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Matemáticas finitas y cálculo aplicado resumen del tema:
Introducción a la derivada: Parte 2 de 3: Continuidad
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Funciones continuas

Sea $f$ una función, y sea $a$ un número en su dominio. Entonces $f$ es continua en el punto $a$ si
    a. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ existe, y

    b. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a).$
Notas
  1. Si $a$ es un ponto extremo del dominio de $f$, entonces $\lim_{x \to a} f(x)$ es, como de constumbre, el límite lateral apropiado.
  2. Si $a$ es un punto aislado en el dominio de $f$; es decir, $f$ se define en $a$ pero en ningún otro punto dentro de una distancia de $a$ (por ejemplo, $f(x)=\sqrt{-x^2}$ se define solamente en $x = 0$) entonces, aunque no puede ser un límite en $a,$ consideramos $f$ como continua en $a$.

La función $f$ es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. Si $f$ no es continua en un punto particular, $a$, en su dominio, decimos que $f$ es discontinua en $x = a$ o que $f$ tiene una discontinuidad en $x = a$.

Continuidad de functiones de forma cerrada

Vimos en la Parte 1 que, si $f$ es una función de forma cerrada, entonces, para cada $a$ en su dominio, $\lim_{x \to a}f(x)$ existe y es igual a$f(a)$. Por lo tanto funciones de forma cerrada son continuas en sus dominios.

Ejemplos: Funciones continuas

Considera la función $f$ que se define por la siguiente gráfica (cada paso de la cuadrícula representa una unidad):

Comprobando continuidad en $\bold{x = 1:}$ (círculo rojo)
• $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ existe, y es igual a $0.5$.
• $f(1) = 0.5$ también.
Por lo tanto, $f$ es continuo en $x = 1.$

Comprobando continuidad en $\bold{x = 0:}$ (círculo azul)
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ no existe.
Por lo tanto, $f$ no es continuo en $x = 0.$

Comprobando continuidad en $\bold{x = -1:}$ (círculo verde)
• $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x)$ existe, y es igual a $1$.
• $f(-1) = 0,$ que no es igual al límite.
Por lo tanto, $f$ no es continuo en $x = -1.$
   


La función $f(x) = 3x^2-4x+2$ es de forma cerrada, y entonces continua en su dominio (el conjunto de todos los números reales).


La función $\displaystyle g(x) = \frac{4x^2+1}{x-3}$ también es de forma cerrada, y entonces continua en su dominio (el conjunto de todos los números reales excepto 3).

El punto $x = 3$ no es una discontinuidad (porque $x = 3$ no es en su dominio) pero se llama una singularidad de $g$ (ve el siguiente subtema).


Práctica:


Práctica:

 

Singularidades

Si $f$ es una función tal que $f(a)$ no es definida pero $f(x)$ es definida para (al menos algunos) valores de $x$ arbitrariamente cerca a $a,$ decimos que $f$ tiene una singularidad en $\bold{a,}$ o que $\bold{a}$ es un punto singular de $\bold{f.}$

Singularidad en $\bold{a}$Discontinuidad en $\bold{a}$
Ejemplos: Singularidades

Las functiones $f(x) = \dfrac{1}{x}$ y $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ no son definidas en $x = 0$ pero son definidas para valores de $x$ arbitrariamente cerca a $x=0$, por lo que estas dos funciones tienen singularidades en $x = 0$.


La función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{if } x \ne 0 \\3 & \text{if } x = 0 \end{cases} \quad$ se define en $x = 0$ y así no es singular allí. Sin embargo, es dicontinua en $x=0$.


Práctica:

 

Singularidades evitables y esenciales

Si $f$ tiene un punto singular en $a$, a veces podemos eliminar la singularidad definiendo apropiadamente $f(a)$ (ve la fráfica de la izquierda a continuación). Esto ocurre cuando $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ existe (y es finito); simplemente definimos $f(a)$ como ese límite. En tales casos, decimos que $f$ tiene una singularidad evitable en $\bold{a}$.<\b> Si el límite no existe (ve la gráfica de la derecha), entonces no importa cómo definimos $f(a)$, la función resultante será discontinua en $a$, por lo que decimos que $f$ tiene una singularidad esencial en $\bold{a}$.<\b>

Singularidad evitable en $\bold{a}$Singularidad esencial en $\bold{a}$
$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = 1$$\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)$ no existe.
 
$f$ se puede hacer continua por definir $f(a) = 1$.$g$ no se puede hacer continua.
Ejemplos: Singularidades evitables y esenciales

Las functiones $f(x) = \dfrac{1}{x}$ y $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ tienen singularidades esenciales en $x = 0$ porque, en el primer caso el límite en cero no existe, y en el segundo caso, el límite no es finito.


$\displaystyle f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$ tiene un punto singular en $x = 3$. En la parte 1 de este resumen vimos que
    $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = 6.$
Por lo tanto, la singularidad es evitable, y podemos eliminarla y hacer continua la función en $x = 3$ por cancelar el término infractor $x-3$ en el denomenador:
    $\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$,
que ahora es continua en $x=3$.


Práctica: