Maxima and minima/Maximos y minimos

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Antiderivative Antiderivada

An antiderivative of a function $f$ is just a function whose derivative is $f$. Una antiderivada de una función $f$ es una función cuya derivada es $f$.

&2s

An antiderivative of $2x$ is $x^2$. Una antiderivada de $2x$ es $x^2$.		Because the derivative of $x^2$ is $2x$ Porque la derivada de $x^2$ es $2x$
Another antiderivative of $2x$ is $x^2 + 30$. Una otra antiderivada de $2x$ es $x^2 + 30$.		Because the derivative of $x^2 + 30$ is also $2x$ Porque la derivada de $x^2 + 30$ también es $2x$
Yet another antiderivative of $2x$ is $x^2 - 49$. Aún otra antiderivada de $2x$ es $x^2 - 49$.		Because the derivative of $x^2 - 49$ is also $2x$ Porque la derivada de $x^2 - 49$ también es $2x$
Similarly, an antiderivative of $2x$ is $x^2 + C$ ($C$ can be any constant (positive, negative, or zero). En forma parecida, una otra antiderivada de $2x$ es $x^2 + C$ ($C$ puede ser cualquier constante (positiva, negativa, o cero).		Because the derivative of $x^2 + C$ is also $2x$ Porque la derivada de $x^2 + C$ también es $2x$

In fact:

Every antiderivative of $2x$ has the form $x^2 + C$, for some constant $C$.

De hecho:

Cada antiderivada de $2x$ tiene la forma $x^2 + C$, para alguna constante $C$.

Some for you: Algunos para ti:

Indefinite Integral Integral indefinida

We call the set of all antiderivatives of a function the indefinite integral of the function. We write the indefinite integral of the function $f$ as

$\int f(x) dx$, and we read it as "the indefinite integral of $f(x)$ with respect to $x.$" Thus, $\int f(x) dx$ is a collection of functions; it is not a single function, nor a number. The function $f$ that is being integrated is called the integrand, and the variable $x$ is called the variable of integration. Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una función la integral indefinida de la función. Escribimos la integral indefinida de la función f como

$\int f(x) dx$, y la leemos como "la integral indefinida de $f(x)$ respecto a $x.$" Por lo tanto, $\int f(x) dx$ es un conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función $f$ que se está integrando se llama el integrando, y la variable $x$ se llama la variable de integración.

&2s

$\int 2x dx = x^2 + C$		The indefinite integral of $2x$ with respect to $x$ is $x^2 + C.$ La integral de $2x$ respecto a $x$ es $x^2 + C.$
$\int 4x^3 dx = x^4 + C$		The indefinite integral of $4x^3$ with respect to $x$ is $x^4 + C.$ La integral indefinida de $4x^3$ respecto a $x$ es $x^4 + C.$

Reading the formula
Here is how we read the first formula above: Leyendo la formula
Leemos la primera formula más arriba como sigue:

$\int $	$2x$	$dx$	=	$x^2 + C$
The indefinite integral La integral indefinida	of $2x$ de $2x$	with respect to $x$ respecto a $x$	equals es igual a	$x^2 + C$

The constant of integration, $C$, is known a parameter; that is, it can be any real number we like, which explains why we refer to the integral as indefinite integral.

La constante de integración, $C$, es conocido como un parámetro; es decir, puede ser cualquier número real en absoluto, explicando porqué referimos a la integral como indefinida.

Some for you: Algunos para ti:

A quick quiz before continuing:

Un concurso rápido antes de contuar:

The correct answer to the last question suggests a formula for finding the antiderivative of any power of $x$. The following table includes this formula, as well as other information.

La respuesta correcta a la última pregunta sugiere una formula para hallar la antiderivada de cualquier potencia de $x$. La siguiente tabla incluya esta formula y también otra información.

$x^n (n ≠ -1)$

$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$

$\int x^n dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C (n ≠ -1)$

&2s:	$\int x^{5.4} dx = \frac{x^{6.4}}{6.4} + C$		Use the formula with $n = 5.4.$ Usa la fórmula con $n = 5.4.$
	$\int 3x^{5.4} dx = \frac{3x^{6.4}}{6.4} + C$		The constant multiple 3 "goes along for the ride." El múltiplo constante 3 "va adelante para el paseo."

$x^{-1}$

$\ln\|x\| + C$

$\int x^{-1} dx = \ln\|x\| + C$

&2s:	$\int 5x^{-1} dx = 5\ln\\|x\\| + C$		The constant multiple 5 "goes along for the ride." El múltiplo constante 5 "va adelante para el paseo."
	$\int (5x^{-1} + 11x^{-3}) dx = 5\ln\\|x\\| - \frac{11x^{-2}}{2} + C$		Combining the above rules Por combinar las reglas más adelante

$k $ ($k$ &0)

$kx + C$

$\int k dx = kx + C$

&2:

$\int (5x^{-5.4} + 9) dx = -\frac{5x^{-4.4}}{4.4} + 9x + C$

$e^x$

$e^x + C$

$\int e^x dx = e^x + C$

&2:

$\int (3x^{5.4} + 9e^x - 4) dx = \frac{3x^{6.4}}{6.4} + 9e^x - 4x + C$

$\|x\|$

$\frac{x\|x\|}{2} + C$

$\int \|x\| dx = \frac{x\|x\|}{2} + C$

&2:

$\int \Bigleft(3\|x\| - \frac{4}{x}\Bigright) dx = \frac{3x\|x\|}{2} - 4\ln\|x\|+ C$

is the same as $4x^{-1}$. es lo mismo que $4x^{-1}$.

&7 Where do all these formulas come from? ¿De dónde vienen todas estas fórmulas?
&8 Think of them as guesswork; to find an antiderivative of $f$ all we need to do is come up with a function whose derivative is $f$. Piensa en las fórmulas como conjeturas; para hallar una antiderivada de $f$ todo que debemos hacer es inventarnos una función cuya derivada es $f$.

For this quiz, you need to enter algebraic expressions using proper graphing calculator format as above (spaces are ignored). Press the button to see examples including expressions, involving logarithms and exponentials. Pay particular attention to the fact that $\ln\|xyz...\|$ is entered as ln(abs(xyz...)).

En este concurso, tienes que ingresar expresiones algebraicas usando al formato correcto para graficadores como más arriba (espacios son ignorados). Pulsa el botón para ver ejemplos de expresiones con logaritmos y exponenciales. font color=indianred>Presta atención particular al hecho que $\ln\|xyz...\|$ se ingresa como ln(abs(xyz...)).

&7 How do we deal with powers of $x$ in the denominator, such as in, say, ¿Cómo se trata potencias de $X$ en el denominador, como, por ejemplo, $\frac{6}{5x^4}?$
&8 First convert them into exponent form; that is, rewrite the expression with each summand in the form $Ax^n$, where $A$ and $n$ are constants. For example, rewrite Primero, conviértelas en la forma de exponente; es decir, escriba la expresión con cada término en la forma $Ax^n$, donde $A$ y $n$ son constantes. Por ejemplo, escriba $\frac{6}{5x^4} &6 \frac{6}{5}x^{-4}$. Then take the antiderivative as above. Here is the calculation for this example: Entonces, toma la antiderivada como más arriba. Aquí está la calculación para este ejemplo:

$\int \frac{6}{5x^4} dx $	$= \int \frac{6}{5}x^{-4} dx$	Rewrite in exponent form. Reescribe en la forma de exponente.
	$= \frac{6}{5}\cdot\frac{x^{-3}}{-3} + C$	Take the antiderivative. Toma la antiderivada.
	$= -\frac{6x^{-3}}{15} + C$	Simplify. Simplifica.

Fill in the blanks and press "Check".

Ingresa las respuestas y pulsa "Verificar".

You now have several options:

Try some of the questions in the true/false quiz (Warning: It covers the whole chapter).
Try some of the on-line review exercises. (Again, these questions cover the whole chapter.)
Try the exercises from Section 6.1 of or Section 13.1 of
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Ahora tienes unas opciones:

Prueba unas preguntas en el concurso verdadero falso (Aviso: Cobra todo el capítulo).
Prueba unas ejercicios de repaso. (Nuevamente, estas preguntas cobran todo el capítulo.)
Prueba las ejercicios de la sección 6.1 de o la sección 13.1 de
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