following limit:
Considera el siguiente límite:
The graph of $3x^2 - 5x - 3$ is a concave up parabola and the graphical approach to limits tells us that $\text{lim}x \to +&21} (3x^2 - 5x - 3) = +&21,$ as the graph rises without bound as $x$ becomes arbitrarily large. Thus,
La gráfica de $3x^2 - 5x - 3$ es una parábola cóncava hacia arriba, y el enfoque gráfica nos dice que $\text{lim}x \to +&21} (3x^2 - 5x - 3) = +&21,$ ya que la gráfica sube sin límites mientras que $x$ se hace arbitrariamente grande. Por lo tanto,
Similarly, De modo parecido,
because the graph also rises without bound as $x$ becomes arbitrarily large negative.
ua que la gráfica también sube sin límites mientras que $x$ se hace arbitrariamente grande negativo.
Algebraic analysis
Write Análisis agebráico
Escribe $3x^2 - 5x - 3$ &10 $x^2\Bigleft(3 - \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2}\Bigright)$ (factor out the highest power of $x$), and consider what happens to the term in parentheses for very large numbers $x$: (saque la potencia más grande de $x$ como factor), y piensa en lo que sucede al término entre paréntesis para valores muy grandes de $x$:
Notice that all the terms in the original quadratic with powers less than the highest power (2) "disappear" in the end, meaning that we could have simply ignored them from the start:
Observa que todos los términos del cuadrático original con potencias menos que la más grande (2) "desaparecen" al fin y al cabo, significando que podemos haberlas ignorado desde el principio:
The above analysis generalizes to limits at infinity of arbitrary polynomials, ratios of polynomials, ratios of powers of polynomials, or arbitrary algebraic combinations of polynomials.
El análisis más arriba generaliza a límites de polinomios arbitrarios, cocientes de polinomios, cocientes de potencias de polinomios, o combinaciones algebráicas arbitrarias de polinomios.
Determine the following. Enter +inf for +∞, -inf for −∞, and dne if the limit does not exist. [Hint: If you see an indeterminate form, do some algebra to get rid of it.]
Determina los siguientes. Ingresa +inf para +∞, -inf para −∞, y dne si no existe el límite. [Pista: Si veas una forma indeterminada, haz algo de álgebra para quitarla.]
In the first batch of limits above you may have noticed that we snuck in a determinate form
En el primer grupo de límites más arriba, puedes haber notado que incluimos una forma determinada
$k^{-∞} = \frac{1}{k^{∞}} = 0.$
We now consider these a little more carefully:
A continuación, consideramos esas formas un poco más cuidadosamente:
Determine the following. Enter +inf for +∞, -inf for −∞, and dne if the limit does not exist.
Determina los siguientes. Ingresa +inf para +∞, -inf para −∞, y dne si no existe el límite.
Last Updated: September, 2012
Copyright © 2012
Última actualización: semtiembre, 2012
Derechos de autor © 2012
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$\lim_{x \to +&21} (3x^2 - 5x - 3).$
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$\lim_{x \to +&21} (3x^2 - 5x - 3) = +&21.$
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$\lim_{x \to -&21} (3x^2 - 5x - 3) = +&21$
Write
Escribe
$\Bigleft($ | $3$ | $ - $ | $\frac{5}{x}$ | $ - $ | $\frac{3}{x^2}$ | $\Bigright)$ | |
↓ | ↓ | ↓ | |||||
3 | $ - $ | 0 | $ - $ | 0 | = 3 |
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$\lim_{x \to +&21} (3x^2 - 5x - 3) = \lim_{x \to +&21} 3x^2 = +&21. $ $3\cdot&21 = &21$
Limits at infinity of expressions with polynomials
Límites al infinito de expresiones con polinomios
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&2s
Determine the following. (Enter +inf for +∞, -inf for −∞, and dne if the limit does not exist.)
Algunos para ti:Determina los siguientes. (Ingresa +inf para +∞, -inf para −∞, y dne si no existe el límite.)
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Some determinate forms
Algunas formas determinadas
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Limits at infinity of expressions with exponential functions
Límites al infinito de expresiones con funciones exponenciales
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You can now either try some of the online exercises on limits in chapter review exercises, or some of the many textbook exercises in Section 3.3 of or Section 10.3 of .
Puedes ahora probar unos ejercicios en línea sobre límites a los ejercicios de repaso, o algunos de los muchos ejercicios en la sección 3.3 de o la sección 10.3 de .
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