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Matemáticas finitas y cálculo aplicado resumen del tema:
Introducción a la derivada: Parte 1 de 3: Límites
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Límites

Sea $f$ una función tal que $f(x)$ se define para $x$ arbitrariamente cerca pero distinto de $a.$ Entonces, si $f(x)$ se acerca arbitrariamente al número $L$ para $x$ lo suficientemente cerca de (pero no igual a) $a$ sin importar de cual lado, decimos que $f(x)$ se acerca a $\bold{L}$ cuando $\bold{x \to a}$ ("$x$ se acerca a $a$") o que el límite de $f(x)$ cuando $x \to a$ es $L$.

En otras palabras, podemos hacer $f(x)$ tan cerca de $L$ como nos gusta por escoger cualquier $x$ en el dominio de $f$ suficientemente cerca pero distinto de $a.$ Escribimos
    $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$
o
    $f(x) \to L$ cuando $x \to a.$        El límite de $f(x)$ cuando $x \to a$ es $L$.
Si $f(x)$ falla en acercarse a un único número fijo cuando $x$ se acerca a $a$, entonces decimos que $f(x)$ no tiene un límite cuando $x \to a$, o
    $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)\ $ no existe.
Ejemplos: Límites

Cuando $x$ se acerca a $2,$ $x+3$ se acerca a $2+3 = 5.$ Es decir, $x+3 \to 5$ cuando $x \to 2$, o
    $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x+3) = 5.$        El límite de $x+3$ cuando $x \to 2$ es $5$.


Cuando $x$ se acerca a $0,$ $\sqrt{x}$ se acerca a $\sqrt{0}=0.$ Es decir, $\sqrt{x} \to 0$ cuando $x \to 0$, o
    $\displaystyle \lim_{x \to 0}\sqrt{x} = 0.$        El límite de $\sqrt{x}$ cuando $x \to 0$ es $0$.
Observa que, aunque $\sqrt{x}$ no se define a la izquierda de $0$, todavía satisface la definición: $\sqrt{x}$ será tan cerca como te gusta a $0$ si $x$ el cualquier número en el dominio de la función lo suficientemente cerca de $0.$


Práctica:

 

Estimación numérica de límites

Para estimar $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ numéricamente si existe:
  • Haz una tabla de valores de $f(x)$ utilizando valores de $x$ que se acercan a $a$ de cerca por ambos lados.
  • Si el límite existe, entonces los valores de $f(x)$ se acercarán al límite cuando $x$ se acerca a $a$ desde ambost lados.
  • Cuanto más exacto deseas estimar este límite, lo más cerca a $a$ deberás elegir los valores de $x.$
Ejemplos: Estimación numérica de límites

Para estimar $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3},$ hacemos tablas de valores con $x$ acercándose a 3 desde ambos lados:
$x$ acercándose a 3 desde la izquierda →
← $x$ acercándose a 3 desde la derecha

Ya que los valores de $f(x)$ parecen estar acercándose a $6$ cuando $x$ se acerca a $3$ desde cualquier lado, estimamos que el límite es $6.$


Práctica:

 

Límites laterales

Sea $f$ una función tal que $f(x)$ se define para $x$ arbitrariamente cerca y a la izquierda de $a.$ Entonces, si $f(x)$ se acerca arbitrariamente al número $L$ para $x$ lo suficientemente cerca y a la izquierda de $a$, decimos que $f(x)$ se acerca a $\bold{L}$ cuando $\bold{x \to a^-}$ ("$x$ se acerca a $a$ por la izquierda") o que el límite de $f(x)$ cuando $x \to a^-$ es $L$.

En otras palabras, podemos hacer $f(x)$ tan cerca de $L$ como nos gusta por escoger cualquier $x$ en el dominio de $f$ suficientemente cerca y a la izquierda de $a.$ Escribimos
    $\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = L$
o
    $f(x) \to L$ cuando $x \to a^-.$
    El límite de $f(x)$ cuando $x \to a$ por la izquierda es $L$.
Del mismo modo, si $f(x)$ se define para $x$ arbitrariamente cerca y a la derecha de $a$ y $f(x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ para $x$ lo suficientemente cerca y a la derecha de $a$, decimos que $f(x)$ se acerca a $\bold{L}$ cuando $\bold{x \to a^+}$ ("$x$ se acerca a $a$ por la izquierda") o que el límite de $f(x)$ cuando $x \to a^+$ es $L$. En otras palabras, podemos hacer $f(x)$ tan cerca de $L$ como nos gusta por escoger cualquier $x$ en el dominio de $f$ suficientemente cerca y a la derecha de $a,$ y escribimos
    $\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = L$
o
    $f(x) \to L$ cuando $x \to a^+.$
    El límite de $f(x)$ cuando $x \to a$ por la derecha es $L$.
Si $f(x)$ se acerca al mismo límite $L$ cuando $a \to a^-$ y cuando $x \to a^+$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = L$ también:
    $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a^-}f(x) = \lim_{x \to a^+}f(x) = L.$
Si $f(x)$ se acerca a límites distintos cuando $a \to a^-$ y cuando $x \to a^+$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ ne existe.
Ejemplos: Límites laterales

    $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} (x+3) = 5. \qquad \lim_{x \to 2^+} (x+3) = 5.$


Cuando $x$ se acerca a $0$ por la derecha, $\sqrt{x}$ se acerca a $\sqrt{0}=0.$ Es decir, $\sqrt{x} \to 0$ cuando $x \to 0^+$, o
    $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0.$
Observa que $\displaystyle \lim_{x \to 0^-}\sqrt{x}$ no existe porque $\sqrt{x}$ no se define a la izquierda de $0$. Sin embargo, como vimos anteriormente, $\displaystyle \lim_{x \to 0}\sqrt{x}$ sí existe. Por lo tanto
    $\displaystyle \lim_{x \to 0}\sqrt{x} = \lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0,$ y

    $\displaystyle \lim_{x \to 0^-}\sqrt{x}$ no existe.


Para estimar $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}$ y $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x},$ hacemos tablas de valores con $x$ acercándose a 0 desde ambos lados:
$x$ acercándose a 3 desde la izquierda →
por lo que $\qquad \displaystyle \lim_{x \to 0^-}\frac{|x|}{x} = -1$.
← $x$ acercándose a 3 desde la derecha
por lo que $\qquad \displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{|x|}{x} = 1$.

Ya que los límites por la izquierda y derecha som distintos,
    $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x} \ \ $ no existe.


Práctica:

 

Límites en el infinito

Sea $f$ una función tal que $f(x)$ se define para $x$ arbitrariamente grande y positivo. Entonces, si $f(x)$ se acerca arbitrariamente al número $L$ para $x$ lo suficientemente grande y positivo, decimos que $f(x)$ se acerca a $\bold{L}$ cuando $\bold{x \to +\infty}$ o que el límite de $f(x)$ cuando $x \to +\infty$ es $L$.

En otras palabras, podemos hacer $f(x)$ tan cerca de $L$ como nos gusta por escoger cualquier $x$ en el dominio de $f$ suficientemente grande y positivo. Escribimos
    $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$
o
    $f(x) \to L$ cuando $x \to +\infty.$
    El límite de $f(x)$ cuando $x \to +\infty$ es $L$.
Del mismo modo, si $f(x)$ se define para $x$ arbitrariamente grande numéricamente pero negativo, y $f(x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ para $x$ suficientemente grande numéricamente y negativo, decimos que $f(x)$ se acerca a $\bold{L}$ cuando $\bold{x \to -\infty}$ o que el límite de $f(x)$ cuando $x \to -\infty$ es $L$. En otras palabras, podemos hacer $f(x)$ tan cerca de $L$ como nos gusta por escoger cualquier $x$ en el dominio de $f$ suficientemente grande numéricamente y negativo, y escribimos
    $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$
o
    $f(x) \to L$ cuando $x \to -\infty.$
    El límite de $f(x)$ cuando $x \to -\infty$ es $L$.
Ejemplos: Límites en el infinito

Cuando $x$ se acerca a $+\infty, \ $ $\frac{1}{3x+2}$ se acerca a $0.$ Es decir,
    $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3x+2} = 0.$        El límite de $\frac{1}{3x+2}$ cuando $x \to +\infty$ es $0$.
Además, cuando $x$ se acerca a $-\infty, \ $ $\frac{1}{3x+2}$ se acerca a $0$ también. Es decir,
    $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{3x+2} = 0.$        El límite de $\frac{1}{3x+2}$ cuando $x \to-\infty$ es $0$.


Para estimar $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-x+1}{2x^2-3},$ hacemos tablas de valores con $x$ acercándose a $+\infty$:
$x$ acercándose a $+\infty$→

Ya que los valores de $f(x)$ parecen estar acercándose a $\tfrac{1}{2}$ cuando $x$ se acerca a $+\infty$, estimamos que
    $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-x+1}{2x^2-3} = \frac{1}{2}.$

Para estimar $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-x+1}{2x^2-3},$ hacemos tablas de valores con $x$ acercándose a $-\infty$:
$x$ acercándose a $-\infty$→

Ya que los valores de $f(x)$ parecen estar acercándose a $\tfrac{1}{2}$ cuando $x$ se acerca a $-\infty$ desde cualquier lado, estimamos que
    $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-x+1}{2x^2-3} = \frac{1}{2}$     también.


Práctica:

 

Estimación gráfica de límites

Para decidir si o no $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ existe y estimar su valor en aquel caso:
  1. Dibuja la gráfica a mano o con la tecnología gráfica.
  2. Coloca tu punto de lápiz (o el cursor de rastreo) en un punto de la gráfica a la izquierda de $x = a$.
  3. Mueve el punto a lo largo de la gráfica hacia $x = a$ desde la izquierda, y lee la coordenada-$y$ a medida que avanzas. El valor al que se acerca la coordenada-$y$ (si existe) es el límite $\displaystyle \lim_{x \to a^{-}}f(x)$.
  4. Repita Pasos 2 y 3, esta vez a partir de un punto en la gráfica a la derecha de desde un punto a la derecha de $x = a$ y acercando $x = a$ a lo largo de la gráfica desde la derecha. El valor al que se acerca la coordenada-$y$ (si existe) es $\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x).$
  5. Si existen los límites derecho y izquierdo y tienen el mismo valor $L$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = L.$ Si sus valores son distintos, el límite no existe. Al valor de $f(a)$ no tiene relevancia alguna.
  6. Para evaluar $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)$, mueva el punto del lápiz hacia la extrema derecha de la gráfica y estime el valor al que se acerca la coordenada-$y$ (si existe). Para $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$, mueva el punto del lápiz hacia la extrema izquierda.
Ejemplo: Estimación gráfica de límites

Consula la siguiente gráfica de la función $f:$


 


   

 

Evaluación algebraica de límites cuando xa

Para decidir a partir de álgebra si o no $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ existe y calcular su valor en aquel caso:
  1. Se comprueba si $f$ es una función de forma cerrada. Aquellas son funciones que se puede especificar con una sola fórmula por uso de potencias de $x,$ funciones exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas combinados usando operaciones aritméticas y composiciín. Si $f$ es una función de forma cerrada, entonces:
    1. Si $a$ es en el dominio de $f,$ entonces $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ existe y es igual a $f(a).$
    2. Si $a$ no es en el dominio de $f,$ pero $f$ se puede reducir por simplificación a una función $g$ que sí tenga $a$ en su dominio, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ existe y es igual a $g(a).$
    3. Si $a$ no es en el dominio de $f,$ y no se puede simplificar la función como en (b), pues se simplifica todo lo posible y se estima el límite al análisis (por ejemplo, si sustitución conduce a una forma determinada como $k/0$).
  2. Si $f$ no es de forma cerrada, y $a$ es un punto a lo que cambia la fórmula de $f,$ se calcula el límite izquierdo y derecho por separado, y se comprueba si son iguales.
Ejemplos: Evaluación algebraica de límites cuando xa

Considera el límite $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^2-9}{x-3}.$
Nota que la función $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ es de forma cerrada, con $a = 1$ en su dominio. Entonces, el límite se obtiene por sustituyendo $x = 1$ (punto (a) anterior): .
    $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{1-9}{1-3} = 4.$


A continuación, considera $\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}.$
Aunque la función $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ es de forma cerrada, $a = 3$ no está en su dominio, y así necesitamos primero simflificar $f(x)$ para reducirla a una función que tenga 3 en su dominio:.
    $\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$$= \lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$No tiene $x = 3$ en su dominio; es un punto singular.
    $= \lim_{x \to 3}(x+3)$Tiene $x = 3$ en su dominio
    $= 3+3 = 6$Evaluar


Práctica:

 

Evaluación algebraica de límites en el infinito

Para decidir a partir de álgebra si o no $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ existe y calcular su valor en aquel caso:
    Se comprueba si $f(x)$ es un cociente de funciones polinomiales (es decir, una función racional). Si es, se puede no tener en cuenta todos los términos excepto los con las potencias más grandes. La función más sencilla que se obtiene en esta manera tiene lo mismo límite que $f.$
Ejemplos: Evaluación algebraica de límites en el infinito

Considera el límite $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^3+x^2-9}{2x^3-x-3}.$
En este caso $f(x)$ es un cociente de polinomios, entonces ignoramos todos los términos excepto los con las potencias más altas de $x$ en el numerador y denominador:.
    $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^3+x^2-9}{2x^3-x-3}$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty}\frac{x^3}{2x^3}$Ignorar todo excepto potencias más altas arriba y abajo.
    $\displaystyle = \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{2}$Cancela la $xx^3.$
    $\displaystyle = \frac{1}{2}$


A continuación, considera $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{5x^3+x^2-9}{2x^4-x^3-3}.$
    $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{5x^3+x^2-9}{2x^4-x^3-3}$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty}\frac{5x^3}{2x^4}$Ignorar todo excepto potencias más altas arriba y abajo.
    $\displaystyle = \lim_{x \to +\infty}\frac{5}{2x}$Cancela $x^3.$
    $= 0$Cuando $x$ se hace grande, $5/(2x)$ se acerca a cero.


Por otro lado,
    $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{5x^5+x^2-9}{2x^4-x^3-3}$$\displaystyle = \lim_{x \to -\infty}\frac{5x^5}{2x^4}$Ignorar todo excepto potencias más altas arriba y abajo.
    $\displaystyle = \lim_{x \to -\infty}\frac{5x}{2}$Cancela $x^4.$
    $= -\infty$Cuando $x$ se hace grande y negativa, también lo hace $5x/2.$


Práctica: