In the textbook we consider an example (Example 1) in which you are given the rate of oil spilling in the ocean and wish to know the total rate over a particular time period. We look at a similar scenario here:
En el libro de texto consideramos un ejemplo (Ejemplo 1) en el que tenemos la razón a la que esta derramando petróleo en el oceano y queremos saber la cantidad total derramando durante un periodo espicífico. Consideramos aquí un escenario similar:

Main example A pump is delivering water into a tank at a rate of

where $t$ is time in minutes since the pump is turned on. What is the total amount of water pumped into the tank in the first &4 minutes?

First Rough Calculation: $r(t)$ is the number of liters per minute at which water is entering the tank. At the instant the pump is turned on, this rate is

Ejemplo principal Una bomba está entregando agua a un tanque a una razón de

donde $t$ es el tiempo en minutos desde el momento que la bomba es encendido. ¿Quánto agua es bombeado en el tanque durante los primeros &4 minutos?

Primero estimación: $r(t)$ es el número de litros de agua por minuto bombeado en el tanque. En el momento que es encendido la bomba, esta razón es

so the total volume of water pumped into the tank in the first &4 minutes should be about: Here is a graph showing the curve and the calculation we just did:
así que el volumen total de agua bombeado en el tanque durante los primeros &4 minutos debe ser aproximadamente: Aquí está una gráfica que muestra la curva y la calculación acabamos de hacer:
$y$
$t$
&103 = 2 &102 × &2 &101 = &5 &100
Notice two things:

Let us now redo the calculation using a minute-by-minute calculation, using the rate of change at the start of each minute for the duration of that minute:

Toma en cuenta dos hechos:

Por lo tanto, vamos a estimar de nuevo la cantidad de agua a través de una calculación minuto-por-minuto, usando la razón de cambio al inicio de cada minuto para la duración de aquel minuto:

The above calculation gives us a somewhat more accurate estimate of the total volume pumped

The new calculation (assuming you did it correctly) is shown in the following graph:

La calculación más arriba resulta en un estimado algo más exacto del volumen total bombeado como

La nueva calculación (si lo has hecho correctamente) se muestra en la siguiente gráfica:

$y$
$t$
&104 1: &2 &101 × 1 &106 = &2 &100
&104 2: ???
Notice that the new estimate is given by the sum of the areas of the two shaded rectangles.

But wait! This answer is still not exact: During the first minute the rate is not constant at &2 liters/minute, but increases throughout the one-minute interval, and during the second minute the rate is not constant at &50 liters/minute either, but also increases throughout that interval. So, we will compute a more accurate third estimate by using half-minute intervals.

Let us first denote the length of each time-interval we used by $Δt$, so that $Δt = 2$ in the first rough calculation, and $Δt = 1$ in the minute-by-minute calculation:

Observa que el nuevo estimado se expresa por la suma de los dos rectángulos sombreados mostrado en la gráfica.

¡Espera! El estimado nuevo todavia no es exacto: Durante el primer minuto la razón no es constante a &2 litros/minuto, sino que aumenta durante toda aquel intervalo, y durante el segundo minuto la razón no es constante a &50 litros/minuto, sino que aumenta también. Por lo tanto, calcularemos un tercer estimado aún más exacto por usar intervalos de medio minuto.

Primero, vamos a usar $Δt$ para los largos de los intervalos de tiempo en los que dividimos los dos minutos. Por lo tanto, $Δt = 2$ en el primero estimado grueso, y $Δt = 1$ en el cálculo minuto-por-minuto:

Each of these calculations is called a left Riemann sum of the function $r$; the first calculation is a left Riemann sum with 1 subdivision, the second a left Riemann sum with 2 equal subdivisions, and the third a left Riemann sum with 4 equal subdivisions.

Here is the graph for the third calculation:

Cada una de estas calculaciones se llama una suma izquierda de Riemann de la función $r$; el primer cálculo es una suma izquierda de Riemann con 1 subdivisión, el segundo una suma izquierda de Riemann con 2 subdivisiones iguales, y el tercer suma izquierda de Riemann con 4 subdivisiones iguales.

Aquí está la gráfica que muestra la suma Riemann con 4 subdiviones:

$y$
$t$

$r(0)Δt + r(0.5)Δt + r(1)Δt + r(1.5)Δt = &9$ &100

Recall that our function is given by $r(t) = &1t^2 + &2$.

To compute the Riemann sum with 5 subdivisions, use rectangles of width:

Acuérdate que nuestra función se expresa por $r(t) = &1t^2 + &2$.

Para calcular la suma de Riemann con 5 subdivisiones, se usa rectángulos de ancho:

Now we calculate the height of each rectangle:
A continuació calculamos la altura de cada rectángulo:
To obtain the Riemann sum, we add the areas of all five rectangles. The area of each rectangle is its height times its width $Δt$.. Instead of multiplying each height by $Δt$. and then adding the products, we can first add the heights calculated above and multiply the sum by $Δt$.:
Para obtener la suma de Riemann, sumamos las áreas de todos cinco rectángulos. La área de cada rectángulo es su altura multiplicada por su anchura $Δt$.. En lugar de multiplicar cada altura por $Δt$. y después sumar los productos, podemos primero sumar las alturas calculadas más arriba y multiplicar la suma por $Δt$.:

If you want to see Riemann sums displayed graphically for different numbers of subdivisions, go to the Numerical integration utility and grapher. There is also an Excel variant of this; however, it needs macros to run, and so you have to persuade Excel to enable macros, which can be rather tricky (and impossible if you have Excel for Mac 2008).
Si deseas ver sumas de Riemann gráficamente mostrada con varias números de subdiviones, va a la Utilidad integración numérica con gráficador. También hay una una variante Excel de aquel recurso; sin embargo, necesita macros para correr, y así tienes que convencerlo de habilitar macros. Eso puede ser bastante engañoso (y imposible si tienes Excel 2008 para Mac).

Riemann sum

If $f$ is a function defined on the interval $[a, b]$ and $n$ is a number (of subdivisions), we define the associated left Riemann sum with $n$ equal subdivisions as follows:

  • Subdivide the interval $[a, b]$ into $n$ equal subintervals of width $Δx = \frac{b - a}{n}$.
  • Start with $x_0 = a$ and successively add $Δx$ to get additional points
    $x_1 = x_0 + Δx$
    $x_2 = x_1 + Δx$
    ...
    $x_{n-1} = x_{n-2} + Δx$
  • Calculate
    $ [f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1})]Δx. $ Note that we use a total of $n$ points
    This is the desired Riemann sum:

    • Left Riemann Sum = $[f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1})]Δx$

We can rewrite the formula for the Riemann using sigma notation as follows:

    Left Riemann sum = $\sum_{i = 0}^{n-1} f(x_i)Δx $      The sum, from $i = 0$ to $n-1$, of the terms $f(x_i)Δx$
Suma de Riemann

Si $f$ es una función definida en el intervalo $[a, b]$, y $n$ es un número (de subdivisiones), definimos la suma izquierda de Riemann con $n$ subdivisiones iguales como sigue:

  • Subdivida el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos iguales de ancho $Δx = \frac{b - a}{n}$.
  • Empieza con $x_0 = a$ y sucesivamente añade $Δx$ para obtener puntos adicionales
    $x_1 = x_0 + Δx$
    $x_2 = x_1 + Δx$
    ...
    $x_{n-1} = x_{n-2} + Δx$
  • Calculate
    $ [f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1})]Δx. $ Nota que usamos un total de $n$ puntos
    Esto es la suma de Riemann deseada:

    • Suma de Riemann izquierda = $[f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1})]Δx$

Podemos también escribir la formula de la suma de Riemann usando notación sigma como sigue:

    Left Riemann sum = $\sum_{i = 0}^{n-1} f(x_i)Δx $      La suma, desde $i = 0$ hasta $n-1$, de los términos $f(x_i)Δx$
Examples

1. We just calculated several Riemann sums for the function $f(x) = &1x^2 + &2$ (although we used different letters for the name of the function and the independent variable.) Here is the calculation again for the case $n = 4$ subdivisions:

Ejemplos

1. Acabamos de calcular varias sumas de Riemann para la función $f(x) = &1x^2 + &2$ (aúnque usamos otras letras para el nombre de la función y la variable independente.) Aquí de nuevo es la calculación para el case $n = 4$ subdivisiones:

    $f(x) = &1x^2 + &2; [a, b] = [0, 2]; n = 4$
    $Δx = \frac{b-a}{n} = \frac{2 - 0}{4} = 0.5.$
    $x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5$
    $x_i$ 00.51.01.5
    $f(x_i)$ &2&7&50&8
    &107 = × 0.5
    = &10 × 0.5 = &9

2. Let $f(x) = &22$, and let $[a, b] = [&20, &21]$. The left Riemann sum for $n = 5$ subdivisions is calculated as follows:
2. Sea $f(x) = &22$, y sea $[a, b] = [&20, &21]$. La suma izquierda de Riemann con $n = 5$ subdivisiones se calcula como sigue:

    Now complete the following table. Use fractions rather than decimals! A continuación, rellena la siguiente tabla. ¡Usa fracciones en vez de decimales!

    $x_i$
    $f(x_i)$
       

    Finally, calculate the Riemann sum. Round answer to 4 decimal places
    Por último, calcula la suma de Riemann. Redondeada respuesta hasta 4 posiciones decimales

Let us go back to thinking about the Main Example of water being pumped into a tank.

Q None of the Riemann sums we calculated for the water being pumped into the tank gave the right answer; in fact all these calculations ignore the fact that the rate keeps increasing over each interval, no matter how small we make it, so Riemann sums are a waste of time, right?
A The first claim is right, but the second claim is not: Each calculation with smaller and smaller intervals gives us a more accurate estimate of the amount of water pumped in, and in fact we have discovered an astounding fact:

Volvamos a pensar de nuevo en el Ejemplo Principal de agua entrando en un tanque.

P Ninguna de aquellas sumas de Riemann que calculamos nos da el volumen exacto de agua bombeada en el tanque; de hecho, cada una de esas calculaciones no toma en cuenta que la razón a la que está entrando agua está subiendo durante cada intervalo, sin importar cuan pequeño lo hagamos, así que las sumas de Riemann son una pérdida de tiempo, ¿verdad?
R La primera afirmación sí es correcta, pero la segunda es falsa: Cada calculación con intervalos más y más pequeños nos da un estimado más exacto del volumen de la agua bombeada, y así podemos en realidad concluir un hecho muy increible:

Only one answer below is correct

Solo una respuesta más abajo es correcta

We have a name for this **first answer the above question**:
Tenemos un término para este **contesta primera la pregunta más arriba**:

Definite integral

Assume that $f$ is a continuous (or piecewise-continuous) function defined on the interval $[a, b]$. Then the definite integral of $f$ over $[a, b]$ is defined to be the limit of the Riemann sums as the number of subdivisions $n → ∞$. (This limit will always exist for continuous or piecewise-continuous functions.) We use the following notation for the definite integral:

    Definite integral of $f$ over $[a, b]$=Limit of Riemann Sums as $n → ∞$
    =$\int_{a}^{b} f(x) dx$ Definite integral, from $a$ to $b$, of $f(x)$ with respect to $x$
The numbers $a$ and $b$ are called the lower and upper limits of integration respectively.
Integral definita

Asume que $f$ es una función continua (o continua parte por parte) y que es definida sobre el intervalo $[a, b]$. Entonces la integral definida de $f$ sobre $[a, b]$ se defina como el límite de las sumas de Riemann cuando el número de subdiviones $n → ∞$. (Este límite siempre existirá cuando $f$ es continua o continua parte por parte.) Usamos la siguente notación para escribirla:

    Integral definida de $f$ sobre $[a, b]$=Límite de las sumas de Riemann cuando $n → ∞$
    =$\int_{a}^{b} f(x) dx$ Integral definida, de $a$ a $b$, de $f(x)$ respecto a $x$
A los números $a$ y $b$ se llama el límite inferior y usuperior respectivamente.

Geometrically, the definite integral measures area. If the graph of the function is above the $x$-axis, the area is counted as positive (like the examples we have been looking at). If the graph of the function is below the $x$-axis, the area is counted as negative. The following picture illustrates the general case:
Geométricamente, la integral definida mide área. Si toda la gráfica de la función está arriba del eje-$x$, entonces se toma como positiva aquel área (como en los ejemplos que hemos sido considerando hasta ahora). Si la gráfica de la función es abajo del eje-$x$, se toma como negativa la área (como en varios ejemplos que miraremos). La siguiente figura ilustra el caso general::


$\int_a^b f(x) dx =$Area A − Area B

Interpretation of the definite integral
If $f$ is the rate of change of a quantity $F$ (that is, $f = F'$), then $\int_a^b f(x) dx$ is the (exact) total change of $f$ from $x = 1$ to $x = b$.
Interpretación de la integral definida
Si $f$ es la razón de cambio de una cantidad $F$ (es decir, $f = F'$), entonces $\int_a^b f(x) dx$ es el (exacto) cambio total de $f$ desde $x = 1$ hasta $x = b$.
Examples

We can sometimes calculate the definite integral geometrically by determining the area under the curve directly, as the following examples show:

Ejemplos

A veces podemos calcular la integral definida geométricamente por determinar directamente la área abajo de la curva, como muestran los siguientes ejemplos:

    $f(x) = &23$
    $f(x) = &44$
    $y = f(x)$

Q What about areas that are not easy to determine geometrically?
A The Fundamental Theorem of Calculus (next section) tells us how to calculate these using antiderivatives. Otherwise, we can always use the numerical integration utility and grapher to calculate Riemann sums for larger and larger numbers of subdivisions to estimate the integral, as we do in the next example:
P ¿Qué tal las áreas que no se puede determinar geométricamente?
R El Teorema Fundamental de Cálculo (siguiente tutorial) nos diga como calcularlas a través de antiderivadas. Alternativamente, podemos usar la utilidad integración numérica con gráficador para calcular sumas de Riemann con más y más grande números de subdivisiones, como hacemos en el ejemplo que sigue:

A projectile has velocity $v = &66$ meters/sec $t$ seconds after being fired. Use Riemann sums with several large numbers of suibdivisions to estimate the total distance covered by the projectile from time $t = &63$ seconds to time $t = &64$ seconds.

Q How on earth am I supposed to find the distance covered knowing only the varying speed?
A Think for a moment about the pump example with which we started. We discovered that:

So, the total distance covered over the interval $[&63, &64]$ is $\int_&63^&64 (&65) dt$, which we can approximate by Riemann sums with larger and larger numbers of subdivisions. You can do this at the numerical integration utility. (Note The utility expects a function of $x$ rather than $t$.)

Un proyectil tiene una velocidad de $v = &66$ metros/seg $t$ segundos a partir de ser lanzado. Usa sumas de Riemann con unos grandes números de subdiviones para estimar la distancia recorrida desde $t = &63$ segundos hasta $t = &64$ segundos.

P ¿Cómo va a ser posible hallar la distancia recorrida cuando se solo la velocidad variable?
R Piensa un momento en el ejemplo de la bomba con el que empezamos. Discubrimos que:

Así, la distancia total recorrida durante el intervalo $[&63, &64]$ es $\int_&63^&64 (&65) dt$, que podemos aproximar por sumas de Riemann con números más y más grande de subdivisiones. Puedes hacer estas calculaciones a la utilidad integración numérica. (Nota La utilidad espera una función de $x$ en lugar de $t$.)

You can now try some of the exercises in Section 6.3 of or Section 13.3 of , try some chapter review exercises, or the topic true false quiz. Ahora puedes probar algunos ejercicios en la sección 6.3 de o la sección 13.3 of , probar unos ejercisios de repaso, o bien el concurso verdadero falso de este tema.