Here's a little quiz to warm up. (Go to the tutorial on derivatives of powers if you want to first review derivatives of powers of x.)

Empezamos con un concursito para actividad inicial. (Ve al tutorial sobre derivadas de potencias para repasar derivadas de potencias de x.)

Your friend tells you that . Un amigo te dice que .

The above example suggests the following: The derivative of a quotient is not the quotient of the derivatives. Similarly, The derivative of a product is not the product of the derivatives.

Q So how do we deal with products and quotients? Must we always somehow simplify a given expression into exponent form in order to use the power rule?
A No. Luckily, there are two convenient rules for handling products and quotients:

El ejemplo más arriba sugiere el siguiente: La derivada de una cociente no es la cociente de las derivadas. De modo parecido, > La derivada de un producto no es el producto de las derivadas.

Q ¿Entonces cómo se trata productos y cocientes? ¿Tenemos que siempre evitarlos por convertirlos en otras formas?
A No. Por suerte tenemos dos reglas oportunas para calcular sus derivadas:

Product and Quotient Rules

Product Rule Reglas del producto y del cociente

Regla del producto

    $\frac{d}{dx}[f(x)\.g(x)] = f'(x)\.g(x) + f(x)\.g'(x)$
Product Rule In Words:

The derivative of a product is the derivative of the first times the second, plus the first times the derivative of the second.
Regla del producto en palabras:

La derivada de un producto es la derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo.
Examples Ejemplos
    Deriv del primero × Segundo   +   Primero × Deriv del segundo
    \frac{d}{dx}[ (3x^3 + 7x^2)(4x^2 - x + 4) ] = Deriv of first × Second   +   First × Deriv of second
    = (9x^2 + 14x)(4x^2 - x + 4) + (3x^3 + 7x^2)(8x - 1)
Note  In some circumstances, it is helpful to simplify the answer; you should use your best judgment in each situation to decide how much to simplify. Below are some for you to try. You need not simplify the answers for these.
Nota  En algunas circunstancias, es útil simplificar la respuesta; debes usar tu buen juicio en cada situación para decidir cuanto de simplificar. Más abajo hay algunos ejemplos para ti. No es necesario simplificar las respuestas.
Quotient Rule Regla del cociente

    \frac{d}{dx}\Bigleft[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigright] = \frac{f'(x)\.g(x) - f(x)\.g'(x)}{g(x)^2}
Quotient rule in words:

The derivative of a quotient is the derivative of the top times the bottom, minus the top times the derivative of the bottom, all over the bottom squared.
Regla del cociente en palabras:

La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido entre el denominador al cuadrado.
Examples Ejemplos
    \frac{d}{dx}\Bigleft[\frac{3x^3 + 7x^2}{4x^2 - x + 4}\Bigright] =
    Deriv of Top × Bottom - Top × Deriv of Bottom

    (Bottom)2
    = \frac{ (9x^2 + 14x)(4x^2 - x + 4) - (3x^3 + 7x^2) (8x - 1)}{(4x^2 - x + 4)^2}

Q Where do these rules come from?
A You can find a proof of the product rule in Section 4.3 of or Section 11.3 of .
Press here for a proof of the quotient rule.

Q This is all very well if what you're given is an obvious product or quotient. But we all know that instructors are fond of "in-between" expressions, such as

Which rule do we use for that??
A To deal with things like that -- or any mathematical expression whatsoever, we use the following little secret described in the books and , called the Calculation Thought Experiment:

P ¿De donde vienen estas reglas?
R Puedes encontrar una demostración de la regla del producto en la Sección 4.3 de o la Sección 11.3 de . Pulsa aquí por una demostración de la regla de cociente.

P Todo está muy bien si tenemos nada más que un producto o cociente obvio. Sin embargo, a todos los profesores les gustan expresiones molestas que aparecen ser also entre los dos, como

¿Cuál regla usamos para calcular la derivada de eso ?
R Para tratar expresiones como estas -- o bien cualquier expresión matemática en absoluto, usamos el siguiente pequeño secreto, describido en los libros y , y llamado el experimento mental de cálculo:

Calculation thought experiment (CTE) Experimento mental de cálculo (EMC)
The calculation thought experiment is a technique to determine whether to treat an algebraic expression as a product, quotient, sum, or difference:
    Given an expression, consider the steps you would use in computing its value. If the last operation is multiplication, treat the expression as a product; if the last operation is division, treat the expression as a quotient, and so on.
El experimento mental de cálculo es una técnica para determinar si podría tratar una expresión algebraica como una suma, diferencia, producto o cociente:
    Dada una expresión, considera los pasos que darías en calcular su valor. Si la ultima operación es una multiplicación, toma la expresión como un producto; si la ultima operación es una división, toma la expresión como un cociente, y así en forma sucesiva.

Using the calculation thought experiment (CTE) to differentiate a Ffunction Uso del experimento mental de cálculo (EMC) para diferenciar una función

    If the CTE says, for instance, that the expression is a sum of two smaller expressions, then apply the rule for sums as a first step. This will leave you having to differentiate two simpler expressions, and you can then use the CTE on these, and so on... Si dice el EMC que la dada expresión es una suma de dos expresiones más pequeñas, entonces aplica, como primer paso, la regla para sumas. Esto te quedará con dos expresiones más pequeñas para diferenciar, y entonces puedes aplicar el EMC a cada una de aquellas, y así en forma sucesiva...


Examples Ejemplos

1. $(3x^2 - 4)(2x + 1)$ can be computed by first calculating the expressions in parentheses and then multiplying. Since the last step is multiplication, we can treat the expression as a product. se puede calcular evaluando primero las expresiones entre paréntesis y luego, multiplicando. Ya que el último paso es multiplicación, se puede tratar la expresión como un producto.

2. $\frac{2x - 1}{x}$ can be computed by first calculating the numerator and denominator, and then dividing one by the other. Since the last step is division, we can treat the expression as a quotient. e puede calcular evaluando primero el numerador y el denominador, y por último dividendo el uno por el otro. Ya que el ultimo paso es división, podemos tratar la expresión como un cociente.

3. $x^2 + (4x - 1)(x + 2)$ can be computed by first calculating $x^2$, then calculating the product $(4x - 1)(x + 2)$, and finally adding the two answers. Thus, we can treat the expression as a sum. se puede calcular evaluando primero $x^2$, luego el producto $(4x - 1)(x + 2)$, y por último sumando las dos respuestas. Por lo tanto, podemos tratar la expresión como una suma.

4. $(3x^2 - 1)^5$ can be computed by first calculating the expression in parentheses, and then raising the answer to the fifth power. Thus, we can treat the expression as a power. se puede calcular evaluando primero la expresión entre paréntesis, y por último elevando a la quinta potencia la respuesta. Por lo tanto, podemos tratar la expresión como una potencia.

5.

6.

7.

8.

Using the Calculation Thought Experiment (CTE)

Let us use the CTE to find the derivative of

Uso del experimento mental de cálculo (EMC)

A continuación vamos a usar el EMC para calcular la derivada de

The CTE tells us that $f(x)$ is a product: Nos dice el EMC que $f(x)$ es un producto:

Thus, must use the product rule in taking its derivative:

Remember that the expressions "$d/dx$" are short-hand for "the derivative of ..." In other words, we haven't done the work yet; the line above tells us what we still need to do: take two derivatives. (If we wanted, we could take a coffee break at this point and come back to it later to do the work.)

To finish the calculation, we must compute the pink- and blue-colored derivatives one-at-a-time and plug them in to the expression above:

The derivative of the first (pink) expression is easy:

Recuerda que las expresiones "$d/dx$" son abreviaturas de "la derivada de... ." Es decir, aún no hemos terminado el trabajo; la expresión (I) más arriba nos dice lo que todavia necesitamos hacer: tomar dos derivadas. (Si deseamos, podríamos en este punto hacer una pausa para tomar un café y regresar más tarde para terminar el trabajo.)

Para terminar la calculación, debemos tomar las derivadas de colores magenta y azul y sustituirlas en la expresión más arriba:

La derivada de la primera expresión (rosa) es fácil:

The derivative of the second (blue) expression requires the quotient rule (use the CTE on it if you don't believe this...). La derivada de la segunda expresión (azul) requiere la regla del cociente (si no lo cres, aplica el EMC a la expresión para convencerte...).

Now substitute these two derivatives into formula (I) to obtain the answer: Por último, sustituimos estas dos derivadas en (I) para obtener el resultado:

Whew! Now you do one: ¡Uf! Ahora, uno para ti:
(Similar to an example in Section 4.3 of and Section 11.3 of ) (Parecido a un ejemplo en la seccion 4.3 de y Section 11.3 de )

The Calculation Thought Experiment (CTE) tells us that El Experimento mental de cálculo (EMC) nos dice que

For the next question, you need to enter an algebraic expression using proper graphing calculator format as above (spaces are ignored). Careful with parentheses! En la siguiente pregunta tendrás que ingresar una expresión algebráica. Como más arriba, debe usar el formato correcto para graficadora/computadora. (Espacios son ignorados.) ¡Ten cuidado con los paréntesis!

Finally, the derivative of equals Por último, la derivada de is igual a

You can now try some of the exercises in Section 4.3 of or Section 11.3 of , try some chapter review exercises, or the topic true false quiz. Ahora puedes probar algunos ejercicios en la sección 4.3 de o la sección 11.3 of , probar unos ejercisios de repaso, o bien el concurso verdadero falso de este tema.