Q Computing the derivative of a function is a pretty long-winded process. Isn't there an easier method?
A For practically all the functions you have seen, the short answer is "yes". In this section we study short-cuts that will allow you to write down the derivative powers of $x$ (including fractional and negative powers) as well as sums and constant multiples of powers of $x$, such as polynomials. We start with the rule that gives the derivative of a power of $x$:
P Calcular la derivada de una función es un proceso bastante lento. ¿Hay un método más sencillo?
R Para práctimamente todas las funciones que ya hemos visto, la respuesta corta es "sí." En este tutorial encontramos atajos que nos permiten escribir las derivadas de potencias de $x$ (incluyendo potencias fraccionales y negativas) además de sumas y múltiplos constantes de potencias de $x$, como polinomios. Empezamos con la regla que da la derivada de una potencia de $x$:

Power rule

If $f(x) = x^n$, where $n$ is any constant, then $f'(x) = nx^{n-1}.$ Equivalently, the derivative of $x^n$ is $nx^{n-1}$.

Regla de potencias

Si $f(x) = x^n$, donde $n$ es cualquier constante, entonces $f'(x) = nx^{n-1}.$ En otras palabras, la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$.

Quick examples

The following table shows several examples of derivatives of powers of $x$:

Ejemplos rápidas

La siguiente tabla muestra varios ejemplos de derivadas de potencias de $x$:

$f(x)$ 1$x$$x^2$$x^3$$x^n$
$f'(x)$ 01$2x$$3x^2$$nx^{n-1}$

Some for you

Enter the required expressions using valid technology format.

Algunos para ti

Ingresa las expresiones requeridas usando formato correcto para graficadora/computadora.

Want to see a proof of the power rule? Click here.

¿Quieres ver una prueba de la regla de potencias? Haz clic aquí.

Negative exponents

Because the power rule works for negative exponents, we have for example,

Exponentes negativos

Ya que aplica la regla de potencias a exponentes negativos, tenemos por ejemplo
This allows us to expand the above table a little:
Esto nos permite ampliar un poco la tabla más arriba::
$f(x)$ 1$x$$x^2$$x^3$ $x^n$ $\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x^2}$ $\frac{1}{x^3}$ $\frac{1}{x^n}$
$f'(x)$ 01$2x$$3x^2$$nx^{n-1}$ $\frac{-1}{x^2}$ $\frac{-2}{x^3}$ $\frac{-3}{x^4}$ $\frac{-n}{x^{n+1}}$

In each of the following, give the answer in rational form as in the above table; that is, without negative exponents. For instance, write -3x^{-4} as \frac{-3}{x^4}.
En cada uno de los siguientes, da la respuesta en la forma racional como en la abla más arriba; es decir, sin exponentes negativos. Por ejemplo, escribe -3x^{-4} como \frac{-3}{x^4}.

Differential notation

Differential notation is based on an abbreviation for the phrase "the derivative with respect to $x$." For example, we learned above that if $f(x) = x^3$, then $f'(x) = 3x^2$. When we say "$f'(x) = 3x^2$," we mean:

The phrase "with respect to $x$" tells us that the independent variable of the function is $x$. We abbreviate the phrase "the derivative with respect to $x$" by the symbol "$d/dx$."

Notación diferencial

Notación diferencial se basa en abreviar la frase "la derivada respecto a $x$." Por ejemplo, aprendimos más arriba que, si $f(x) = x^3$, entonces $f'(x) = 3x^2$. Cuado decimos "$f'(x) = 3x^2$," indicamos lo siguiente:

la frase "respecto a $x$" nos indica que la variable de la función es $x$. Abreviamos la frase "la derivada respecto a $x$" por el símbolo "$d/dx$."

Derivative with respect to $x$

The notation $\frac{d}{dx}$ means the derivative with respect to $x$. Thus, for instance, Derivada respecto a $x$

La notación $\frac{d}{dx}$ significa la derivada respecto a $x$. Así que, por ejemplo,

    $\frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2$ The derivative, with respect to $x$, of $x^3$ equals $3x^2$. La derivada, respecto a $x$, de $x^3$ es igaul a $3x^2$.
    $\frac{d}{dx}[1] = 0$ The derivative, with respect to $x$, of 1 equals 0. La derivada, respecto a $x$, de 1 es igual a 0.
    $\frac{d}{dx}\.\Bigleft[\frac{1}{x}\Bigright] = -\frac{1}{x^2}$ The derivative, with respect to $x$, of $1/x$ equals $-1/x^2$. La derivada, respecto a $x$, de $1/x$ es igual a $-1/x^2$.
We can find the derivative of more complicated expressions using the following: A continuación, podemos determinar las derivadas de funciones más complicadas aplicando las reglas siguientes:
Derivatives of sums, differences and constant multiples

If $f'(x)$ and $g'(x)$ exist, and $c$ is a constant, then

Derivadas de sumas, diferencias, y múltiplos constantes

Si existen $f'(x)$ y $g'(x)$, y si $c$ es una constante, entonces

    A. $[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)$
    B. $[c\.f(x)]' = c\.f'(x) $
In differential notation, these rules can be written as follows:
En la notación diferencial, estas reglas pueden ser escrito como:
    A. $\frac{d}{dx}[f(x) ± g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] ± \frac{d}{dx}[g(x)]$
    B. $\frac{d}{dx}[c\.f(x)] = c\frac{d}{dx}[f(x)] $
In words:

The derivative of a sum is the sum of the derivatives, and the derivative of a difference is the difference of the derivatives.
In other words, to find the derivative of a sum (or difference) of several function, just find the derivative of each function and add (or subtract). the answers

The derivative of $c$ times a function is $c$ times the derivative of the function.
In other words, to find the derivative of a constant times a function, just find the derivative of the function and multiply by the constant.

En palabras:

La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.
En otras palabras, para hallar la derivada de una suma (o diferencia), simplemente halla la derivada de cada función y suma (o resta) las respuestas.

La derivada de $c$ por una función es $c$ por la derivada de la función.
En otras palabras, para hallar la derivada de una constante por una una función, simplemente halla la derivada de la función y multiplica por la constante.

Quick examples Ejemplos rápidos
$\frac{d}{dx}[1 + x^3] = 0 + 3x^2 = 3x^2$ &1 A
$\frac{d}{dx}[x^2 - x^3 + x^5] = 2x - 3x^2 + 5x^4$ &1 A also works for three or more terms. &1 A se aplica también a tres o más términos.
$\frac{d}{dx}[4x^3] = 4\frac{d}{dx}[x^3] = 4(3x^2) = 12x^2$ &1 B. In effect, multiply the exponent (3) by the coefficient (4). &1 B. Igualmente, multiplica el exponente (3) por el coeficiente (4).
$\frac{d}{dx}[12]$= $\frac{d}{dx}[12\cdot1]$ Rewrite 12 as 12 × 1. Reescribe 12 como 12 × 1.
= 12$\frac{d}{dx}[1]$ &1 B
= $12(0) = 0$ The derivative of 1 is 0.
In general, the derivative of any constant is zero. La derivada de 1 is zero.
Por lo general, la derivada de cualquier constante es cero.
$\frac{d}{dx}\Bigleft[\frac{4}{x}\Bigright] = \frac{d}{dx}\Bigleft[4\cdot\frac{1}{x}\Bigright] = 4\Bigleft[\frac{-1}{x^2}\Bigright] = \frac{-4}{x^2}$ &1 B
$\frac{d}{dx}[5x^3 - 4x + 7] = 5(3x^2) - 4(1) + 7(0) = 15x^2-4$ Combining the properties Combinando las propiedades

Some for you Algunos para ti

You can now try some of the exercises in Section 4.1 of or Section 11.1 of , try some chapter review exercises, or the topic true false quiz. Ahora puedes probar algunos ejercicios en la sección 4.1 de o la sección 11.1 of , probar unos ejercisios de repaso, o bien el concurso verdadero falso de este tema.