Let us start by looking at the definition in the textbook (similar to the online chapter summary)
Para introducir este tema, empecemos por mirar los definiciones básicas del libro de texto (ve también el resumen del tema enlínea):

Relative extrema Extremo relativo

$f$ has a relative maximum at $x = r$ if there is some interval $(r-h, r+h)$ (even a very small one) for which $f(r) ≥ f(x)$ for all $x$ in $(r-h, r+h)$ for which $f(x)$ is defined. If $f(r) ≥ f(x)$ for every $x$ in the domain of $f$, then we also say that $f$ has an absolute maximum at $x = r$. $f$ tiene un máximo relativo a $x = r$ si hay un intervalo $(r-h, r+h)$ (incluso uno muy pequeño) para el cual $f(r) ≥ f(x)$ para toda $x$ en $(r-h, r+h)$ para la que $f(x)$ esté definida. Si $f(r) ≥ f(x)$ para toda $x$ en el dominio de $f$, entonces dicimos también que $f$ tiene un máximo absoluto a $x = r$.


StoppedParar     AnimateAnimar

Similarly, $f$ has a relative minimum at $x = r$ if there is some interval $(r-h, r+h)$ (even a very small one) for which $f(r) ≤ f(x)$ for all $x$ in $(r-h, r+h)$ for which $f(x)$ is defined. Absolute minimum is defined similarly. Collectively, maxima and minima are referred to as extrema.

The following figure shows several relative and absolute extrema:
  De modo parecido, $f$ tiene un mínimo relativo a $x = r$ si hay un intervalo $(r-h, r+h)$ (incluso uno muy pequeño) para el cual $f(r) ≤ f(x)$ para toda $x$ en $(r-h, r+h)$ para la que $f(x)$ esté definida. El término mínimo absoluto se define de modo parecido. Referimos colectivamente a los máximos y mínimos como extremos.

La proxima figura muestra unos extremos relativos y absolutos:
 
Some for you:
Suppose that $f$ has the graph shown: Algunos para ti: Supongamos que $f$ tiene la siguiente gráfica:
Then $f$ has: Entonces $f$ tiene:
    &6 $x = $
    &6 $x = $
    &6 $x = $
    &6 $x = $

Sometimes it is not a simple matter to tell from the graph Exactly where the local extrema are situated. For instance, try graphing the curve $y = x^3(x^{1/2} -1)$ for $0 ≤ x ≤ 2$, and see if you can tell exactly where the absolute minimum lies. (This example is discussed in the on-line review exercises).

To help us locate extrema accurately, we first classify them into three types, and use calculus to tell us exactly where they are:
No es siempre fácil saber de una gráfica exactamente donde están ubicados los puntos extremos. Por ejemplo, dibuja la curva $y = x^3(x^{1/2} -1)$ con $0 ≤ x ≤ 2$, y ve si puedes localizar exactamente el mínimo absoluto. (Puedes encontrar este ejemplo en los ejercicios en-linea de repaso.)

Para ayudarnos localizar puntos extremos, los clasificamos primero en tres tipos, y luego utilizamos cálculo para decirnos exactamente donde están:

Locating candidates for extrema Ubicando los candidatos al extremos

If $f$ is continuous on its domain and differentiable except at a few isolated points, then its extrema occur among the following types of points.
  1. Stationary points: Points $x$ in the domain where $f'(x) = 0$. To locate stationary points, set $f'(x) = 0$ and solve for $x$.
  2. Singular points: Points $x$ in the domain where $f'(x)$ is not defined. To locate singular points, find values $x$ where $f'(x)$ is not defined, but $f(x)$ is defined.
  3. Endpoints: The endpoints of the domain, if any. Recall that closed intervals contain endpoints, but open intervals do not.
We refer to stationary points and singular points collectively as critical points. (So, w consider two kinds of critical: stationary and singular.) The following figure shows several instances of all three types. Si $f$ es diferenciable en su dominio, excepto en algunos puntos aislados, sus extremos se ubican entre las siguientes clases de puntos.
  1. Puntos estacionarios: Puntos $x$ en el dominio donde $f'(x) = 0$. Para localizar los puntos estacionarios, haz que $f'(x) = 0$ y despeja a $x$.
  2. Puntos singulares: Puntos $x$ en el dominio donde $f'(x)$ no está definida. Para localizar los puntos singulares, busca valores de $x$ a los que $f'(x)$ no está definido, pero $f(x)$ sí está definida.
  3. Puntos extremos del dominio: Los valores $x$ del dominio que lo delimitan, si sean. Recuerda que los intervalos cerrados contienen sus puntos extremos, pero no los intervalos abiertos.
Referimos a los puntos estacionarios y singulares como (Así, consideramos dos tipos de puntos críticos: estacionario y singular.) La siguiente figura muestra algunos ejemplos de todos tres tipos.



Let $f(x) = $&15, with domain &16. You should use calculus to locate the stationary points below, and plot the graph to help you classify the extrema you obtain.
Sea $f(x) = $&15, com dominio &16. Debes localizar los puntos estacionarios a través de cáalculo, y dibujar la gráfica para clasificar los puntos extremos que obtienes.


Here you can see a zoomed-in portion of the graph:
Aquí puedes ver un zoom in de una porción de la gráfica:
Now enter the coordinate(s) of each type of extremum, separated by commas if there are more than one, and dne if none.
Ingresa las coordenadas de cada tipo de extremo, seperados por comas si hay más que uno, y ne si no existe.

Now try some of the exercises in Section 5.1 of or Section 12.1 of , try some chapter review exercises, or go on to the next tutorial (press the link on the side). Ahora puedes probar algunos ejercicios en la sección 5.1 de o la sección 12.1 de , los ejercicios de repaso, o bien el siguiente tutorial (haz clic en el vinculo a la izquierda).
Last Updated: February, 2012
Copyright © 2012
Última actualización: febrero, 2012
Derechos de autor © 2012