## var i = 0; if (theLanguage == "es") i = 1; var theTitle = parent.theTut.titles[i]; document.writeln(theTitle); if (parent.playingGame) document.writeln('<i><font color = #C93344>' + gameVersion + '</font></i>')

### writeText("Goodies","Cosas buenas")

In the preceding tutorial we learned how to add matrices and multiply matrices by scalars (real numbers in this context). For example, En el tutorial anterior aprendimos como sumar matrices y multiplicar matrices por escalares (números reales en este contexto). Por ejemplo,
 $\mat6{$2 , -3$!1 , 0!-1, 3}$ + $\mat6{$9 , -5$!0 , 13!-1, 3}$ = $\mat4{$11 , -8$!1 , 13!-2, 6}$ Add the corresponding entries. Suma las entradas correspondientes.
 $4\mat6{$2 , -3 , 0$!1 , 0 , 4!-1, 3 , 1} = \mat6{$8 , -12 , 0$!4 , 0 , 16!-4, 12 , 4}$           Each entry is multiplied by 4. Cada entrada se multiplica por 4.

&6 What about matrix multiplication? Do we multiply matrices as follows? ¿Qué tal de multiplicación de matrices? ¿Multiplicamos matrices como sigue?
$\mat6{$2 , -1$!1 , 3} \times \mat6{$5 , 2$!0 , 4}$ = $\mat4{$10 , -2$!0 , 12} ?$
&7 No, that is not the way we multiply matrices; multiplying matrices in the above way is not nearly as useful as the "correct" way. No; esta no es la manera en la que multiplicamos matrices; multiplicar matrices así no es ni de cerca a lo buena que la manera "correcta."

&6 OK. What is the "correct way"? Bueno, pero ¿Qué es la "manera correcta?"
&7 Since the correct way may seem a little strange at first, let us do it step-by-step: Ya que la manera correcta parezca un poco extraña a primera vista, vamos a realizarla paso-a-paso:

A row times a column Un renglón por una columna

If $A$ is a row matrix and $B$ is a column matrix, then their product $AB$ is a 1×1 matrix. The length of the row in $A$ must match the length of the column in $B$ for the product to be defined. To calculate the product, multiply each entry in $A$ (going from left to right) by the corresponding entry in $B$ (going from top to bottom) and then add the results.
Si $A$ es una matriz renglón y $B$ es una matriz columna, entonces su producto $AB$ es una matriz 1×1. El largo del renglón $A$ debe igualar el largo de la columna $B$ para que ser definido el producto. Para calcular el producto, multiplica cada entrada de $A$ (siguiendo de izquierda a derecha) por la entrada correspondiente de $B$ (siguiendo de izquierda a derecha) y entonces suma los resultados.
&13
$\mat6{$3 , -2$} \mat6{$4$!5} = \mat6{$3\times4 + (-2)\times5$} = \mat6{$2$}$ The product is a 1 × 1 matrix. El producto es una matriz 1 × 1.

&6 How can we apply this strange method of multiplying rows by columns? ¿Cómo podemos aplicar esta manera rara de multiplicar renglones por columnas?
&7 Here is an application: Suppose you sell 3 T-shirts at \$10 each, 4 hats at \$15 each, and 1 pair of shorts at \$20. Then your total revenue is Aquí está una aplicación: Supón que vendieras 3 playeras a \$10 cada una, 4 gorras a \$15 cada una, y 1 pantalón a \$20. Entonces tu ingreso total es
 $\mat6{$10 , 15 , 20$}$ $\mat6{$3$!4!1}$ = $\mat6{$10\times3 + 15\times4 + 1\times20$} = \mat6{$110$}$ Price Precio × Quantity Candidad = Revenue Ingreso

Product of two matrices: General case Producto de dos matrices: El caso general

In general, we can calculate the product $AB$ only if the number of columns of $A$ equals the number of rows of $B$ (so that we can multiply the rows of $A$ by the columns of $B$ as above). The product $AB$ is then obtained as follows:
• To obtain the (1,1) entry of $AB$, multiply row 1 of $A$ by column 1 of $B$.
• To obtain the (1,2) entry of $AB$, multiply row 1 of $A$ by column 2 of $B$.
• To obtain the (1,3) entry of $AB$, multiply row 1 of $A$ by column 3 of $B$.
. . .
• To obtain the (2,1) entry of $AB$, multiply row 2 of $A$ by column 1 of $B$.
• To obtain the (2,2) entry of $AB$, multiply row 2 of $A$ by column 2 of $B$.
and so on. In general,
To obtain the $(i,j)$ entry of $AB$, multiply row $i$ of $A$ by column $j$ of $B$.

Note: The product $AB$ has as many rows as $A$ and as many columns as $B$.
Por lo general, podemos calcular el producto $AB$ sólo si el número de columnas de $A$ es igual al número de renglones de $B$ (para que podemos multiplicar los renglones de $A$ por las columnas de $B$ como más arriba). El producto $AB$ se obtiene entonces como sigue:
• Para obterner la entrada (1,1) de $AB$, multiplica renglón 1 de $A$ por columna 1 de $B$.
• Para obterner la entrada (1,2) de $AB$, multiplica renglón 1 de $A$ por columna 2 de $B$.
• Para obterner la entrada (1,3) de $AB$, multiplica renglón 1 de $A$ por columna 3 de $B$.
. . .
• Para obterner la entrada (2,1) de $AB$, multiplica renglón 2 de $A$ por columna 1 de $B$.
• Para obterner la entrada (2,2) de $AB$, multiplica renglón 2 de $A$ por columna 2 of $B$.
y asi sucesivamente. Por lo general,
Para obterner la entrada $(i,j)$ de $AB$, multiplica renglón $i$ de $A$ por columna $j$ de $B$.

Nota: El producto $AB$ tiene tanto renglones como $A$ y tanto columnas como $B$.
&13
$\mat6{$2 , 0 , -1 , 1$}$
 1 1 0 2
 5 1 −1 0
 −7 0 1 0

=
 4
 11
 −15

1 × 4 4 × 3 1 × 3

 =

$\mat6{$2 , 0 , -1 , 1$!1 , 2 , 0, 1}$
 1 1 0 2
 5 1 −1 0
 −7 0 1 0

=
 4 5
 11 7
 −15 −7

2 × 4 4 × 3 2 × 3

 =

 =

 =

If you compare the answers to the above two examples, you will see that they are different. In other words, Si comparas los resultados de los dos ejemplos anteriores, te darás cuenta de que son distintos. En otras palabras,

$A\timesB ≠ B\timesA$ Matrix multiplication is not commutative. Multiplicación de matrices no es conmutativa.

 =

&6 Fine, but are there applications in which we need to multiply matrices with more than one row or column? Beuno, pero ¿hay aplicaciones en las que debemos multiplicar matrices con más que uno renglón o columna?
&7 Here is an application that extends the application above: Suppose you make the sales as shown in the following table: Aquí está una aplicación que extende la aplicación más arriba: Supón que hicieras las ventas como mostrado en la siguiente tabla:

Then the product Entonces el producto
 $\mat6{$10 , 15 , 20$}$ $\mat6{$3 , 4$!4 , 2!1 , 3}$ = $\mat6{$110, 130$}$ Price Precio × Quantity Candidad = Revenue Ingreso
gives the revenue in each of the two days: \$110 for Monday and \$130 for Tuesday. da el ingreso en cada uno de los dos días: \$110 en lunes y \$130 en martes.

Laguna Surf City has three popular areas: Rip Tide Beach, the Promenade, and the Blue Lagoon. The following table shows the number of visitors to each location last weekend as well as the revenue per visitor the city collects for each location.
Laguna Ciudad de Surf tiene tres lugares populares: la Playa Rompe Ola, el Malecón, y la Laguna Azul. La siguiente tabla muestra el número de visitantes el pasado fin de semana a cada lugar, y también el ingreso por visitante que gana la ciudad a cada lugar.

Let $V$ be the 2×3 matrix of numbers of visitors, and let $R$ be the 3×1 matrix of revenues.
Sea $V$ la matriz 2×3 de números de visitantes, y sea $R$ la matriz 3×1 de ingresos.
$VR =$

There are tons of other applications in Exercise Set 3.2 of and Also see the on-line review exercises. Hay toneladas de otras aplicaciones en la sección 3.2 de o . Ve también losejercisios de repaso.

An identity matrix is a square matrix, called $I$, that has 1s down the leading diagonal (see the examples below) and zeros everywhere else.

Here are some identity matrices:
Una matriz identidad es una matriz cuadrada, llamada $I$, que tiene sus entradas nulas excepto las a lo largo de la diagonal principal, que son iguales a 1 (ve los ejemplos más abajo.)

 $I = \mat6{$1$}$ 1×1 &14 $I = \mat6{$1 , 0$!0, 1}$ 2×2 &14 $I = \mat6{$1 , 0 , 0$!0, 1 , 0!0 , 0 , 1}$ 3×3 &14 $I = \mat6{$1 , 0 , 0 , 0$!0, 1 , 0 , 0!0 , 0 , 1 , 0!0, 0 , 0 , 1}$ 4×4 &14

Note The leading diagonal of a square matrix is the diagonal from the top left to the bottom right. It consists of the entries $a_{11}, a_{22}, a_{33}, ..., a_{nn}$. Nota La diagonal principal de una matriz cuadrada es la diagonal desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, y consiste en las entradas $a_{11}, a_{22}, a_{33}, ..., a_{nn}$.

&6 Why are these matrices called "identity matrices"? ¿Porqué llamamos a aquellas matrices "matrices identidad?"
&7 Let us see what happens when we multiply an identity matrix by some other matrix: Vamos a ver que sucede cuando multiplicamos una matriz identidad por cualquier otra matriz:

 $\mat6{$1 , 0 , 0$!0, 1 , 0!0 , 0 , 1}$ =

In other words, is seems that that, if $A$ is any square matrix, then
$I\cdotA = A$
So, multiplying a matrix by $I$ leaves it unchanged. This is analogous to multiplying a number, $a$, by 1. You should now try multiplying a 2×2 matrix by the 2×2 identity matrix. You will once again end up with the matrix you started with.
En otras palabras, parece que, cuando $A$ es cualquiera matriz, entonces
$I\cdotA = A$
Por lo tanto, multiplicando una matriz por $I$ la deja igual. Esto es similar a multiplcando un número, $a$, por 1. Debes probar multiplicar una matriz 2×2 por la matriz identidad 2×2. Otra vez quedaré con la misma matriz que escogiste.

&6 What happens if you multiply them the other way around? In other words, what is $A\cdotI$? After all, matrix multiplication is not commutative, so the answer might be different. ¿Qué sucede si las multiplicamos al revés? Es decir, ¿qué es $A\cdotI$? Después de todo, multiplicación de matrices no es conmutativa, así que el resultado puede ser distinta.
&7 Try it out, and you will find once again that the result is the same: $A$. In other words, Pruébalo, y observarás otra vez que el resultado es lo mismo: $A$. Es decir,

$A\cdotI = I\cdotA = A$ for every square matrix $A$. por toda matriz cuadrada $A$.

Here is a list of rules that summarize the multiplicative properties of matrices: Aquí está una lista de reglas que resume las propiedades multiplicativas de las matrices:

Properties of matrix multiplication Propiedades multiplicativas de matrices

 Associative law: Regla asociativa: $A(BC) = (AB)C$

You can now try some of the exercises in Section 3.2 of or , try some chapter review exercises, or the topic true false quiz. Ahora puedes probar algunos ejercicios en la sección 3.2 de o , probar unos ejercisios de repaso, o bien el concurso verdadero falso de este tema.