var i = 0; if (theLanguage == "es") i = 1; var theTitle = parent.theTut.titles[i]; document.writeln(theTitle); if (parent.playingGame) document.writeln('<i><font color = #C93344>' + gameVersion + '</font></i>')

writeText("Goodies","Cosas buenas")

&7 In Part A we needed to know something about our opponent's strategy before we can come up with the best response. Suppose—as often happens in real life—we have absolutely no idea of what the opponent intends to do. Then what? En Parte A necesitamos saber algo sobre la estrategia de nuestra contrincante antes de formular la respuesta mejor. Supongamos que—como sucede frecuentemente en la vida real—no tenemos ni remota idea en lo que pretende hacer el contrincante. ¿Luego qué?
&8 What we saw in Part A is that for every mixed strategy one player selects, the other player can respond with an appropriate pure counterstrategy in order to maximize its gain. So, for every mixed strategy you try, your opponent (call him Darth) has an optimal pure counter-strategy. If you take a "paranoid" position and assume that, no matter what mixed strategy you use, Darth will use his optimal counterstrategy to harm you the most, it is obviously in your interest to select a mixed strategy that minimizes the effect of Darth's optimal counterstrategy. This is called the minimax criterion. Finding each player's optimal mixed strategy using the minimax criterion is also called solving the game. Lo que vimos en Parte A es que para cada estrategia mixta que escoge un jugador, el otro jugador puede responder con una apropiada estrategia pura para maximizar su ganacia. Así, para cada estrategia mixta que pruebas, tiene tu contrincante (lo llamemos Darth) tiene una contraestrategia óptima pura. Si tomas el punto de vista "paranoico" y suponer que, sea cual estrategia uses tú, Darth va a usará su contraestrategia mejor para hacerte lo más daño, y entonces es en tu interés excoger una estrategia mixtra que minimiza el efecto de la estrategia óptima de Darth. Esto se llama el criterio minimax. Hallar la estrategia óptima mixta por usar el criterio minimax se llama también solucionar el juego.

 Minimax criterion Criterio minimax A player using the minimax criterion chooses a (mixed) strategy that, among all possible strategies, minimizes the negative effect of the other player's best counterstrategy. That is, an optimal (best) strategy according to the minimax criterion is one that minimizes the maximum damage the opponent can cause. This criterion assumes that your opponent is determined to win. More precisely, it assumes the following: Un jugador quien usa el criterio minimax escoge una estrategia (mixta) que, entre todas las estrategias posibles, minimiza el efecto negativo de la contraestrategia mejor del otro jugador. Es decir, una estrategia óptima según el criterio minimax es aquella que minimza el daño máximo que puede hacer el contrincante. Este criterio presupone que tu contrincante está decidido a ganar. Más precisamente, presupone el siguiente: Fundamental principle of game theory Principios fundamentale de la teoría de juegos Each player tries to use its best possible strategy, and assumes that the other player is doing the same. Cada jugador hace la mejor estrategia posible, y presupone que también hace lo mismo el otro jugador. Finding each player's optimal strategy using the minimax critereon is called solving the game. In general, solving a game can be done using linear programming, as discussed in Section 4.5 of or . 2×2 games can also be solved graphically (see the next tutorial). Hallando la estrategia óptima de cada jugador por el criterio minimax se llama solucionar el juego. Por lo general, se puede solucionar cualquier juego con la programación lineal, descrito en la sección 4.5 de y . Juegos 2×2 se puede solucionar gráficamente (ve el tutorial siguiente).

Reducing a game by dominance Reducir un juego por predominio

In some cases we use the fundamental principle to reduce a given game to one with a smaller payoff matrix, and sometimes even solve it that way. Reducing a game to one with a smaller payoff matrix is called reduction by dominance. To best understand how reduction by dominance works, let us go back to the football scenario we studied in Part A:
You are the head football coach of the &9, and are attempting to come up with a strategy to deal with your rivals, the Betas. The &9 are on offense, and the Betas on defense. You have five preferred plays, and you know that the Betas usually employ one of three defensive plays. Over the years, you have recorded the yardage gained by your team for each combination of plays used, and have come up with the following payoff matrix (negative numbers denote yardage lost): (Note: The payoffs here are different from those in the preceding tutorial.)
En algunos casos, usamos el principio fundamental para reducir un juego a uno con una matriz de pagos más pequeña, y a veces solucionarlo así. Reducir un juego a uno con una matriz de pagos más pequeña se llama reducir por predominio. Para entender lo mejor como funcione reducción por predominio, volvamos al escenario que estudiamos en Parte A:
Eres el entrenador en jefe del equipo futbol americano, los &9, y estás intentando desarrollar una estrategia para usar contra tus contrincantes, los Betas. Los &9 están al ataque y los Betas a la defensa. Tienes cinco jugadas ofensivas preferidas, y sabes que los Betas suelen escoger entre tres jugadas defensivas. A lo largo de loa años, has recordado el yardaje (número de yardas) ganado por tu equipo con cada combincación de jugadas usadas, y has construido la siguiente matriz de pagos (números negativos denotan yardas perdidas): (Nota: Los pagos son distintos aquí de los del tutorial anterior.)

Now look at the first two offensive plays only: A continuación, observa las primeras dos jugadas ofensivas:

If you, as the &9 coach, compare offensive plays O1 and O2, then why in your right mind would you ever use play O1? No matter what defensive play the Betas use, the payoff for the &9 is always as high or higher if you use O2: Si, como entrenador de los &9, comparas jugadas ofensivas O1 y O2, entonces ¿porqué en tu cabales sentidos, se te ocurriría jugar O1? Sin importar cual jugada usa los Betas, el pago para tu equipo si usas O2 es siempre mayor o igual a lo de O1:

Why? Because:
• If the Betas play D1, then 7 yards beats 6 yards.
• If the Betas play D2, then a loss of 3 yards beats a loss of 5 yards.
• If the Betas play D3, there is no difference.
In other words, it seems to make no sense to ever use offense O1, as play O2 always yields results as good as or better than O1. So, following the fundamental principle of game theory, you should never play O1 if you don't know what the Betas are going to do, and so you eliminate it completely. We say that O2 dominates O1. Eliminating the dominated row leads to a smaller game:

¿Por qué? Porque:
• Si juegan los Betas D1, entonces 7 yardas vence 6 yardas.
• Si juegan los Betas D2, una perdida de 3 yardas vence una perdida de 5 yardas
• Si juegan los Betas D3, no hay diferencia.
Es decir, nunca tiene sentido usar jugada O1 ya que jugada O2 siempre da resultados tan buena, sino mejor, que O1. Por lo tanto, siguiendo el principio fundamental del teoría de juegos, nunca debes jugar O1 si no sabes que va a hacer los Betas, y por lo tanto, debes eliminarla completamente. Decimos que O2 domina a O1. Eliminar el renglón dominado nos deja con un juego más pequeño:
 →

Here again is the (reduced) payoff matrix we are working with: Aquí de nuevo es la matriz (reducida) con la que estamos trabajando:

It follows from the principle of game theory that, as the &9' coach, you must eliminate any additional dominated rows, meaning that you are reduced to the following smaller game: Sigue por el principio del teoría de juegos que, como entrenador de los &9, debes eliminar cada adicional renglón dominado. Esto significa que te queda el siguiente juego más pequeño:

 →
The reduced payoff matrix will not appear until you have correctly answered the preceding question. La matriz reducida de pagos no aparecerá hasta que has contestado correctamente la pregunta anterior.

Now, according to the principle of game theory, the Beta coach is no dummy either, and knows that you are eliminating all dominated offenses. Why? Because each player knows that the other player will be using the best possible strategy, and so the Betas coach reasons that you will never use a dominated offense against his team. In other words, both of you can now assume that you are using the smaller payoff matrix above. It is as though the original larger payoff matrix never existed. Ahora, según el principio del teoría de juegos, el entrenador de los Betas no es tampoco ningúno tonto, y sabe que estas eliminando todos los ofensivas dominadas. ¿Por qué? Porque cada jugador sabe que su contrincante hará la mejor estrategia posible, y por lo tanto el entrenador de los Betas presupone que nunca usarías una ofensiva dominada contra su equipo. Es decir, ustedes dos pueden presuponer que la matriz de pagos es en la forma reducida más arriba. Es como ni siquiera existía la matriz más grande original.

Eliminating dominated columns leaves us with the following payoff matrix: Eliminar los columnas eliminadas nos deja con la siguiente matriz de pagos:
 →
The reduced payoff matrix will not appear until you have correctly answered all the preceding questions. La matriz reducida de pagos no aparecerá hasta que has contestado correctamente todas las preguntas anteriores.
&7 OK, that's it then: We have eliminated dominated rows and also dominated columns, so that's that. The game is completely reduced by dominance, right? Bueno; todo terminado: Hemos eliminado los renglones y también las columnas dominadas, y eso es todo. El juego es completamente reducido por dominio, ¿verdad?"
&8 Wrong. Remember that you know that the Betas coach will be eliminating that defense play (by the principle of game theory) so now both of you are dealing with this same 2×2 payoff matrix shown above. If you look at this last matrix, you may notice that one row now dominates the other. Incorrecto. Recuerda que sabes que el entrenador de los Betas está eliminando aquella jugada defensiva (por el principio del teoría de juegos) así que ustedes dos están tratando con la misma 2×2 matriz de pagos mostrada más arriba. Si miras esta matriz, tal vez de darás cuenta de que un renglón domina a una otra,

So now we are left with the following even smaller payoff matrix: Así nos queda la siguienta matriz aun más pequeño de pagos:
The reduced payoff matrix will not appear until you have correctly answered all the preceding questions. La matriz reducida de pagos no aparecerá hasta que has contestado correctamente todas las preguntas anteriores.

So now we are left with: Así nos queda:
The reduced payoff matrix will not appear until you have correctly answered all the preceding questions. La matriz reducida de pagos no aparecerá hasta que has contestado correctamente todas las preguntas anteriores.

This tells us that, if both coaches are abiding by the fundamental principle of game theory, then the &9 coach is forced to play offense O?? and the Betas coach is forced to play defense D??, with the result that the &9 ??, and we have solved the game! Esto nos dice que, si ambos entrenadores cumplen con el principio fundamental del teoría de juegos, entonces el entrenador de los Alfas está forzado jugar ofensiva O?? el entrenador de los Betas está forzado jugar defensiva D??, con el resultado que los Alfas ??, y ¡hemos solucionado el juego! &7 That looks easy: Just keep eliminating dominated rows and columns until you are left with a 1×1 game and you have solved it, right? Esto parece fácil; Sigue eliminando renglones y columnas dominados hasta que te queda un juego 1×1 y lo has solucionado, ¿verdad?"
&8 Wrong. Not every game reduces by dominance to a 1×1 game; you may reach a point where there are no longer any dominated rows or columns to eliminate. For example, the rock, paper, scissors game does not reduce at all: Incorrecto. No todos los juegos se reducen por dominio a un juego 1×1; puedes llegar a un punto cuando no quedan ningúnos renglones o columnas dominadas para eliminar. Por ejemplo, el juego piedra, papel, tijeras no se reduce en absoluto:

 \$P = \$ 0 -1 1 1 0 -1 -1 1 0

Saddle points and strictly determined games Puntos de silla y juegos estrictamente determinados

When a game does not reduce by dominance to a 1×1 game, solving the game (finding the optimal row and column strategies) may require considerable additional work; see part C of this tutorial. However, there are special kinds of game that can be solved very easily: The so-called strictly determined games. Cuando un juego no se reduce por dominio a un juego 1×1, solucionarlo (es decir, hallar las estrategias óptimas para los dos jugadores) puede necesita bastante trabajo adicional. Sin embargo, hay específicos tipos de juego que se puede solucionar fácilmente: Los así llamados juegos estrictamente determinados.